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相关试卷

1、已知点 $P (3, a)$ ，若圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 上存在点 $A$ ，使得线段 $P A$ 的中点也在圆 $O$ 上，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 3 \sqrt{3}, 3 \sqrt{3})$ B、 $[- 3 \sqrt{3}, 3 \sqrt{3}]$ C、 $(- \infty, - 3 \sqrt{3}) \cup (3 \sqrt{3}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 3 \sqrt{3}] \cup [3 \sqrt{3}, + \infty)$

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2、若函数 $f (x) = t \ln x - |\ln x - \frac{1}{x}|$ 恰有两个零点，则实数t的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1 - e) \cup (0, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1 - e) \cup (0, 1)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(- \infty, - 1 - e) \cup (1, + \infty)$

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3、剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形 $A B C D$ 的边长为 $2$ ，点 $P$ 在四段圆弧上运动，则 $\vec{A P} \cdot \vec{A B}$ 的取值范围为（）

A、 $[- 1, 3]$ B、 $[- 2, 6]$ C、 $[- 3, 9]$ D、 $[- 3, 6]$

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4、如果定义在R上的函数 $f (x)$ 满足：对于任意 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $x_{1} f (x_{1}) + x_{2} f (x_{2}) > x_{1} f (x_{2}) + x_{2} f (x_{1})$
，则称 $f (x)$ 为“ $H$ 函数”．给出下列函数：① $y = - x^{3} + x + 1$ ；② $y = 3 x - 2 (\sin x - \cos x)$ ；③ $y = e^{x} + 1$ ；④ $f (x) = \{\begin{cases} \ln |x|, x \neq 0 \\ 0, x = 0 \end{cases}$ ，其中“ $H$ 函数”的个数是

A、4 B、3 C、2 D、1

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5、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，E，F，G分别为 $A A_{1}$ ， AB， $C C_{1}$ 的中点，则直线ED与FG所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{6}$ D、 $\frac{2}{5}$

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是由正数组成的等比数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和.已知 $a_{2} a_{4} = 16, S_{3} = 7$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、15 B、17 C、31 D、33

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7、函数 $y = x \ln x$ 在 $(0, 5)$ 上的单调性是（）．

A、单调递增 B、单调递减 C、在 $(0, \frac{1}{e})$ 上单调递减，在 $(\frac{1}{e}, 5)$ 上单调递增 D、在 $(0, \frac{1}{e})$ 上单调递增，在 $(\frac{1}{e}, 5)$ 上单调递减

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8、某企业的设备控制系统由 $2 k - 1 (k \in N^{*})$ 个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为 $p (0 < p < 1)$ ，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为 $p_{k}$ （例如： $p_{2}$ 表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率； $p_{3}$ 表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）．

(1)、若 $k = 2$ ，且每个元件正常工作的概率 $p = \frac{2}{3}$ ．
①求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和期望；
②在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率．

(2)、请用 $p_{k}$ 表示 $p_{k + 1}$ ，并探究：在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，能否通过增加控制系统中元件的个数来提高设备正常运行的概率．

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9、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且满足 $f (x) + f (y) = f (x + y) - 2 x y + 2, f (1) = 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (4) = 12$ B、方程 $f (x) = x$ 有解 C、 $f (x + \frac{1}{2})$ 是偶函数 D、 $f (x - \frac{1}{2})$ 是偶函数

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10、将函数 $g (x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{12})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数 $h (x)$ 的图象，若 $f (x)$ 与 $h (x)$ 的图象关于 $x$ 轴对称，则 $f (x)$ 的一个单调递增区间为（）

A、 $(- \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4})$ B、 $(- \frac{3 π}{4}, \frac{π}{4})$ C、 $(\frac{π}{4}, \frac{5 π}{4})$ D、 $(\frac{3 π}{4}, \frac{7 π}{4})$

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11、已知圆锥的母线为 $\sqrt{5}$ ，侧面展开所成扇形的圆心角为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5} π$ ，则此圆锥体积为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $π$ D、 $\frac{4 π}{3}$

