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相关试卷

1、曲线 $y = \frac{1}{x}$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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2、已知函数 $f (x) = x^{2} + (m - 2) x - m$ ， $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ ，且函数 $y = f (x - 2)$ 是偶函数．
（1）求 $g (x)$ 的解析式；
（2）若不等式 $g (\ln x) - n \ln x \geq 0$ 在 $[\frac{1}{e^{2}}, 1)$ 上恒成立，求 $n$ 的取值范围；
（3）若函数 $y = g (\log_{2} (x^{2} + 4)) + k \cdot \frac{2}{\log_{2} (x^{2} + 4)} - 9$ 恰好有三个零点，求 $k$ 的值及该函数的零点

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3、某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理．据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度 $y$ (单位：毫克/立方米)随着时间 $x$ (单位：天)变化的函数关系式近似为 $y = \{\begin{cases} 8 - \frac{x}{2}, 0 < x \leq 4 \\ \frac{36}{x + 2}, 4 < x \leq 10 \end{cases}$ ，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用．
（1）若一次喷洒1个单位的去污剂，则去污时间可达几天？
（2）若第一次喷洒1个单位的去污剂，6天后再喷洒 $a$ 个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求 $a$ 的最小值？（精确到 $0.1$ ）

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4、（1）已知函数 $f (\sqrt{2 x + 1}) = x - \sqrt{2 x + 1}$ ，求函数 $f (x)$ 的解析式；
（2）已知关于x的不等式 $m x^{2} - 6 x + 3 m < 0$ 在 $(0, 2]$ 上有解，则实数m的取值范围．

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5、（1）已知集合 $A = \{x |x^{2} - 4 x > 0\}, B = \{x |2 a - 10 < x < a + 1\}$ ．若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
（2）若命题“ $\exists a \in [- 1, 3], a x^{2} - (2 a - 1) x + 3 - a < 0$ ”为假命题，求x的取值范围．

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6、（1）计算： $e^{ln 3} - {log}_{\sqrt{2}} (2 \sqrt{2}) + {(0.125)}^{\frac{2}{3}} + \sqrt[2023]{{(- 2)}^{2023}}$ ；
（2）已知 $a^{2 x} = 2$ ，求 $\frac{a^{3 x} + a^{- 3 x}}{a^{x} + a^{- x}}$ 的值．

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7、设函数 $f (x) = \ln (1 + |x|) - \frac{1}{1 + x^{2}}$ ，则使得 $f (x) > f (x - 1)$ 成立的 $x$ 范围是.

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8、已知 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且当 $x < 0$ 时， $f (x) = \ln (x^{2} + 2)$ ，则 $f (0) + 2 f (1) =$ ．

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9、下列选项中正确的有（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若集合 $A = \{- 1, 2\}, B = \{x | a x + 2 = 0\}$ ，且 $B \subseteq A$ ，则实数a的取值所组成的集合是 $\{- 1, 2\}$ ． C、若不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $\{x | 1 < x < 3\}$ ，则不等式 $c x^{2} + b x + a < 0$ 的解集为 ${x |x < \frac{1}{3}$ 或 $x > 1}$ D、已知函数 $y = f (x + 1)$ 的定义域是 $[- 2, 3]$ ，则 $y = f (x - 1)$ 的定义域是 $[0, 5]$ ．

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10、下列与 $412 °$ 角的终边相同的角是（）

A、 $52 °$ B、 $778 °$ C、 $- 308 °$ D、 $1132 °$

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11、定义：若集合 $A, B$ 满足 $A \cap B \neq \emptyset$ ，存在 $a \in A$ 且 $a \notin B$ ，且存在 $b \in B$ 且 $b \notin A$ ，则称集合 $A, B$ 为嵌套集合．已知集合 $A = \{x |2^{x} - x^{2} \leq 0$ 且 $x \in R^{+}\}$ ， $B = \{x |x^{2} - (3 a + 1) x + 2 a^{2} + 2 a < 0\}$ ，若集合 $A, B$ 为嵌套集合，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(2, 3)$ B、 $(- \infty, 1)$ C、 $(1, 3)$ D、 $(1, 2)$

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12、已知 $a = {2.1}^{1.3} ， b = {0.3}^{1.3} ， c = \log_{2} 0.8$ ， $d = {2.1}^{1.9}$ 则a，b，c，d的大小关系为（）

A、 $d > a > b > c$ B、 $a > d > c > b$ C、 $b > c > a > d$ D、 $c > a > d > b$

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13、幂函数 $f (x) = (a^{2} - 2 a - 2) x^{a}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，则 $g (x) = b^{x + a} + 1 (b > 1)$ 过定点（）

A、 $(1, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(- 3, 1)$ D、 $(- 3, 2)$

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14、命题“ $\forall x > 0$ ， $x^{3} - 2 x \leq 1$ ”的否定是（）

A、 $\forall x > 0$ ， $x^{3} - 2 x \leq 1$ B、 $\forall x \leq 0$ ， $x^{3} - 2 x > 1$ C、 $\exists x \leq 0$ ， $x^{3} - 2 x \leq 1$ D、 $\exists x > 0$ ， $x^{3} - 2 x > 1$

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15、设集合 $A = \{x |- 1 < x < 2\}$ ， $B = \{x |\log_{2} x < 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(- \infty, 2)$

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16、设集合 $A = \{1, 2, 3, \dots, n\} (n \in N^{*}), B \subseteq A$ ，且 $B \neq \emptyset$ ，记集合 $B$ 中的最小元素和最大元素分别为随机变量 $X, Y$ .

