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相关试卷

1、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，异面直线 $C_{1} D_{1}$ 与 $A_{1} B$ 所成角的大小为．

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2、复数 $3 - 5 i$ ， $1 - i$ 和 $- 2 + a i$ 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数 $a$ 的值为．

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3、今年春节档两部电影票房突破 $20$ 亿大关， $《$ 满江红 $》$ 不负众望，凭借喜剧元素和家国情怀，以 $25.96$ 亿票房成为档期内票房冠军，另一部科幻续作 $《$ 流浪地球 $2 》$ 则成为最高口碑电影 $.$ 下图是这两部电影连续 $7$ 天的日票房情况，则( )

A、 $《$ 满江红 $》$ 日票房平均数大于 $《$ 流浪地球 $2 》$ 日票房平均数 B、 $《$ 满江红 $》$ 日票房方差大于 $《$ 流浪地球 $2 》$ 日票房方差 C、 $《$ 满江红 $》$ 日票房极差小于 $《$ 流浪地球 $2 》$ 日票房极差 D、 $《$ 满江红 $》$ 日票房的第 $25$ 百分位数小于 $《$ 流浪地球 $2 》$ 日票房的第 $75$ 百分位数

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4、已知向量 $\vec{a} = (- 4,3)$ ， $\vec{b} = (7,1)$ ，下列说法正确的是( )

A、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ B、 $|\vec{a} - \vec{b}| = 125$ C、与向量 $\vec{a}$ 平行的单位向量是 $(- \frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ D、向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{2} \vec{b}$

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5、从 $2023$ 年 $6$ 月开始，浙江省高考数学使用新高考全国数学 $I$ 卷，与之前浙江高考数学卷相比最大的变化是出现了多选题 $.$ 多选题规定：在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 $5$ 分，有选错的得 $0$ 分，部分选对且没有选错的得 $2$ 分 $.$ 若某个多选题的正确答案是BCD ，某同学不会做该题的情况下打算随机选 $1$ 个到 $3$ 个选项作为答案，每种答案都等可能 $($ 例如，选A ， $A B$ ， $A B C$ 是等可能的 $)$ ，则该题得 $2$ 分的概率是( )

A、 $\frac{5}{14}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{4}{7}$

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6、在 $▵ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $∠ A = 60^{\circ}$ ，且 $▵ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，若 $b + c = 6$ ，则 $a =$ ( )

A、 $2 \sqrt{6}$ B、 $5$ C、 $\sqrt{30}$ D、 $2 \sqrt{7}$

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7、已知平面 $α ⊥$ 平面 $β$ ，直线 $l ⊄ α$ ，则“ $l ⊥ β$ ”是“ $l / / α$ ”的( )

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8、已知 $▵ A B C$ 的斜二测画法的直观图为 $▵ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，若 $A^{'} B^{'} = 4, B^{'} C^{'} = 3, ∠ A^{'} B^{'} C^{'} = 60^{\circ}$ ，则 $▵ A B C$ 的面积为( )

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $\frac{3 \sqrt{6}}{4}$ C、 $6 \sqrt{6}$ D、 $12 \sqrt{6}$

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9、已知函数 $f (x) = \frac{x + 1}{e^{x}}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间 $;$

(2)、证明 $x \in (0, + \infty)$ 时， $x - l n x \geq \frac{e^{x - 1}}{x} \cdot f (\frac{e^{x - 2}}{x});$

(3)、若对于任意的 $x \in (0, + \infty)$ ，关于 $x$ 的不等式 $e^{x - 2} \geq 2 m x^{2} - x - x l n x$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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10、

(1)、如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置 $0$ 出发，每次向左或向右移动一个单位的概率都为 $\frac{1}{2}$ ，设移动 $n$ 次后质点位于位置 $X_{n}$ ．
$($ Ⅰ $)$ 求随机变量 $X_{4}$ 的概率分布列及 $E (X_{4});$
$($ Ⅱ $)$ 求 $E (X_{n});$

(2)、若轨道上只有 $0$ ， $1$ ， $2 \dots$ ， $n$ 这 $n + 1$ 个位置 $.$ 质点向左或右移动一个单位的概率都为 $\frac{1}{2}$ ，若在 $0$ 处，则只能向右移动 $.$ 现有一个质点从 $0$ 出发，求它首次移动到 $n$ 的次数的期望．

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11、已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{2} = 6$ ， $S_{5} = 45$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n} = \frac{1}{2} (3^{n} - 1)$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式 $;$

(2)、设数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = \{\begin{array}{l} 0, n 为奇数, \\ b_{\frac{n}{2}} n 为偶数, \end{array}$ 求 $a_{1} c_{2 n} + a_{2} c_{2 n - 1} + \dots + a_{2 n} c_{1} (n \in N^{*}) .$

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12、树人中学对某次高三学生的期末考试成绩进行统计，从全体考生中随机抽取48名学生的数学成绩(x)和物理成绩(y)，得到一些统计数据： $\sum_{i = 1}^{48} x_{i}$ =5280， $\sum_{i = 1}^{48} y_{i}$ =3552， $\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{48} (x_{i} - \bar{x})^{2}}{\sum_{i = 1}^{48} (y_{i} - \bar{y})^{2}}}$ = $\frac{11}{6}$ ，其中 $x_{i}$ ， $y_{i}$ 分别表示这48名同学的数学成绩和物理成绩，i=1，2， $\dots$ ， 48，y与x的相关系数r=0.77.
附：①回归方程 $\hat{y}$ = $\hat{a}$ + $\hat{b}$ x中： $\hat{b}$ = $\frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}}$ ， $\hat{a}$ = $\bar{y}$ - $\hat{b} \bar{x}$
②相关系数r= $\frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2} \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - \bar{y})^{2}}}$
③若 $η$ ~N( $μ$ ， $σ^{2}$ )，则P( $μ$ - $σ \leq η \leq μ$ + $σ$ ) $\approx$ 0.68，P( $μ$ -2 $σ \leq η \leq μ$ +2 $σ$ ) $\approx$ 0.95
④ $\frac{1}{48} \sum_{i = 1}^{48} y_{i}^{2}$ - ${\bar{y}}^{2}$ =120， $\sqrt{120} \approx$ 10.95

