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相关试卷

1、在 ${(1 + x)}^{2} + {(1 + x)}^{3} + \dots + {(1 + x)}^{9}$ 的展开式中， $x^{3}$ 项的系数为．

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2、已知 $\tan α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $\tan 2 α =$ ．

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3、如图，在棱长均为1的平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $B B_{1} ⊥$ 平面 $A B C D, ∠ A B C = 60^{\circ}$ ， $P, Q$ 分别是线段 $A C$ 和线段 $A_{1} B$ 上的动点，且满足 $\vec{B Q} = λ \vec{B A_{1}}, \vec{C P} = (1 - λ) \vec{C A}$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时， $P Q$ $/ /$ $A_{1} D$ B、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，若 $\vec{P Q} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A A_{1}} (x, y, z \in R)$ ，则 $x + y + z = 0$ C、当 $λ = \frac{1}{3}$ 时，直线 $P Q$ 与直线 $C C_{1}$ 所成角的大小为 $\frac{π}{6}$ D、当 $λ \in (0, 1)$ 时，三棱锥 $Q - B C P$ 的体积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{48}$

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4、已知两点 $A (- 2, 0), B (2, 0)$ ，若直线上存在点 $P$ ，使得 $|P A| - |P B| = 2$ ，则称该直线为“点定差线”，下列直线中，是“点定差直线”的有（）

A、 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + 1$ B、 $y = x + 1$ C、 $y = 2 x + 4$ D、 $y = \sqrt{2} x + 1$

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5、样本数据28、30、32、36、36、42的（）

A、极差为14 B、平均数为34 C、上四分位数为36 D、方差为20

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6、已知函数 $f (x) = 5 sin (2 x - \frac{π}{6}), x \in [0, \frac{37 π}{3}]$ ，若函数 $F (x) = f (x) - 4$ 的所有零点依次记为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < \dots < x_{n}$ ，则 $x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} + \dots + 2 x_{n - 1} + x_{n} =$ （）

A、 $292 π$ B、 $\frac{625 π}{2}$ C、 $\frac{1001 π}{3}$ D、 $\frac{711 π}{2}$

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7、棱长均为3的正三棱柱的各个顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为（）

A、 $18 π$ B、 $21 π$ C、 $42 π$ D、 $36 π$

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8、已知公差为 $d$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{20} < 0$ ， $S_{21} > 0$ ，则 $\frac{a_{4}}{d}$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{1}{6}, - \frac{1}{7})$ B、 $(- \frac{2}{13}, - \frac{1}{7})$ C、 $(- 7, - 6)$ D、 $(- 7, - \frac{13}{2})$

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9、已知实数a，b满足 $a b = 1 - a$ ，则下列数中不可能是 $a + b$ 的值的是（）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、2 D、3

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10、若曲线 $C : (k - 4) x^{2} + \frac{y^{2}}{6 - k} = 1$ 表示椭圆，则实数k的取值范围是（）

A、 $(4, 6)$ B、 $(4, 5)$ C、 $(5, 6)$ D、 $(4, 5) \cup (5, 6)$

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11、函数 $f (x) = sin x cos x$ 的图象在点 $(\frac{π}{4}, f (\frac{π}{4}))$ 处的切线方程为（）

A、 $x + y - \frac{1}{2} - \frac{π}{4} = 0$ B、 $x - y + \frac{1}{2} - \frac{π}{4} = 0$ C、 $y - \frac{1}{2} = 0$ D、 $y + \frac{1}{2} = 0$

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12、若复数 $z$ 满足 $z (1 - 2 i) = 3 + i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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13、已知集合 $A = {x ∣ - 5 < x < 2}, B = {x ∣ |x| < 3}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- 5, 3)$ B、 $(- \infty, 3)$ C、 $(- 3, 2)$ D、 $(- \infty, 2)$

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14、函数 $h (x)$ 的定义域为R ，若存在非零实数T，对 $\forall x \in R$ ，都有 $h (x + T) = h (x) + h (T)$ ，则称函数 $h (x)$ 关于T可线性分解，已知 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ)$ （ $0 < ω < 3$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）．

(1)、若 $f (x)$ 关于T可线性分解，求 $f (0)$ ， $f (T)$ ；

(2)、若 $g (x) = f (x + \frac{1}{4})$ ， $g (x)$ 关于3可线性分解．
（ⅰ）求函数 $y = f (x) \times f [f (x)] + 4$ 的零点；
（ⅱ）对 $\forall n \in N^{*}$ ， $f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (n) \leq m$ ，求m的取值范围．

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15、已知甲盒中装有3个白球，2个黑球；乙盒中装有2个白球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同．

(1)、若从两个盒子中一次性各摸出2个球，用X表示摸出的4个球中白球的个数，求X的分布列和数学期望．

(2)、若先从甲盒中一次性摸出2个球放入乙盒，再从乙盒中摸出一个球．
（ⅰ）计算在乙盒中摸出的是黑球的概率；
（ⅱ）如果在乙盒中摸出的是黑球，计算甲盒中恰剩一个黑球的概率．

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16、已知函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} - a \cdot 2^{x}$ ， $f (x)$ 为偶函数．

(1)、求实数a的值；

(2)、写出 $f (x)$ 的单调区间（不需要说明理由）；

(3)、若对于任意 $t \in [- 3, 1]$ ，不等式 $f (t^{2} - 2 t + 2) > f (- 2 t^{2} + k)$ 恒成立，求实数k的取值范围．

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17、某企业拥有甲、乙两种生产工艺，用这两种生产工艺共生产40件同一类型产品，所得合格品情况如表1，该企业对甲生产工艺研发投入x（亿元）与总收益y（亿元）的数据统计如表2.
表1：
工艺
合格情况
合计
合格品
不合格品
甲
18

20
乙

8

合计

40
表2：
研发投入x（亿元）
1
2
3
4
收益y（亿元）
6.5
7
8
8.5

(1)、完成列联表，并根据 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为产品合格率与生产工艺有关？

(2)、用线性回归方程预估当对甲生产工艺研发投入10亿元时，总收益将达到多少亿元？
附：① $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .
②临界值表：
α
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
③参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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18、已知 ${(\sqrt[3]{x^{2}} + 3 x^{2})}^{n}$ 的展开式中，二项式系数和为64．

(1)、求展开式中各项系数的和；

(2)、求展开式中含 $x^{8}$ 的项．

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19、若存在实数x使得 $\log_{2} (1 - x) + 3 \log_{8} (1 + x) \geq 4^{m} + 2^{m + 1} - 8$ 成立，则实数m的最大值为．

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20、若 $\tan (α + \frac{π}{4}) = - \frac{3}{4}$ ，则 $\sin 2 α =$ ．

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工艺	合格情况		合计
工艺	合格品	不合格品	合计
甲	18		20
乙		8
合计			40

α	0.100	0.050	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

研发投入x（亿元）	1	2	3	4
收益y（亿元）	6.5	7	8	8.5