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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 1$ ，则下列说法正确的是( )

A、 $f (x)$ 的极小值为 $- 2$ B、 $f (x)$ 的极大值为 $- \frac{23}{27}$ C、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{1}{3}, 1)$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 在区间 $(- \infty, 0)$ 上单调递减

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2、为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，我市教育系统选派了 $3$ 名男教师和 $2$ 名女教师去支援新疆教育，要求这 $5$ 名教师被分派到 $3$ 个学校对口支教，每名教师只去一个学校，每个学校至少安排 $1$ 名教师，其中 $2$ 名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方法有( )

A、 $18$ 种 B、 $36$ 种 C、 $68$ 种 D、 $84$ 种

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3、已知函数 $f (x) = x - l n x - 2$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、函数 $f (x)$ 在区间 $(k, k + 1) (k \in N)$ 上有零点，求 $k$ 的值；

(3)、记函数 $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} - b x - 2 - f (x)$ ，设 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 是函数 $g (x)$ 的两个极值点，若 $b \geq \frac{3}{2}$ ，且 $g (x_{1}) - g (x_{2}) \geq k$ 恒成立，求实数 $k$ 的最大值．

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4、无人机已广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ 其中 $n = a + b + c + d$

$α$

$0.15$

$0.10$

$0.05$

$0.010$

$0.001$

$x_{α}$

$2.072$

$2.706$

$3.841$

$6.635$

$10.828$

(1)、消防员甲操纵某一品牌的无人机在不同的气候中进行了投弹试验，结果见下表，根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候是否有关：

晴天
雨天
命中
$45$
$30$
不命中
$5$
$20$

(2)、某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员乙操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为 $\frac{4}{5}$ ，每次投弹是否击中目标相互独立 $.$ 无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为 $\frac{1}{2}$ ，击中目标两次起火点被扑灭的概率为 $\frac{2}{3}$ ，击中目标三次起火点必定被扑灭．
$(i)$ 求起火点被无人机击中次数 $X$ 的分布列及数学期望；
$(i i)$ 求起火点被无人机击中且被扑灭的概率．

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5、为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量 $y ($ 单位：亿元 $)$ 与研发人员增量 $x ($ 人 $)$ 的 $10$ 组数据．现用模型 $① y = b x + a$ ， $② y = c + d \sqrt{x}$ 分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中 $t_{i} = \sqrt{x_{i}}, \bar{t} = \frac{1}{10} \sum_{i = 1}^{10} t_{i}$ ．

$\bar{y}$

$\bar{t}$

$\sum_{i = 1}^{10} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$

$\sum_{i = 1}^{10} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}$

$\sum_{i = 1}^{10} (y_{i} - \bar{y}) (x_{i} - \bar{x})$

$\sum_{i = 1}^{10} (y_{i} - \bar{y}) (t_{i} - \bar{t})$

$7.5$

$2.25$

$82.50$

$4.50$
$12$ $14$

$2.88$

(1)、根据残差图，判断应选择哪个模型； $($ 无需说明理由 $)$

(2)、根据 $(1)$ 中所选模型，求出 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过 $8$ 亿元，研发人员增量至少多少人？ $($ 精确到 $1)$

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6、已知随机变量 $X \sim N (2, σ^{2})$ ，且 $P (X > 3) = 0.3$ ，则 $P (1 < X \leq 2) =$ ( )

A、 $0.7$ B、 $0.3$ C、 $0.2$ D、 $0.1$

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7、福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港 $.$ 如图，是港区某个泊位一天中 $6$ 时到 $18$ 时的水深变化曲线近似满足函数 $y = 3 s i n (ω x + φ) + k$ ，据此可知，这段时间水深 $($ 单位： $m)$ 的最大值为( )

A、 $5$ B、 $6$ C、 $8$ D、 $10$

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8、对于函数 $y = f (x)$ ，记 $f_{1} (x) = f (x), f_{2} (x) = f (f (x)), ⋯, f_{k} (x) = f_{k - 1} (f (x))$ .已知定义在 $N$ 上的函数 $f (x)$ 满足，当 $x = 4 m + i (m \in N, i = 0, 1, 2, 3)$ 时， $f (x) = \frac{x - i}{4} + i \times 4^{n - 1}$ ，其中 $n$ 是给定的正整数，记集合 $A_{n} = {x \in N ∣ f_{n} (x) = x}$ .

(1)、当 $n = 2$ 时，求 $f_{1} (1), f_{1} (2), f_{2} (1), f_{2} (2)$ ；

(2)、证明：当 $x ⩾ 4^{n}$ 时， $f (x) < x$ ；

(3)、求 $A_{1}, A_{2}$ .

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9、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D, C D$ $∥$ $A B$ ， $∠ A B C = 9 0^{∘}, A B = 4, P A = P D = C D = B C = 2$ .

(1)、若点 $M$ 为棱 $A B$ 的中点，求二面角 $A - P D - M$ 的余弦值；

(2)、若 $\vec{D N} = λ \vec{D P} (λ > 0)$ ，设直线 $B N$ 与平面 $A B C D$ ，平面 $P A D$ 所成的角分别为 $α, β$ ，求 $s i n α + s i n β$ 的最大值.

