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相关试卷

1、四名同学各掷骰子7次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，判断可能出现了点数6的是（）

A、中位数为3，极差为3 B、平均数为2，第 $80$ 百分位数为4 C、平均数为3，中位数为4 D、平均数为3，方差为1

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2、在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = \frac{2 π}{3}$ ， $A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $P$ 是以 $C$ 为圆心， $\sqrt{3}$ 为半径的圆上一动点，且 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D}$ ，则 $λ + μ$ 的最大值为（）

A、 $2 + \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{7} + \sqrt{3}$ C、 $2 + \sqrt{7}$ D、 $2 + \frac{\sqrt{21}}{7}$

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3、掷一枚质地均匀的骰子3次，则三个点数之和大于14的概率为（）

A、 $\frac{17}{216}$ B、 $\frac{5}{54}$ C、 $\frac{4}{27}$ D、 $\frac{35}{216}$

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4、如图，圆台 $O O_{1}$ 的轴截面是等腰梯形 $A B C D$ ， $A B = B C = 2 C D = 4$ ， $E$ 为下底面 $⊙ O$ 上的一点，且 $A E = \sqrt{3} B E$ ，则直线 $C E$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值为（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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5、在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 为角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对应的边，则“ $a c o s C - a s i n C = b - c$ ”是“ $△ A B C$ 为直角三角形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、甲乙两人进行三分远投比赛，甲、乙每次投篮命中的概率分别为0.5和0.4，且两人之间互不影响.若两人分别投篮一次，则两人中至少一人命中的概率为（）

A、0.6 B、0.7 C、0.8 D、0.9

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7、已知 $l, m$ ， $n$ 是不同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是不同的平面，则下列结论正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m / / α$ ， $m / / β$ ，则 $α / / β$ C、若 $m / / α$ ， $α / / β$ ，则 $m / / β$ D、若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ， $α \cap β = l$ ，则 $l ⊥ γ$

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8、某商场组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有标号分别为1~8的8个大小形状相同的小球，现抽奖者从中抽取1个小球.事件 $A =$ “取出的小球编号为奇数”，事件 $B =$ “取出的小球编号为偶数”，事件 $C =$ “取出的小球编号小于6”，事件 $D =$ “取出的小球编号大于6”，则下列结论错误的是（）

A、 $A$ 与 $B$ 互斥 B、 $A$ 与 $B$ 互为对立事件 C、 $C$ 与 $D$ 互为对立事件 D、 $B$ 与 $D$ 相互独立

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9、已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) \cdot z = i^{2024}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{i}{2}$ D、 $- \frac{i}{2}$

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10、已知函数 $f (x) = a \ln x - \frac{x + 1}{x - 1}$ ， $a > 0$ ．

(1)、写出 $f (x)$ 的单调区间，并用单调性的定义证明；

(2)、若 $f (e) = 0$ ，解关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ ；

(3)、证明： $f (x)$ 恰有两个零点m， $n (m < n)$ ，且 $m + n > 2$ ．

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11、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $P A = A D = 2$ ， $E$ 为线段 $P D$ 上的动点.

(1)、若 $E$ 为 $P D$ 的中点，求三棱锥 $D - A E C$ 的体积；

(2)、若 $\vec{E D} = 2 \vec{P E}$ ，问 $A B$ 上是否存在点 $M$ ，使得 $P M //$ 平面 $A E C$ ？若存在，请指明点 $M$ 的位置；若不存在，请说明理由；

(3)、求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 所成锐二面角的余弦值.

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12、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，向量 $\vec{m} = (a, 2 b + c)$ ， $\vec{n} = (\cos C, \cos A)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ， $D$ 为线段 $B C$ 上一点.

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $A D$ 为角 $A$ 的角平分线， $a = 7$ ， $△ A B C$ 的周长为15，求 $A D$ 的长.

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13、如图，在直角梯形ABCD中， $A D ⊥ A B$ ， $A D ⊥ D C$ ， $A D = A B = 2$ ， $D C = 2 A B$ ， $M$ 为AD的中点， $N$ 为DC上靠近 $D$ 的四等分点，直线MC与BN交于点 $P$ .

(1)、求 $∠ C P N$ 的余弦值；

(2)、若 $\vec{C P} = λ \vec{C M}$ ，求实数 $λ$ 的值.

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14、小米在2024年推出SU7汽车，创始人雷军为了了解广大客户对小米SU7的评价，令销售部随机抽取200名客户进行了问卷调查，根据统计情况，将他们的年龄按 $[20, 30)$ ， $[30, 40)$ ， $[40, 50)$ $[50, 60)$ ， $[60, 70]$ 分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图.

(1)、估计样本数据中用户年龄的众数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、销售部从年龄在 $[30, 40)$ ， $[60, 70)$ 内的样本中按比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求这2人取自不同年龄区间的概率.

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15、设函数 $f (x) = (x - a) \ln (x + b)$ ，若 $f (x) \geq 0$ ，且 $a b > 0$ ，则 $\frac{1}{a b} + \frac{b}{a}$ 的最小值为.

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16、如图，“六芒星”是由两个边长为 $3 cm$ 的正三角形组成，中心重合于点O，且三组对边分别平行，现将三角形 $D E F$ 往垂直于平面 $A B C$ 的方向移动 $2 cm$ ，则此时空间几何体 $A B C D E F$ 的外接球的表面积为 ${cm}^{2}$ .

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17、样本数据17，13，22，16，11，20，14，24的 $80 %$ 分位数为.

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18、在圆锥SO中， $C$ 是母线SA上靠近点 $S$ 的三等分点， $S A = l$ ，底面圆O的半径为 $r$ ，圆锥SO的侧面积为 $12π$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $r = 3$ 时，过顶点 $S$ 和两条母线的截面三角形的最大面积为 $3 \sqrt{7}$ B、当 $l = 6$ 时，从点 $A$ 绕圆锥侧面一周到点 $C$ 的最小长度为 $2 \sqrt{13}$ C、当 $l = 6$ 时，圆锥SO的内切球的表面积为 $8 π$ D、当 $l = 6$ 时，棱长为 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ 的正四面体可以在圆锥SO内任意转动

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19、已知函数 $f (x) = \sin 2 x - \sqrt{3} \cos 2 x + 3$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的单调递增区间是 $[- \frac{π}{12} + k π, \frac{5}{12} π + k π]$ ， $k \in Z$ B、 $y = f (x)$ 的图象可由函数 $y = 2 \sin 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位，再向上平移3个单位得到 C、 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{11 π}{12}$ 对称 D、当 $x \in [- \frac{π}{12}, \frac{π}{2}]$ 时， $f (x)$ 的取值范围是 $[1, 5]$

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20、已知 $z = 3 - 2 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的一个根，下列说法正确的是（）

A、 $z = 3 - 2 i$ 的实部为 $3$ ，虚部为 $- 2 i$ B、 $p = - 6$ C、 $q = 13$ D、若复数 $z_{1}$ 满足 $|z_{1} + z| = 1$ ，则 $|z_{1}|$ 的最大值为 $1 + \sqrt{13}$

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