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相关试卷

1、已知 $\vec{m} = (2, - 3), \vec{n} = (2,1)$ ，则下列说法正确的有( )

A、 $(\vec{m} - 2 \vec{n}) ⊥ \vec{n}$ B、 $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ 可以作为一组基底向量 C、 $c o s ⟨ \vec{m}, \vec{n} ⟩ = \frac{\sqrt{65}}{65}$ D、 $\vec{m}$ 在 $\vec{n}$ 方向上的投影向量的坐标为 $(\frac{2}{3} . \frac{1}{3})$

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2、已知 $s i n α + c o s α = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ ， $α \in (0, \frac{π}{4})$ ， $s i n (β - \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ， $β \in (\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ ，则 $c o s (α + 2 β)$ 的值为( )

A、 $- \frac{11 \sqrt{5}}{25}$ B、 $- \frac{11}{25}$ C、 $\frac{11}{25}$ D、 $\frac{11 \sqrt{5}}{25}$

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3、棣莫弗公式 $(c o s x + i \cdot s i n x)^{n} = c o s (n x) + i \cdot s i n (n x) ($ 其中 $i$ 为虚数单位 $)$ 是由法国数学家棣莫弗 $(1667 - 1754)$ 发现的，根据棣莫弗公式可知，复数 ${(c o s \frac{π}{3} + i \cdot s i n \frac{π}{3})}^{2}$ 在复平面内所对应的点位于( )

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，且 $\vec{A E} = 2 \vec{E O}$ ，则 $\vec{E D} =$ ( )

A、 $\frac{1}{3} \vec{A D} - \frac{2}{3} \vec{A B}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{A D} + \frac{1}{3} \vec{A B}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{A D} - \frac{1}{3} \vec{A B}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{A D} + \frac{2}{3} \vec{A B}$

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5、月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是 $▵ A B C$ 的外接圆和以 $A B$ 为直径的圆的一部分，若 $∠ A C B = \frac{2 π}{3}$ ，南北距离 $A B$ 的长大约 $60 \sqrt{3} m$ ，则该月牙泉的面积约为 $($ $) ($ 参考数据： $π \approx 3.14, \sqrt{3} \approx 1.73)$

A、 $572 m^{2}$ B、 $1448 m^{2}$ C、 $1828 m^{2}$ D、 $2028 m^{2}$

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6、已知向量 $\vec{a} = (- 1,3)$ ， $\vec{b} = (2,4)$ ，则 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 的坐标为( )

A、 $(6,8)$ B、 $(- 4,2)$ C、 $(- 6,12)$ D、 $(4,18)$

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7、已知 $m$ 为实数，若复数 $z = (m^{2} - 4) + (m + 2) i$ 为纯虚数，则复数 $z$ 的虚部为( )

A、 $2$ B、 $- 2 i$ C、 $4$ D、 $- 4 i$

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8、如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $B D ⊥ A_{1} C$ ，且 $E$ ， $F$ ， $H$ 分别为线段 $B B_{1}$ ， $A_{1} B$ ， $A D$ 的中点．

(1)、证明： $A_{1} B = A_{1}$ D.

(2)、证明：平面 $E F H / /$ 平面 $A_{1} C D$ ．

(3)、若 $A B = 2 A_{1} B_{1}$ ， $A A_{1} = 1$ ， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，当 $A_{1} B$ 与平面 $A_{1} C D$ 所成的角最大时，求四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积 $V$ ．

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9、如图 $①$ 所示，在 $R t ▵ A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ}$ ， $D$ ， $E$ 分别是 $A C$ ， $A B$ 上的点，且 $D E / / B C, A C = 2 B C = 3 D E = 6 .$ 将 $▵ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $▵ A_{1} D E$ 的位置，使 $A_{1} C ⊥ C D$ ，如图 $②$ 所示． $M$ 是线段 $A_{1} D$ 的中点， $P$ 是 $A_{1} B$ 上的点， $E P / /$ 平面 $A_{1} C D$ ．

(1)、求 $\frac{A_{1} P}{A_{1} B}$ 的值．

(2)、证明：平面 $B C M ⊥$ 平面 $A_{1} B E$ ．

(3)、求点 $P$ 到平面 $B C M$ 的距离．

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10、 $2023$ 年为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了 $80$ 名，统计他们的成绩 $($ 满分 $100$ 分 $)$ ，其中成绩不低于 $80$ 分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)、若该中学参加这次竞赛的共有 $3000$ 名学生，试估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数；

(2)、估计参加这次竞赛的学生成绩的第 $75$ 百分位数；

(3)、若在抽取的 $80$ 名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于 $70$ 分的学生中随机抽取 $6$ 人，再从 $6$ 人中选择 $2$ 人作为学生代表，求被选中的 $2$ 人均为航天达人的概率．

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11、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $O, E, M$ 分别是棱 $B D, B C, A C$ 的中点， $C A = C B = C D = B D = 2$ ， $A B = A D = \sqrt{2}$ ．