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10、为加快推动旅游业复苏，进一步增强市民旅游消费意愿，某景区推出针对中､高考生的优惠活动：凭中､高考准考证可优惠购票，并可以八折购买“金榜题名”文创雪糕.该景区从中､高考生游客中随机抽取200人了解他们对这项活动的满意度，统计得到 $2 \times 2$ 列联表如下：

不满意
满意
合计
高考生
60
40
100
中考生
35
65
100
合计
95
105
200
附： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$P (x^{2} ⩾ k)$
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$k$
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(1)、判断能否有 $99.9 %$ 的把握认为满意度与考生类型有关？

(2)、现从高考生的样本中用分层抽样的方法选出5人，再从这5人中随机抽取3人做进一步的访谈，求这3人中不满意的人数 $X$ 的概率分布及数学期望.

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11、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{x^{2} - a x} + a x - 1$ ，若对任意 $x \in (- ∞, - 1], f (x) ⩽ 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围为.

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12、已知随机变量 $X \sim N (2, σ^{2})$ ，若 $P (X ⩾ 0) = 0.7, P (2 ⩽ X ⩽ m) = 0.2$ ，则 $m =$ .

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13、已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + \frac{3 a - 2}{x}, x ⩾ 1, \\ (a + 2) x - 4, x < 1 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{2}{3}, 1]$ B、 $[- \frac{1}{2}, 1]$ C、 $(- 2, 1]$ D、 $(- 2, - \frac{1}{2}]$

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14、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $D D_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $B D_{1} ‖$ 平面 $A E C$ ；

(2)、 $C C_{1}$ 上是否存在一点 $F$ ，使得平面 $A E C ‖$ 平面 $B F D_{1}$ ？若存在，请确定点 $F$ 的位置；若不存在，请说明理由．

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15、某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，小王和小李打算分工调查测量并绘图，完成两个任务的研究．

(1)、小王获得了以下信息：
$a .$ 教学楼 $A B$ 和体育馆 $C D$ 之间有一条笔直的步道 $B D$ ；
$b .$ 在步道 $B D$ 上有一点 $M$ ，测得 $M$ 到教学楼顶 $A$ 的仰角是 $45^{\circ}$ ，到体育馆楼顶 $C$ 的仰角是 $30^{\circ}$ ；
$c .$ 从体育馆楼顶 $C$ 测教学楼顶 $A$ 的仰角是 $15^{\circ}$ ；
$d .$ 教学楼 $A B$ 的高度是 $20$ 米．
请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度 $C D$ ．

(2)、小李获得了以下信息：
$a .$ 体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是 $4$ 米；
$b .$ 大屏幕的高度 $P Q$ 是 $2$ 米；
$c .$ 当观众所站的位置 $N$ 到屏幕上下两端 $P$ ， $Q$ 所张的角 $∠ P N Q$ 最大时，观看屏幕的效果最佳．
请帮助小李完成任务二：求步道 $B D$ 上观看屏幕效果最佳地点 $N$ 的位置．

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16、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为棱 $B_{1} C_{1}$ 的中点， $F$ 为棱 $D_{1} C_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $E 、 F 、 B 、 D$ 四点共面；

(2)、求异面直线 $E F$ 与 $A D_{1}$ 所成角的大小．

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17、 $▵ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $2 b c o s A = c c o s A + a c o s C$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 4$ ，求 $▵ A B C$ 面积的最大值．

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18、已知 $\vec{a} = (1,0)$ ， $\vec{b} = (2,1)$ ．

(1)、当 $k$ 为何值时， $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 垂直？

(2)、若 $\vec{A B} = 2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ ， $\vec{B C} = \vec{a} + m \vec{b}$ 且 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点共线，求 $m$ 的值．

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19、已知 $s i n θ = \frac{4}{5}$ ， $θ$ 为第二象限角．

(1)、求 $s i n 2 θ$ 的值；

(2)、求 $c o s (θ - \frac{π}{6})$ 的值．

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20、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $A$ 为锐角， $t a n B c o s C = 1 - s i n C$ ， $△ A B C$ 的面积为 $2$ ，则 $△ A B C$ 的周长的最小值为．

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$α$	$0.15$	$0.10$	$0.05$	$0.010$	$0.001$
$x_{α}$	$2.072$	$2.706$	$3.841$	$6.635$	$10.828$

$\bar{y}$	$\bar{t}$	$\sum_{i = 1}^{10} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{10} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{10} (y_{i} - \bar{y}) (x_{i} - \bar{x})$	$\sum_{i = 1}^{10} (y_{i} - \bar{y}) (t_{i} - \bar{t})$
$7.5$	$2.25$	$82.50$	$4.50$	$12$ $14$	$2.88$

	不满意	满意	合计
高考生	60	40	100
中考生	35	65	100
合计	95	105	200

$P (x^{2} ⩾ k)$	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k$	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	晴天	雨天
命中	$45$	$30$
不命中	$5$	$20$