(1)、若 $X \geq 3$ 的概率为 $\frac{7}{31}$ ，求 $n$ ；

(2)、若 $n = 20$ ，求 $X = 8$ 且 $Y = 18$ 的概率；

(3)、记随机变量 $Z = \frac{X + Y}{2}$ ，证明： $E (Z) = \frac{n + 1}{2}$ .

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17、已知函数 $f (x) = ln x$ .

(1)、若 $g (x) = f (x) - \frac{a (x - 1)}{x + 1}$ ，讨论函数 $g (x)$ 的单调性；

(2)、若 $0 < x < 1$ ，求证： $\frac{f (x)}{x - 1} > \frac{x + 1}{e^{x}}$ .

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18、某企业生产一种热销产品，产品日产量为 $x (x \geq 1)$ 吨，日销售额为 $y$ 万元（每日生产的产品当日可销售完毕），且产品价格随着产量变化而有所变化.经过一段时间的产销，随机收集了某5天的日产量 $x_{i} (i = 1, 2, .., 5)$ （单位：吨）和日销售额 $y_{i} (i = 1, 2, \dots, 5)$ （单位：万元）的统计数据，并对这5组数据做了初步处理，得到统计数据如下表：
$\sum_{i = 1}^{5} x_{i}$
$\sum_{i = 1}^{5} y_{i}$
$\sum_{i = 1}^{5} u_{i}$
$\sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{5} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$
$\sum_{i = 1}^{5} (u_{i} - \bar{u}) (y_{i} - \bar{y})$
15
73
4.8
10
161.2
1.6
39
15.9
其中， $u_{i} = \ln x_{i} (i = 1, 2, \dots, 5), \bar{x}, \bar{y}, \bar{u}$ 分别为数据 $x_{i}, y_{i}, u_{i} (i = 1, 2, \dots, 5)$ 的平均数.

(1)、请从样本相关系数的角度，判断 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 与 $\hat{y} = \hat{d} \ln x + \hat{c}$ 哪一个模型更适合刻画日销售额 $y$ 关于日产量 $x$ 的关系？

(2)、根据（1）的结果解决下列问题：
（i）建立 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程（斜率的结果四舍五入保留整数）；
（ii）如果日产量 $x$ （单位：吨）与日生产总成本 $c (x)$ （单位：万元）满足关系 $c (x) = \frac{1}{2} x + 3$ ，根据（i）中建立的经验回归方程估计日产量 $x$ 为何值时，日利润 $r (x)$ 最大？
附：①相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ；
②经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘法公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .
③参考数据： $\sqrt{1612} \approx 40, \sqrt{1.6 \times 161.2} \approx 16, \sqrt{39 \times 15.9} \approx 25$ .

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19、某社区以网上调查问卷形式对辖区内部分居民做了体育锻炼的宣传和调查.调查数据如下：共100份有效问卷，50名男性中有5名不经常体育锻炼，50名女性中有10名不经常体育锻炼.

(1)、根据所给数据，完成下面的 $2 \times 2$ 列联表：根据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，分析性别因素是否会影响经常体育锻炼？
性别
经常体育锻炼与否
合计
经常体育锻炼
不经常体育锻炼
男
女
合计

(2)、从不经常体育锻炼的15份调查问卷中得到不经常锻炼的原因：有3份身体原因；有2份不想锻炼；有4份没有时间；有6份没有运动伙伴.求从这15份问卷中随机选出2份，在已知其中一份是“没有时间”的条件下，另一份是“没有运动伙伴”的概率.
附：① $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
②临界值表
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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20、已知函数 $f (x) = \frac{sin x}{a x}$ 的图象在点 $(π, 0)$ 处的切线方程是 $x + π y - π = 0$ .

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $x > 0$ ，求证： $f (x) < 1$ .

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$\sum_{i = 1}^{5} x_{i}$	$\sum_{i = 1}^{5} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{5} u_{i}$	$\sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{5} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$	$\sum_{i = 1}^{5} (u_{i} - \bar{u}) (y_{i} - \bar{y})$
15	73	4.8	10	161.2	1.6	39	15.9

性别	经常体育锻炼与否		合计
性别	经常体育锻炼	不经常体育锻炼	合计
男
女
合计

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828