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相关试卷

1、设复数 $z = - 1 + \sqrt{3} i$ ，则 $i (z - \bar{z}) =$ （）

A、 $- 2 \sqrt{3}$ B、 $- 2 \sqrt{3} i$ C、 $- 2$ D、 $- 2 i$

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2、2024年4月25日，神舟十八号载人飞船在长二F遥十八运载火箭的托举下，成功将叶光富、李聪、李广送到中国空间站，圆满完成飞行任务，为纪念中国航天事业所取得的成就，发扬并传承中国航天精神，我市随机抽取1000名学生进行航天知识竞赛并记录得分（满分100分），将学生的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为 $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ ，并绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、求n的值并估计这1000名学生成绩的平均数和80%分位数（求平均数时同一组数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、现从以上各组中采用分层抽样的方法抽取240人，若第三、四、五各组中被抽取的学生成绩的平均数依次为 $75, 88, 96$ ，方差依次为 $2, 1, 1$ ，求这240人中分数在区间 $[70, 100]$ 的学生成绩的方差（精确到0.001）.

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3、如图，单位圆与 $x$ 轴交于A，B两点， $C$ 为圆上一动点， $∠ A O C = θ$ .

(1)、若 $θ = \frac{2}{3} π$ ，设点 $D$ 为线段OA上的动点，求 $| \vec{O C} + \vec{O D} |$ 的最小值：

(2)、若 $θ \in [- π, π]$ ，向量 $\vec{m} = \vec{B C}$ ， $\vec{n} = (1 - \cos θ, \sin θ - 2 \cos θ)$ .求 $f (θ) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ 的最大值及对应 $θ$ 的值.

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4、已知正 $△ A B C$ 的边长为 $4 \sqrt{3}$ ，内切圆圆心为 $I$ ，点 $P$ 满足 $| \vec{I P} | = \sqrt{3}$ ，则 ${\vec{P A}}^{2} + {\vec{P B}}^{2} + {\vec{P C}}^{2} =$ .

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5、若 $z = x + y i (x, y \in R)$ ，则复平面内满足 $| z - i | \leq \sqrt{3}$ 的点Z的集合的图形面积是.

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6、在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 B C = 2$ ，点 $E$ 是 $C D$ 的中点，将 $△ B C E$ 沿 $B E$ 翻折到 $△ P B E$ ，连接 $A P, D P$ 得到四棱锥 $P - A B E D$ ，在 $△ B C E$ 翻折到 $△ P B E$ 的过程中，二面角 $P - B E - A$ 的大小为 $θ$ ，下列说法正确的是（）

A、当四棱锥 $P - A B E D$ 体积为最大值时， $A E ⊥ P B$ B、当 $θ = \frac{π}{2}$ 时，三棱锥 $P - A B E$ 的外接球表面积为 $4 π$ C、若 $M$ 是 $P B$ 的中点，则存在 $θ$ 使 $E M$ 与平面 $P A D$ 不平行 D、当 $θ = \frac{3}{4} π$ 时， $P A^{2} = 3 + \sqrt{2}$

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7、平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ ，对任意实数 $t$ ， $|t \vec{a} + \vec{b}| \geq |\frac{\sqrt{3}}{2} \vec{a} - \vec{b}|$ 恒成立，则（）

A、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ B、 ${(\vec{a} + t \vec{b})}^{2} + {(\vec{b} - t \vec{a})}^{2}$ 为定值 C、 $| \vec{a} - t \vec{b} |$ 的最小值为 $\frac{1}{4}$ D、 $\vec{a}$ 在 $\vec{a} + \vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

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8、在 $△ A B C$ 中，点M，N满足 $\vec{B M} = \frac{3}{4} \vec{B C}$ ， $\vec{A N} = \frac{1}{3} \vec{A C}$ ，若 $\vec{A N} = λ \vec{A B} + μ \vec{A M}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{4}$

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9、 $\cos 35 ° \cos 145 ° + \cos 125 ° \cos 55 ° =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- 1$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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10、若空间中四条不同的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ ， $l_{4}$ 满足 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ， $l_{2} // l_{3}$ ， $l_{1} // l_{4}$ ，则下面结论正确的是（）

A、 $l_{2} ⊥ l_{4}$ B、 $l_{2} // l_{4}$ C、 $l_{2}$ ， $l_{4}$ 既不垂直也不平行 D、 $l_{2}$ ， $l_{4}$ 的位罝关系不确定

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11、对于两个平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，如果有 $\vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{a} > 0$ ，则称向量 $\vec{a}$ 是向量 $\vec{b}$ 的“迷你向量”.

