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相关试卷

1、求以 $A (1, - 1)$ 为圆心，且经过点 $B (0,1)$ 的圆的一般方程( )

A、 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 7 = 0$ B、 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y - 7 = 0$ C、 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y - 3 = 0$ D、 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y + 3 = 0$

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2、已知直线 $l_{1} : x + y = 0$ ， $l_{2} : a x + b y + 1 = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a + b =$ ( )

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $2$

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3、对于函数 $f (x)$ ， $g (x)$ ，若存在实数 $m$ ， $n$ ，使得函数 $ℎ (x) = m f (x) + n g (x)$ ，则称 $ℎ (x)$ 为 $f (x)$ ， $g (x)$ 的“合成函数”．

(1)、已知 $f (x) = x - 3$ ， $g (x) = 3 - 2 x$ ，试判断 $ℎ (x) = x - 6$ 是否为
$f (x)$ ， $g (x)$ 的“合成函数”？若是，求实数 $m$ ， $n$ 的值；若不是，说明理由；

(2)、已知 $f (x) = s i n (x - \frac{π}{4})$ ， $g (x) = c o s x$ ， $ℎ (x)$ 为 $f (x)$ ， $g (x)$ 的“合成函数”，且 $m = 1$ ， $n = \sqrt{2}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x + \frac{π}{4}) \cdot g (x) + k ℎ (x) = 0$ 在 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 上有解，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、已知 $f (x) = x$ ， $g (x) = \frac{3}{x}$ ， $ℎ (x)$ 为 $f (x)$ ， $g (x)$ 的“合成函数” $($ 其中 $m > 0, n > 0)$ ， $ℎ (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ，当且仅当 $x = 3$ 时， $ℎ (x)$ 取得最小值 $6 .$ 若对任意正实数 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} = 2$ ，不等式 $ℎ (x_{1}) + ℎ (x_{2}) \geq p$ 恒成立，求实数 $p$ 的最大值．

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4、如图，已知等腰梯形 $A B C D$ 中， $A D$ $/ /$ $B C$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} B C = 2$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点， $A E \cap B D = M$ ，将 $△ B A E$ 沿着 $A E$ 翻折成 $△ B_{1} A E$ ，使 $B_{1} M ⊥$ 平面 $A E C D$ ．

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $B_{1} D M$ ；

(2)、求 $B_{1} E$ 与平面 $B_{1} M D$ 所成的角；

(3)、在线段 $B_{1} C$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $M P$ $/ /$ 平面 $B_{1} A D$ ，若存在，求出 $\frac{B_{1} P}{B_{1} C}$ 的值；若不存在，说明理由．

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5、某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角 $△ A B C$ 和以 $B C$ 为直径的半圆拼接而成，点 $P$ 为半圆上一点 $($ 异于 $B$ ， $C)$ ，点 $H$ 在线段 $A B$ 上，且满足 $C H ⊥ A B .$ 已知 $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = 1 d m$ ，设 $∠ A B C = θ$ ．

(1)、为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足 $∠ A B C = ∠ P C B$ ，且 $C A + C P$ 达到最大．当 $θ$ 为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；

(2)、为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足 $∠ P B A = 60 °$ ，且 $C H + C P$ 达到最大．当 $θ$ 为何值时， $C H + C P$ 取得最大值，并求该最大值．

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6、文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者 $.$ 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取 $100$ 份作为样本，将样本的成绩 $($ 满分 $100$ 分，成绩均为不低于 $40$ 分的整数 $)$ 分成六段： $[40,50), [50,60)$ ， $\dots$ ， $[90,100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、求样本成绩的第 $75$ 百分位数；

(3)、已知落在 $[50,60)$ 的平均成绩是 $54$ ，方差是 $7$ ，落在 $[60,70)$ 的平均成绩为 $66$ ，方差是 $4$ ，求两组成绩的总平均数 $\bar{z}$ 和总方差 $s^{2}$ ．

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7、在 $△ A B C$ 中， $B C = 6$ ， $∠ A C B = 60 °$ ，边 $A B$ ， $B C$ 上的点 $M$ ， $N$ 满足 $\vec{B M} = \frac{1}{3} \vec{M A}$ ， $\vec{B N} = 2 \vec{N C}$ ， $P$ 为 $A C$ 中点．

(1)、设 $\vec{N M} = λ \vec{C B} + μ \vec{C A}$ ，求实数 $λ$ ， $μ$ 的值；

(2)、若 $\vec{B P} \cdot \vec{N M} = - 8$ ，求边 $A C$ 的长．

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8、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $C = 60 °$ ， $c = 7$ ，若 $a - b = 3$ ， $D$ 为 $A B$ 中点，则 $C D =$ ．

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9、某校辩论赛小组共有 $5$ 名成员，其中 $3$ 名女生 $2$ 名男生，现要从中随机抽取 $2$ 名成员去参加外校交流活动，则抽到 $2$ 名男生的概率为．

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10、在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 、 $N$ 分别是线段 $A_{1} B_{1}$ ， $C D_{1}$ 上的动点，以下结论正确的是( )