(1)、求y关于x的线性回归方程；

(2)、从概率统计规律看，本次考试该校高三学生的物理成绩 $ξ$ 服从正态分布N( $μ$ ， $σ^{2}$ )，用样本平均数 $\bar{y}$ 作为 $μ$ 的估计值，用样本方差 $s^{2}$ 作为 $σ^{2}$ 的估计值.试求该校高三共1000名考生中，物理成绩位于区间(63.05，95.9)的人数Z的数学期望.

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13、已知集合 $M = {x | \frac{4 - x}{x - 2} \geq 0}$ ，非空集合 $N = {x | 1 - m < x < 2 m - 3}$ ．

(1)、若 $m = 3$ 时，求 $M \cap N;$

(2)、是否存在实数 $m$ ，使得 $x \in ∁_{R} M$ 是 $x \in ∁_{R} N$ 的必要不充分条件 $?$ 若存在，求实数 $m$ 的取值范围 $;$ 若不存在 $.$ 请说明理由．

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14、设 $A$ ， $B$ 是一个随机试验中的两个事件，且 $P (\bar{A}) = \frac{1}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{4}$ ， $P (\bar{A} B + A \bar{B}) = \frac{7}{12}$ ，则 $P (\bar{A} | B) =$ ．

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15、 $(x^{2} - x + y)^{6}$ 的展开式中 $x^{5} y^{3}$ 的系数为 $. ($ 用数字作答 $)$

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16、若函数 $f (x) = \frac{l n x}{e^{x}}$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，则 $f^{'} (1)$ 的值为．

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17、冒泡排序是一种计算机科学领域的较简单的排序算法，其基本思想是：通过对待排序序列 ${x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}}$ 从左往右，依次对相邻两个元素 ${x_{k}, x_{k + 1}} (k = 1$ ， $2$ ， $\dots$ ， $n - 1)$ 比较大小，若 $x_{k} > x_{k + 1}$ ，则交换两个数的位置，使值较大的元素逐渐从左移向右，就如水底下的气泡一样逐渐向上冒，重复以上过程直到序列中所有数都是按照从小到大排列为止 $.$ 例如：对于序列 ${2,1, 4,3}$ 进行冒泡排序，首先比较 ${2,1}$ ，需要交换 $1$ 次位置，得到新序列 ${1,2, 4,3}$ ，然后比较 ${2,4}$ ，无需交换位置，最后比较 ${4,3}$ ，又需要交换 $1$ 次位置，得到新序列 ${1,2, 3,4}$ 最终完成了冒泡排序，同样地，序列 ${1,4, 2,3}$ 需要依次交换 ${4,2}$ ， ${4,3}$ 完成冒泡排序 $.$ 因此， ${2,1, 4,3}$ 和 ${1,4, 2,3}$ 均是交换 $2$ 次的序列 $.$ 现在对任一个包含 $n$ 个不等实数的序列进行冒泡排序 $(n \geq 3)$ ，设在冒泡排序中序列需要交换的最大次数为 $a_{n}$ ，只需要交换 $1$ 次的序列个数为 $b_{n}$ ，只需要交换 $2$ 次的序列个数为 $c_{n}$ ，则( )

A、序列 ${2,7, 1,8}$ 是需要交换 $3$ 次的序列 B、 $a_{n} = \frac{n (n - 1)}{2}$ C、 $b_{n} = n - 1$ D、 $c_{5} = 9$

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18、已知 $a < b < c (a, b, c \in R)$ ，且 $a + 2 b + 3 c = 0$ ，则( )

A、 $a < 0 < c$ B、 $\exists a$ ， $c$ 使得 $a^{2} - 25 c^{2} = 0$ C、 $a + c$ 可能大于 $0$ D、 $\frac{b + 2 c}{a + c} < - \frac{1}{2}$

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19、已知变量 $x$ 和变量 $y$ 的一组成对样本数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1,2, \dots, n)$ 的散点落在一条直线附近， $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}$ ， $\bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} y_{i}$ ，相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - \bar{y})^{2}}}$ ，线性回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a} (\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}})$ ，则( )

A、当 $r$ 越大时，成对数据样本相关性越强 B、当 $r > 0$ 时， $\hat{b} > 0$ C、当 $x_{n + 1} = \bar{x}$ ， $y_{n + 1} = \bar{y}$ 时，成对样本数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1,2, \dots, n, n + 1)$ 的相关系数 $r^{'}$ 满足 $r^{'} = r$ D、当 $x_{n + 1} = \bar{x}$ ， $y_{n + 1} = \bar{y}$ 时，成对样本数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1,2, \dots, n, n + 1)$ 的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{d} x + \hat{c}$ 满足 $\hat{d} = \hat{b}$

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20、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = x e^{- x^{2} + a x} (a \in R)$ ，设 $f (x)$ 的极大值和极小值分别为 $m$ ， $n$ ，则 $m n$ 的取值范围是( )

A、 $(- \infty, - \frac{e}{2}]$ B、 $(- \infty, - \frac{1}{2 e}]$ C、 $[- \frac{e}{2}, 0)$ D、 $[- \frac{1}{2 e}, 0)$

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