(1)、若 $\vec{m} = (1, x)$ ， $\vec{n} = (2, 1 - x)$ ， $\vec{m}$ 是 $\vec{n}$ 的“迷你向量”，求实数 $x$ 的取值范围；

(2)、一只蚂蚁从坐标原点 $O (0, 0)$ 沿最短路径爬行到点 $N (n, n)$ 处（ $n \in N$ 且 $n \geq 2$ ）.蚂蚁每次只能沿平行或垂直于坐标轴的方向爬行一个单位长度，爬完第 $i$ 次后停留的位置记为 $P_{i} (1 \leq i \leq 2 n)$ ，设 $M (n - 1, 0)$ .记事件 $T =$ “蚂蚁经过的路径中至少有 $n$ 个 $P_{i}$ 使得 $\vec{O M}$ 是 $\vec{O P_{i}}$ 的迷你向量”.（假设蚂蚁选择每条路径都是等可能的）
①当 $n = 3$ 时，求 $P (T)$ ；
②证明： $P (T) \leq \frac{1}{2 ^{n - 1}}$ .

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12、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面是边长为4的等边三角形， $C C_{1} = 4$ ， $D, E$ 分别是线段 $A C, C C_{1}$ 的中点，点 $C_{1}$ 在平面 $A B C$ 内的射影为点 $D$ .

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $B D E$ ；

(2)、设 $G$ 为棱 $B_{1} C_{1}$ 上一点， $C_{1} G = λ C_{1} B_{1}$ ， $λ \in (0, 1)$ .
①若 $λ = \frac{1}{2}$ ，请在图中作出三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 过 $G, B, D$ 三点的截面，并求该截面的面积；
②求二面角 $G - B D - E$ 的取值范围.

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13、在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 为角 $A, B, C$ 对应的边， $S$ 为 $△ A B C$ 的面积.且 $a b \sin B - a ^{2} \sin A = 2 S (1 - \frac{\sin C}{\sin B})$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 内切圆半径的最大值.

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14、如图，四边形 $P D C E$ 为矩形，直线 $P D$ 垂直于梯形 $A B C D$ 所在的平面. $∠ A D C = ∠ B A D = 90 ^{\circ}$ ， $F$ 是线段 $P A$ 的中点， $P D = \sqrt{2}$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} C D = 1$ .

(1)、求证： $A C / /$ 平面 $D E F$ ；

(2)、求点 $F$ 到平面 $B C P$ 的距离.

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15、某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、试估计全市参赛者成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）；

(2)、若用按比例分配的分层随机抽样的方法从 $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ 三层中抽取一个容量为6的样本，再从这6人中随机抽取两人.求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率.

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16、在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 4$ ， $E$ 为线段 $C C_{1}$ 上动点， $D$ 为 $B C$ 边中点，则三棱锥 $A - B D E$ 外接球表面积的最小值为.

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17、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $|\vec{b}| = 3$ ，向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{6} \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ .

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18、已知圆锥体积为 $3 π$ ，表面积是底面积的 $3$ 倍，则该圆锥的母线长为.

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19、如图所示，在直角梯形 $B C E F$ 中， $∠ C B F = ∠ B C E = 90^{\circ}$ ， $A$ ， $D$ 分别是 $B F$ ， $C E$ 上的点，且 $A D / / B C$ ， $A B = E D = 2 B C = 2 A F = 2$ ，将四边形 $A D E F$ 沿 $A D$ 向上折起，连接 $B E$ ， $B F$ ， $C E$ .在折起的过程中，下列结论正确的是（）

A、 $A C / /$ 平面 $B E F$ B、 $B E$ 与 $A D$ 所成的角先变大后变小 C、几何体 $E F A B C D$ 体积有最大值 $\frac{5}{3}$ D、平面 $B C E$ 与平面 $B E F$ 不可能垂直

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20、在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量.类似的，可以把有序复数对 $(z_{1}, z_{2}) (z_{1}, z_{2} \in C)$ 看作一个向量，记 $\vec{a} = (z_{1}, z_{2})$ ，则称 $\vec{a}$ 为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于 $\vec{a} = (z_{1}, z_{2})$ ， $\vec{b} = (z_{3}, z_{4})$ ， $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4} \in C$ ，规定如下运算法则：① $\vec{a} + \vec{b} = (z_{1} + z_{3}, z_{2} + z_{4})$ ；② $\vec{a} - \vec{b} = (z_{1} - z_{3}, z_{2} - z_{4})$ ；③ $\vec{a} \cdot \vec{b} = z_{1} \bar{z_{3}} + z_{2} \bar{z_{4}}$ ；④ $|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$ .则下列结论正确的是（）

A、若 $\vec{a} = (i, 1 + i)$ ， $\vec{b} = (2, 2 - i)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 + 5 i$ B、若 $|\vec{a}| = 0$ ，则 $\vec{a} = (0, 0)$ C、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ D、 $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$

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