(1)、求证： $E M / /$ 平面 $A B D$ ；

(2)、求证： $A O ⊥$ 平面 $B C D$ ；

(3)、求异面直线 $A B$ 与 $C D$ 所成角的余弦值．

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12、 $《$ 九章算术 $》$ 中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马 $($ 底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥 $)$ 和一个鳖臑 $($ 四个面均为直角三角形的四面体 $) .$ 在如图所示的堑堵 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B B_{1} = B C = 2 \sqrt{3}$ ， $A B = 2$ ， $A C = 4$ ，且有鳖臑 $C_{1} - A B B_{1}$ 和鳖臑 $C_{1} - A B C$ ，现将鳖臑 $C_{1} - A B C$ 沿线 $B C_{1}$ 翻折，使点 $C$ 与点 $B_{1}$ 重合，则鳖臑 $C_{1} - A B C$ 经翻折后，与鳖臑 $C_{1} - A B B_{1}$ 拼接成的几何体的外接球的表面积是．

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13、为深入贯彻落实习近平总书记对天津工作“三个着力”重要要求，天津持续深化改革，创建全国文明城区，城市文明程度显著提升，人民群众的梦想不断实现 $.$ 在创建文明城区的过程中，中央文明办对某小区居民进行了创建文明城区相关知识网络问卷调查，从本次问卷中随机抽取了 $50$ 名居民的问卷结果，统计其得分数据，将所得 $50$ 份数据的得分结果分为 $6$ 组： $[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]$ ，并整理得到如下的频率分布直方图，则该小区居民得分的第 $70$ 百分位数为．

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14、若复数 $z$ 满足 $\frac{z}{1 + i} = i^{2020} + i^{2021}$ ，则复数 $z =$ ．

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15、如图，已知二面角 $α - l - β$ 的棱 $l$ 上有 $A, B$ 两点， $C \in α, A C ⊥ l, D \in β, B D ⊥ l$ ，且 $A C = A B = B D$ ，则( )

A、当 $α ⊥ β$ 时，直线 $C D$ 与平面 $β$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、当二面角 $α - l - β$ 的大小为 $6 0^{\circ}$ 时，直线 $A B$ 与 $C D$ 所成角为 $4 5^{\circ}$ C、若 $C D = 2 A B = 2$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 的外接球的体积为 $\frac{5 \sqrt{5} π}{3}$ D、若 $C D = 2 A B$ ，则二面角 $C - B D - A$ 的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$

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16、如图所示的电路中， $5$ 只箱子表示保险匣，设 $5$ 个盒子分别被断开为事件 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E .$ 箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是( )

A、 $A$ ， $B$ 两个盒子串联后畅通的概率为 $\frac{1}{3}$ B、 $D$ ， $E$ 两个盒子并联后畅通的概率为 $\frac{1}{30}$ C、 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个盒子混联后畅通的概率为 $\frac{5}{6}$ D、当开关合上时，整个电路畅通的概率为 $\frac{29}{36}$

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17、下列关于平面向量的说法正确的是( )

A、若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是共线的单位向量，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是相反向量，则 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ C、若 $\vec{a} + \vec{b} = \vec{0}$ ，则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共线 D、若 $\vec{A B} / / \vec{C D}$ ，则点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 必在同一条直线上

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18、如图，直线 $l_{1} / / l_{2}$ ，点 $A$ 是 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间的一个定点，点 $A$ 到 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的距离分别为 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{6}$ ，点 $B$ 是直线 $l_{2}$ 上一个动点，过点 $A$ 作 $A C ⊥ A B$ ，点 $E$ 、 $F$ 在线段 $B C$ 上运动 $($ 包括端点 $)$ 且 $E F = 1$ ，若 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的最小值为( )

A、 $3$ B、 $\frac{11}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{7}{4}$

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19、故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图 $1$ ，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图 $2$ 所示 $.$ 已知三楼柱 $A B F - C D E$ 和 $B D G - A C H$ 是两个完全相同的直三棱柱，侧棱 $E F$ 与 $G H$ 互相垂直平分， $E F, G H$ 交于点 $I$ ， $A F = B F = a$ ， $A F ⊥ B F$ ，则点 $G$ 到平面 $A C E F$ 的距离是( )

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3} a$ B、 $\frac{1}{2} a$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2} a$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4} a$

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20、学生甲想参加某高中校蓝球投篮特长生考试，测试规则如下： $①$ 投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处； $②$ 若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没有投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取； $③$ 若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没有投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不预录取 $.$ 已知学生甲在罚球线处投篮命中率为 $\frac{3}{4}$ ，在三分线处投篮命中率为 $\frac{3}{5}$ ，假设学生甲每次投进与否互不影响 $.$ 则学生甲共投篮三次就结束考试得概率为( )

A、 $\frac{27}{80}$ B、 $\frac{33}{80}$ C、 $\frac{9}{50}$ D、 $\frac{3}{40}$

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