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相关试卷

1、已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (2 \vec{a} - \vec{b})$ ，且向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量是 $\frac{\sqrt{3}}{4} \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是( )

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2、已知圆锥的底面半径为 $2$ ，其侧面展开图是一个圆心角为 $\frac{4 π}{3}$ 的扇形，则该圆锥的侧面积为( )

A、 $6 π$ B、 $8 π$ C、 $10 π$ D、 $12 π$

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3、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $4 5^{\circ}, |\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = \sqrt{2}$ ，则 $|2 \vec{b} - \vec{a}| =$ ( )

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{13}$ D、 $5$

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4、某校运动会，一位射击运动员 $10$ 次射击射中的环数依次为： $7$ ， $7$ ， $10$ ， $9$ ， $7$ ， $6$ ， $9$ ， $10$ ， $7$ ， $8 .$ 则下列说法错误的是( )

A、这组数据的平均数为 $8$ B、这组数据的众数为 $7$ C、这组数据的极差为 $4$ D、这组数据的第 $80$ 百分位数为 $9$

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5、已知函数 $f (x) = a x^{2} - x l n x$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $(0, + ∞)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围.

(2)、已知方程 $f (x) = x$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ .
①求 $a$ 的取值范围；
②若 $x_{2} ⩾ 3 x_{1}$ ，证明： $x_{1} x_{2} ⩾ \frac{9}{e^{2}}$ .

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6、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且椭圆 $C$ 过点 $M (2, 1)$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程.

(2)、设 $P, Q$ 是椭圆 $C$ 上异于 $M$ 的两个动点，直线 $M P, M Q$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ .若 $k_{1} + k_{2} =$ 0，试判断直线 $P Q$ 的斜率是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

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7、广场舞､健步走已成为广大群众喜闻乐见的健身活动，但围绕其噪音､占道发生的“扰民”问题常让人感到头疼，也成为社会关注的热点.某地为引导群众文明开展健身活动，促进全民养成文明健康､绿色环保的生活方式，规范广场舞､集体健步走等活动的开展，发布了《静音广场舞，规范健步走倡议书》.小明的妈妈为响应号召，在家里积极段炼，等步长沿直线前后连续移步.已知她从点 $O$ 出发，每次向前移动1步的概率为 $\frac{3}{4}$ ，向后移动1步的概率为 $\frac{1}{4}$ .

(1)、求移动4步后回到点 $O$ 的概率；

(2)、若移动5步后到达点 $Q$ ，记 $O, Q$ 两点之间的步数为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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8、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形，若 $∠ B A D = 6 0^{∘}, P B = P D = 2, Q$ 为 $P C$ 的中点， $△ B D Q$ 的面积为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

(1)、求 $P$ 到平面 $A B C D$ 的距离；

(2)、求平面 $B D Q$ 与平面 $P A B$ 夹角的余弦值.

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9、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, a^{2} + b^{2} - c^{2} = \sqrt{5}, s i n C = \frac{1}{4}$ .

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $s i n A s i n B = \frac{\sqrt{3}}{6}$ ，求 $c$ .

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10、已知在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} + a_{10} = 34, a_{5} = 14$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、求数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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11、《九章算术》是中国古代数学专著，承先秦数学发展的源流，进入汉朝后又经许多学者的删补后才最后成书.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在鳖臑 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C, A C ⊥ B C, P A = 2, P B = 2 \sqrt{2}, B C = 1$ ，点 $Q$ 在线段 $A C$ 上， $P Q + Q B$ 的最小值为；当 $P Q + Q B$ 的值最小时，三棱锥 $P - A Q B$ 外接球的表面积为.（本题第一空2分，第二空3分）

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12、过直线 $x - 2 y + 5 = 0$ 上一点 $P$ 向圆 $C : (x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 4$ 作切线，切点为 $M$ ，则 $| P M |$ 的最小值为.

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13、函数 $f (x) = c o s (ω x + \frac{π}{5}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则曲线 $y = f (x)$ 的一条对称轴方程为.

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14、已知函数 $f (x) = e^{x} - x^{2}$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程为.

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15、定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (- x + 2) = f (x + 2)$ ，当 $x \in [0, 2]$ 时， $f (x) = x l n (x + 1)$ ，则（）

A、 $f (- 1) = l n 2$ B、 $f (x)$ 的一个周期为4 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- 2, 0)$ 对称 D、 $f (0) + f (1) + f (2) + ⋯ + f (2024) = 506 l n 6$

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16、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 满足 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + μ \vec{B B_{1}}$ ，其中 $λ \in [0, 1]$ ， $μ \in [0, 1]$ ，则（）

A、当 $λ = 1$ 时， $A P ⊥ B D$ B、当 $μ = 1$ 时，三棱锥 $P - A B D$ 的体积为 $\frac{8}{3}$ C、当 $λ + μ = 1$ 时， $A P$ $∥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ D、当 $λ = μ = \frac{1}{2}$ 时， $P$ 到平面 $A_{1} C_{1} D$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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17、已知点 $P$ 在左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ 的双曲线 $C : \frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 上， $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 12$ ，则（）

A、渐近线方程为 $y = \pm 2 x$ B、离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $c o s ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{15}{16}$ D、 $S_{△ P F_{1} F_{2}} = \sqrt{31}$

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18、已知 $\vec{a} = (9, 8), \vec{b} = (5, λ)$ ，则下列选项中正确的是（）

A、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $λ = \frac{45}{8}$ B、若 $(\vec{a} - \vec{b})$ $∥$ $\vec{a}$ ，则 $λ = \frac{40}{9}$ C、若 $λ = 5$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | = 5$ D、若 $λ = 5$ ，则 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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19、小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字.如下图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字，比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用10根火柴棒以适当的方式全部放入表格中中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的三位数的个数为（）

A、42 B、38 C、54 D、48

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20、已知直线 $l$ 交抛物线 $C : x^{2} = - 18 y$ 于 $M, N$ 两点，且 $M N$ 的中点为 $(3, - 2)$ ，则直线 $l$ 的斜率为（）

A、-3 B、 $- \frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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