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相关试卷

1、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $Q$ 为线段 $B_{1} C_{1}$ 的中点， $P$ 为线段 $C C_{1}$ 上的动点（含端点），则下列结论错误的是（）

A、三棱锥 $D - D_{1} P Q$ 的体积为定值 B、 $P$ 为线段 $C C_{1}$ 的中点时，过 $D, P, Q$ 三点的平面截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得的截面的面积为 $\frac{3 \sqrt{10}}{2}$ C、 $D P + P Q$ 的最小值为 $\sqrt{5} + \sqrt{2}$ D、直线 $D P$ 与直线 $A_{1} B$ 所成角的取值范围为 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$

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2、已知复数z，下列说法正确的是（）

A、若 $z - \bar{z} = 0$ ，则z为实数 B、若 $z^{2} + {\bar{z}}^{2} = 0$ ，则 $z = \bar{z} = 0$ C、若 $|z - i| = 1$ ，则 $| z |$ 的最大值为2 D、若 $| z - i | = | z | + 1$ ，则z为纯虚数

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3、在 $△ A B C$ 中，已知 $a, b, c$ 分别为角 $A, B, C$ 的对边．若 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 3 \cos C$ ，且 $\cos (A - B) = - \frac{\sqrt{3}}{6}$ ，则 $\cos C =$ （）

A、 $- \frac{4 \sqrt{3}}{9}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{9}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或 $- \frac{4 \sqrt{3}}{9}$

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4、如图，四面体 $A B C D$ 中， $A B$ ， $B C$ ， $B D$ 两两垂直， $B C = B D = 2$ ，点 $E$ 是 $C D$ 的中点，若直线 $A B$ 与平面 $A C D$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则点 $B$ 到平面 $A C D$ 的距离为

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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5、如右图所示，正三棱锥 $V - A B C$ 中， $D, E, F$ 分别是 $V C, V A, A C$ 的中点， $P$ 为 $V B$ 上任意一点，则直线 $D E$ 与 $P F$ 所成的角的大小是（）

A、 $30^{°}$ B、 $60^{°}$ C、 $90^{°}$ D、随 $P$ 点的变化而变化

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6、 $△ A B C$ 中，设 $\vec{A B} = \vec{c}, \vec{B C} = \vec{a}, \vec{C A} = \vec{b}$ ，若 $\vec{c} \cdot (\vec{b} - \vec{c} - \vec{a}) > 0$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、直角三角形 D、无法确定

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7、设m，n是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，下列命题中不正确的是（）

A、若 $m ⊥ α, m ∥ n, n ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $α ∥ β, m \subset α, m ∥ n$ ，则 $n$ $∥$ $β$ C、若m，n是两条不同的异面直线， $m ∥ α, n ∥ β, m \subset α, n \subset β$ ，则 $α ∥ β$ D、若 $m ⊥ n, α ∥ β$ ，则m与 $α$ 所成的角和n与 $β$ 所成的角互余

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8、已知事件A与事件B是互斥事件，则（）

A、 $P (\bar{A} \cap \bar{B}) = 0$ B、 $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ C、 $P (A) = 1 - P (B)$ D、 $P (\bar{A} \cup \bar{B}) = 1$

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9、在数字通信中，信号是由0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为p和 $1 - p (0 < p < 1)$ ；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为q和 $1 - q (0 < q < 1)$ ．假设发送信号0和1是等可能的．

(1)、若发送信号一次，求接收为正确信号的概率；

(2)、若随机变量M的分布列为 $P (M = m_{i}) = p_{i} (i = 1, 2, \dots, n) ，$ 记事件 $M = m_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 发生后给我们的信息量为 $X = - \log_{2} p_{i}$ ，则称X 的均值为M 的信息熵，记为 $H (M) = - \sum_{i = 1}^{n} p_{i} \log_{2} p_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$
①设发送信号两次，接收为正确信号的次数为 $M_{1}$ ，若 $p = q = \frac{1}{2} ，$ 求 $M_{1}$ 的信息熵 $H (M_{1})$ 的值；
②设发送信号一次，接收为正确信号的次数为 $M_{2}$ ，求 $M_{2}$ 的信息熵 $H (M_{2})$ 取得最大值时 $p + q$ 的值．

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10、已知函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x}} ， g (x) = x^{2} + a x ，$ 且曲线 $y = f (x)$ 在 $(0, 0)$ 处切线也是曲线 $y = g (x)$ 的切线．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求证： $f (x) \leq g (x)$ ；

(3)、若直线 $y = k$ 与曲线 $y = f (x)$ 有两个公共点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，与曲线 $y = g (x)$ 有两个公共点 $C (x_{3}, g (x_{3}))$ ， $D (x_{4}, g (x_{4}))$ ，求证： $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} > 1$