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12、已知集合 $M = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ， $N = \{x |\frac{x + 2}{x - 2} \geq 0\}$ ， $M \cap N =$ （）

A、 $\{- 2, - 1, 0, 1\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{- 2\}$ D $\{- 2, 2\}$

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13、已知有穷数列 $A_{n} : a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $\dots$ ， $a_{n} (n \in N^{*}$ ， $n ⩾ 2)$ 满足 $a_{1} = a_{n} = 0$ ，且当 $2 ⩽ k ⩽ n (k \in N *)$ 时， ${(a_{k} - a_{k - 1})}^{2} = 1$ ，令 $S (A_{n}) = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ ．
（1）写出 $S (A_{5})$ 所有可能的值；
（2）求证： $n$ 一定为奇数；
（3）是否存在数列 $A_{n}$ ，使得 $S (A_{n}) = \frac{{(n - 3)}^{2}}{4}$ ？若存在，求出数列 $A_{n}$ ；若不存在，说明理由．．

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14、已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的准线与圆O： $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切．

(1)、求C的方程；

(2)、设点P是C上的一点，点A，B是C的准线上两个不同的点，且圆O是 $△ P A B$ 的内切圆．
①若 $|A B| = 2 \sqrt{5}$ ，求点P的横坐标；
②求 $△ P A B$ 面积的最小值．

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15、设函数 $f (x) = a^{x} + e^{- x} (a > 1)$ .
（1）求证： $f (x)$ 有极值点；
（2）设 $f (x)$ 的极值点为 $x_{0}$ ，若对任意正整数a都有 $x_{0} \in (m, n)$ ，其中 $m, n \in Z$ ，求 $n - m$ 的最小值.

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16、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, A = B + 3 C$ .
（1）求 $\sin C$ 的取值范围；
（2）若 $c = 6 b$ ，求 $\sin C$ 的值.

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17、5G技术对社会和国家十分重要．从战略地位来看，业界一般将其定义为继蒸汽机革命、电气革命和计算机革命后的第四次工业革命．某科技集团生产A，B两种5G通信基站核心部件，下表统计了该科技集团近几年来在A部件上的研发投入 $x$ （亿元）与收益y（亿元）的数据，结果如下：
研发投入x（亿元）
1
2
3
4
5
收益y（亿元）
3
7
9
10
11

(1)、利用样本相关系数r说明是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系（当 $|r| \in [0.75, 1]$ 时，可以认为两个变量有很强的线性相关性）；

(2)、求出y关于x的经验回归方程，并利用该方程回答下列问题：
①若要使生产A部件的收益不低于15亿元，估计至少需要投入多少研发资金？（精确到0.001亿元）
②该科技集团计划用10亿元对A，B两种部件进行投资，对B部件投资 $x (1 \leq x \leq 6)$ 元所获得的收益y近似满足 $y = 0.9 x - \frac{4}{x^{2}} + 3.7$ ，则该科技集团针对A，B两种部件各应投入多少研发资金，能使所获得的总收益P最大．
附：样本相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，
回归直线方程的斜率 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ，截距 $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

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18、某校高二年级共有10个班级，5位教学教师，每位教师教两个班级，其中姜老师一定教1班，张老师一定教3班，王老师一定教8班，秋老师至少教9班和10班中的一个班，曲老师不教2班和6班，王老师不教5班，则不同的排课方法种数．

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19、已知点 $M$ 为圆 $O^{'} : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 上的动点，过圆心作直线 $l$ 垂直于 $x$ 轴交点为 $A$ ，点 $B$ 为 $A$ 关于 $y$ 轴的对称轴，动点 $N$ 满足到点 $B$ 与 $l$ 到的距离始终相等，记动点 $N$ 到 $y$ 轴距离为 $m$ ，则 $m + |M N|$ 的最小值为．

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20、函数 $f (x) = \{\begin{cases} \log_{\frac{1}{3}} x, x \geq 1 \\ 3^{x}, x < 1 \end{cases}$ 的值域为．

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研发投入x（亿元）	1	2	3	4	5
收益y（亿元）	3	7	9	10	11