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相关试卷

1、若向量 $\vec{a} = (2, 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, 1)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量的坐标是（）

A、 $(\frac{2}{13}, - \frac{3}{13})$ B、 $(\frac{2}{13}, \frac{3}{13})$ C、 $(- \frac{2}{13}, \frac{3}{13})$ D、 $(- \frac{2}{13}, - \frac{3}{13})$

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2、已知直线 $a$ 与平面 $α$ 没有公共点，直线 $b \subset α$ ，则 $a$ 与 $b$ 的位置关系是（）

A、平行 B、异面 C、相交 D、平行或异面

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3、若复数 $z = 3 - i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{10}$ B、10 C、 $2 \sqrt{5}$ D、20

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4、已知函数 $f (x) = \frac{(x - 1) \ln x}{x + 1}$ ， $g (x) = a e^{a (x + 1)} - a$ （ $a > 0$ ）.

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = g (x)$ 在点 $(1, g (1))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、若 $g (x) \geq f (x)$ 对任意 $x \in [1, + \infty)$ 恒成立，求整数a的最小值.

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5、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n}^{2} + 2 a_{n} - n = 2 S_{n}$ .

(1)、求 $a_{1}$ ， $a_{2}$ 的值及数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{3 a_{n} - S_{n}\}$ 的最大项；

(3)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \{\begin{array}{l} \frac{62}{a_{n} \cdot a_{n + 2}}, n 为奇数 \\ n \cdot 2^{\frac{a_{n}}{2} - 1}, n 为偶数 \end{array}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前30项和 $T_{30}$ （ $2^{16} = 65536$ ， $2^{17} = 131072$ ）.

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6、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P C ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $D A = D C = P C$ ， $A B = A C = B C = 2 \sqrt{3}$ ， $A B ⊥ A D$ ．

(1)、证明： $P A ⊥ B D$ ；

(2)、求平面 $P A D$ 与平面 $P A C$ 夹角的余弦值.

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7、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $P (\sqrt{2}, 1)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l$ 过点 $Q (0, - 1)$ ，且与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，当 $|A B|$ 最大时，求直线 $l$ 的方程.

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8、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $b \sin 2 A = a \sin B$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小：

(2)、若 $b + c = \sqrt{2} a$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |\log_{2} x|, 0 < x \leq 2 \\ x^{2} - 6 x + 9, x > 2 \end{array}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ 时， $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = f (x_{4})$ ，则 $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}$ 的取值范围为.

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10、3月19日，习总书记在湖南省常德市考察调研期间来到河街，了解历史文化街区修复利用等情况，这片历史文化街区汇聚了常德高腔、常德丝弦、桃源刺绣、安乡木雕、澧水船工号子等品类繁多的非遗项目.现为了更好的宣传河街文化，某部门召集了200名志愿者，根据报名情况得到如下表格：
项目
常德高腔
常德丝弦
桃源刺绣
安乡木雕
澧水船工号子
志愿者人数
30
60
50
40
20
若从这200名志愿者中按照比例分配的分层随机抽样方法抽取20人进行培训，再从这20人中随机选取3人聘为宣传大使，记X为这3人中来自澧水船工号子的人数，则X的数学期望为.

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11、已知平面向量 $\vec{a} = (- 1, k)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ .

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12、已知圆柱 $O_{1} O_{2}$ 的高为 $2 \sqrt{3}$ ，线段 $A B$ 与 $C D$ 分别为圆 $O_{1}$ 与圆 $O_{2}$ 的直径，则（）

A、若 $P$ 为圆 $O_{1}$ 上的动点， $A B ⊥ A C$ ，则直线 $O_{2} P$ 与 $A C$ 所成角为定值 B、若 $△ A B C$ 为等边三角形，则四面体 $A B C D$ 的体积为 $24 \sqrt{3}$ C、若 $A B ⊥ C D$ ，且 $A B = 2 \sqrt{6}$ ，则 $A C ⊥ B D$ D、若 $A B ⊥ C D$ ，且 $A C$ 与 $B D$ 所成的角为 $60^{°}$ ，则四面体 $A B C D$ 外接球的表面积为 $20π$ 或 $84π$

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13、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ ，直线 $l$ 过 $C$ 的焦点 $F$ ，且与 $C$ 交于 $M, N$ 两点，则（）

A、 $C$ 的准线方程为 $x = - 2$ B、线段 $M N$ 的长度的最小值为4 C、存在唯一直线 $l$ ，使得 $F$ 为线段 $M N$ 的中点 D、以线段 $M N$ 为直径的圆与 $C$ 的准线相切

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14、下列说法正确的是（）

A、数据2，7，4，5，16，1，21，11的中位数为5 B、当 $P (A) > 0$ 时，当且仅当事件A与B相互独立时，有 $P (A B) = P (A) P (B)$ C、若随机变量X服从正态分布 $N (6, σ^{2})$ ，若 $P (X < 10) = 0.8$ ，则 $P (2 < X < 6) = 0.3$ D、已知一系列样本点 $(x_{i}, y_{i})$ （ $i = 1$ ， 2，3，…，n）的经验回归方程为 $\hat{y} = 3 x + \hat{a}$ ，若样本点 $(s, 3)$ 与 $(3, t)$ 的残差相等，则 $3 s + t = 9$

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15、设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且满足 $f (x) - f (3 - x) = 0$ ， $f (x) + f (- x) = 0$ ， $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in [0, \frac{3}{2}]$ ，都有 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] > 0$ ，若 $a = f (- 3)$ ， $b = f (\ln 8)$ ， $c = f (2024)$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < c < b$ C、 $a < b < c$ D、 $b < c < a$

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16、从装有3个白球、5个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，A表示事件“两次取出的球颜色相同”，B表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则 $P (B |A) =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{13}$ D、 $\frac{10}{13}$

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17、在 $(x - y) {(x + y)}^{6}$ 的展开式中， $x^{3} y^{4}$ 的系数是（）

A、 $- 5$ B、5 C、 $- 10$ D、10

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18、已知双曲线E： $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $b > 0$ ）的右焦点F到其一条渐近线的距离为1，则E的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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19、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则（）

A、 $A = 1$ B、 $ω = 1$ C、 $f (\frac{π}{6}) = 2$ D、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$

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20、已知M，N是圆O上的两点，若 $|M N| = 3$ ，则 $\vec{M O} \cdot \vec{M N} =$ （）

A、3 B、 $\frac{9}{2}$ C、9 D、 $\frac{3}{2}$

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项目	常德高腔	常德丝弦	桃源刺绣	安乡木雕	澧水船工号子
志愿者人数	30	60	50	40	20