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11、某环保机器制造商为响应“2030年前碳排放达峰行动”的号召，对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后3年内的延保维修方案：
方案一：交纳延保金3000元，在延保的3年内可免费维修1次，超过1次每次收取维修费1000元；
方案二：交纳延保金4000元，在延保的3年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费 t 元；
制造商为制定t元的收取标准，为此搜集并整理了100台这种机器超过保修期后3年内维修的次数，统计得到下表：
维修次数
0
1
2
机器台数
10
40
50
以这100台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记 X 表示 2 台机器超过保修期后 3年内共需维修的次数．

(1)、求 X 的分布列；

(2)、以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，求使客户选择方案二更合算时t 的取值范围．

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12、已知函数 $f (x) = x {(x - c)}^{2}$ ，其中 $c \in R$ ．

(1)、若 $x = 2$ 时， $f (x)$ 有极小值，求 $c$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(2, + \infty)$ 存在单调递减区间，求 $c$ 的取值范围．

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13、某景点在2024年2月10日至24日(正月初一至正月十五)期间，为吸引游客，共举行了15场精彩的烟花秀节目．前9场的观众人数(单位：万)与场次的统计数据如下表所示：
场次编号x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
观众人数y(单位：万)
1.93
1.95
1.97
1.98
2.01
2.02
2.02
2.05
2.07
经计算可得： $\bar{y} = \frac{1}{9} \sum_{i = 1}^{9} y_{i} = 2$ ， $\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} = 91$ ， $\sum_{i = 1}^{9} x_{i}^{2} = 285$ ．

(1)、通过作散点图发现x与y之间具有较强的线性相关关系，试用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ (结果中的数值用分数表示)；

(2)、若该烟花秀节目分A、B 两个等次的票价，该节目组织者随机调查了某场烟花秀节目100位观众购买A、B 两个等次票的情况，其中 60位男性观众中有 15 位观众购买了 B 等票；40位女性观众中有5位观众购买了 B 等票．请根据以上数据，将2×2列联表补充完整，并根据小概率值α=0.050的独立性检验，能否认为观众的性别与购票情况有关联？
性别
购买情况
合计
购买 A 等票
购买 B 等票
男性观众

60
女性观众

40
合计

100
附：
①对于一组数据((x₁ ， y₁)，(x₂ ， y₂)，…，(xₙ，yₙ)，其回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + â$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
$\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；
② $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} ．$
$α$
0.050
0.010
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
10.828

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14、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 2 x, x \leq 0 \\ |\lg x|, x > 0 \end{array}$ 若关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) + (1 - 2 m) f (x) + m^{2} - m = 0$ 有5个不相等的实数根，则实数 $m$ 的取值范围是．

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15、在班级数学兴趣小组活动中，老师准备了2道导数题和6道建模题，某小组的8位同学从中不放回的每人随机抽取一题作答，记 $A :$ 表示第 $i$ 位同学抽到导数题， $i = 1, 2, ..., 8$ ，则 $P (A_{1} |A_{3}) =$

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16、若 $3^{a} = 4, 4^{b} = 9,$ 则ab= ．

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17、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x + 2) - 1$ 为奇函数， $f (x + 1)$ 为偶函数，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(2, 1)$ 对称 B、 $f (x)$ 是周期为 4 的周期函数 C、 $f (1) + f (3) = 0$ D、 $\sum_{k = 1}^{2024} f (k) = 2024$

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18、已知在 ${(2 \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则下列结论正确的是（）

A、n=6 B、展开式中含 $\frac{1}{x}$ 的项的系数是 $- 60$ C、展开式的各二项式系数和为64 D、展开式的各项系数和为729

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19、设函数 $f (x) = \frac{1}{e^{|x|}} + \frac{1}{x^{2} + 1} ，$ 则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上为增函数 B、 $f (x)$ 为偶函数 C、 $f (x)$ 的值域为 $(0, 2]$ D、不等式 $f (x + 1) > f (2)$ 的解集为 $(- 3, 1)$

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20、已知 $[a]$ 表示不超过实数 $a$ 的最大整数，例如： $[- 3.5] = - 4$ ， $[2.1] = 2$ ，若函数 $f (x) = \frac{ln x - 2}{ln x + 1} ，$ 其中 $x \in (1, + \infty)$ ，则 $y = [f (x)]$ 的值域为（）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $\{- 2, 1\}$ C、 $\{- 1, 0, 1\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0\}$

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场次编号x	1	2	3	4	5	6	7	8	9
观众人数y(单位：万)	1.93	1.95	1.97	1.98	2.01	2.02	2.02	2.05	2.07

性别	购买情况		合计
性别	购买 A 等票	购买 B 等票	合计
男性观众			60
女性观众			40
合计			100

维修次数	0	1	2
机器台数	10	40	50

$α$	0.050	0.010	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	10.828