A、平面 $A M C_{1} ⊥$ 平面 $C B_{1} D_{1}$ B、若 $M$ 是 $A_{1} B_{1}$ 中点，则异面直线 $A M$ 与 $D D_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、三棱锥 $A - B D M$ 的体积为定值 D、 $D N + N B_{1}$ 的长的最小值为 $\sqrt{2} + \sqrt{6}$

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11、已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )

A、 $φ = \frac{π}{3}$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{5}{12} π$ 对称 C、函数 $f (x)$ 图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位可得函数 $y = 2 s i n 2 x$ 的图象 D、若方程 $f (x) = m (m \in R)$ 在 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 上有两个不等实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $c o s (x_{1} + x_{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

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12、下列说法正确的是( )

A、在任意四边形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $A D$ ， $B C$ 的中点，则 $\vec{A B} + \vec{D C} = 2 \vec{E F}$ B、复数 $z = \frac{1 + i}{1 - i} (i$ 是虚数单位 $)$ ，则 $z + z^{2} + z^{3} + \dots + z^{2024} = 0$ C、长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 D、直三棱柱的任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积

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13、已知 $A$ 为锐角， $t a n 2 A = \frac{c o s A}{2 - s i n A}$ ， $t a n (A - B) = \frac{2 \sqrt{15}}{15}$ ，则 $t a n B =$ ( )

A、 $- \frac{\sqrt{15}}{17}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{17}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{15}}{17}$ D、 $\frac{2 \sqrt{15}}{17}$

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14、下列说法错误的是( )

A、在 $△ A B C$ 中，若 $a > b$ ，则 $c o s$ $A < c o s$ $B$ B、在锐角 $△ A B C$ 中，不等式 $b^{2} + c^{2} - a^{2} > 0$ 恒成立 C、在 $△ A B C$ 中，若 $C = \frac{π}{4}$ ， $a^{2} - c^{2} = b c$ ，则 $△ A B C$ 为等腰直角三角形 D、在 $△ A B C$ 中，若 $b = 3$ ， $A = 60 °$ ， $△ A B C$ 面积 $S = 3 \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 外接圆半径为 $\frac{2 \sqrt{39}}{3}$

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15、若 $a$ ， $b$ ， $c$ 为空间中的不同直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 为不同平面，则下列为真命题的个数是(    )
$① a ⊥ c$ ， $b ⊥ c$ ，则 $a$ $/ /$ $b$ ；   $② a ⊥ α$ ， $b ⊥ α$ ，则 $a$ $/ /$ $b$ ；
$③ α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α$ $/ /$ $β$ ；   $④ a ⊥ α$ ， $a ⊥ β$ ，则 $α$ $/ /$ $β$ ．

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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16、已知某正四棱锥的高为 $3$ ，体积为 $64$ ，则该正四棱锥的侧面积为( )

A、 $48$ B、 $64$ C、 $80$ D、 $144$

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17、已知向量 $\vec{a} = (- 2,2 \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (1, \sqrt{3})$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量为( )

A、 $\frac{1}{4} \vec{a}$ B、 $- \frac{1}{4} \vec{a}$ C、 $- \vec{b}$ D、 $\vec{b}$

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18、设复数 $z$ 满足 $(1 - 2 i) z = 4 + 2 i$ ，则 $\bar{z} =$ ( )

A、 $2 i$ B、 $- 2 i$ C、 $3 i$ D、 $- 3 i$

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19、已知集合 $A = \{x \in Z |x + 1 \geq 0\}$ ， $B = \{x |x^{2} - x - 6 < 0\}$ ，则 $A \cap B =$ ( )

A、 $\{x \in Z |x \geq - 1\}$ B、 $\{x |- 1 \leq x \leq 3\}$ C、 $\{- 1,0, 1,2, 3\}$ D、 $\{- 1,0, 1,2\}$

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20、为考察药物 $M$ 对预防疾病 $A$ 以及药物 $N$ 对治疗疾病 $A$ 的效果，科研团队进行了大量动物对照试验．根据 $100$ 个简单随机样本的数据，得到如下列联表： $($ 单位：只 $)$
药物 $M$
疾病 $A$
未患病
患病
合计
未服用
$30$
$15$
$45$
服用
$45$
$10$
$55$
合计
$75$
$25$
$100$
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．

$α$

$0.100$

$0.050$

$0.010$

$0.001$

$x_{α}$

$2.706$

$3.841$

$6.635$

$10.828$

(1)、依据 $α = 0.1$ 的独立性检验，分析药物 $M$ 对预防疾病 $A$ 的有效性；

(2)、用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取 $1$ 只，用药物 $N$ 进行治疗．已知药物 $N$ 的治愈率如下：对未服用过药物 $M$ 的动物治愈率为 $\frac{1}{2}$ ，对服用过药物 $M$ 的动物治愈率为 $\frac{3}{4} .$ 若共选取 $3$ 次，每次选取的结果是相互独立的．记选取的 $3$ 只动物中被治愈的动物个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望．

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药物 $M$	疾病 $A$
药物 $M$	未患病	患病	合计
未服用	$30$	$15$	$45$
服用	$45$	$10$	$55$
合计	$75$	$25$	$100$

$α$	$0.100$	$0.050$	$0.010$	$0.001$
$x_{α}$	$2.706$	$3.841$	$6.635$	$10.828$