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相关试卷

1、球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球 $O$ 的半径为R，A，B， $C$ 为球面上三点，劣弧BC的弧长记为 $a$ ，设 $O_{a}$ 表示以 $O$ 为圆心，且过B，C的圆，同理，圆 $O_{b}, O_{c}$ 的劣弧 $A C, A B$ 的弧长分别记为 $b, c$ ，曲面 $A B C$ （阴影部分）叫做曲面三角形， $a = b = c$ ，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面 $△ A B C$ 围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面 $O - A B C$ ．设 $∠ B O C = α, ∠ A O C = β, ∠ A O B =$ $γ$ ，则下列结论正确的是（）

A、若平面 $△ A B C$ 是面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4} R^{2}$ 的等边三角形，则 $a = b = c = R$ B、若 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ，则 $α^{2} + β^{2} = γ^{2}$ C、若 $a = b = c = \frac{π}{3} R$ ，则球面 $O - A B C$ 的体积 $V > \frac{\sqrt{2}}{12} R^{3}$ D、若平面 $△ A B C$ 为直角三角形，且 $∠ A C B = \frac{π}{2}$ ，则 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ ，则（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列 B、数列 $\{\log_{2} (a_{n} + 1)\}$ 是等差数列 C、数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $2^{n + 1} - n - 2$ D、 $a_{20}$ 能被3整除

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3、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0< φ < π)$ 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $A = 2$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{6}, 0)$ 对称 C、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，所得函数为偶函数 D、若 $f (\frac{α}{4}) = \frac{2}{3}$ ，则 $\cos (α - \frac{2 π}{3}) = - \frac{7}{9}$

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4、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0)$ ，点 $P$ 在 $y$ 轴上，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心坐标为 $(0, \frac{\sqrt{3} c}{3})$ ，若线段 $P F_{1}$ 上靠近点 $P$ 的三等分点 $Q$ 恰好在 $C$ 上，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $1 + \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{7} - 2$ C、 $2 + \sqrt{7}$ D、 $11 + 4 \sqrt{7}$

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5、平面向量 $\overset{⇀}{a}$ 与向量 $\overset{⇀}{b}$ 满足 $\overset{⇀}{a} \cdot (\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}) = 3$ ，且 $|\overset{⇀}{a}| = 2$ ， $|\overset{⇀}{b}| = 1$ ，则向量 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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6、已知 $a$ ， $b$ 是两条不重合的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个不重合的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $a ∥ α$ ， $β ∥ α$ ，则 $a ∥ β$ B、若 $α ⊥ β$ ， $a ⊥ β$ ，则 $a ∥ α$ C、若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α ∥ β$ D、若 $a ∥ α$ ， $b ⊥ α$ ，则 $a ⊥ b$

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7、 ${(2 x + 3)}^{4}$ 的展开式中， $x$ 的系数为（）

A、96 B、144 C、180 D、216

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8、已知复数 $z = \frac{1 + 2 i}{1 - i^{2025}} - 3 i$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$

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9、已知集合 $A = {x| (x - 3) (x + 1) > 0}$ ， $B = \{x| |x - 1| > 1\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $[- 1, 0) \cup (2, 3]$ B、 $(2, 3]$ C、 $(- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$ D、 $(- 1, 0) \cup (2, 3)$

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10、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，顶点在原点 $O$ 的抛物线 $E$ 经过点 $A (9, 6)$ .

(1)、求抛物线 $E$ 的方程；

(2)、若抛物线 $E$ 不经过第二象限，且经过点 $B (0, 3)$ 的直线 $l$ 交抛物线 $E$ 于 $M$ ， $N$ ，两点（ $|B M| < |B N|$ ），过 $M$ 作 $x$ 轴的垂线交线段 $O A$ 于点 $P$ .
①当 $M P$ 经过抛物线 $E$ 的焦点 $F$ 时，求直线 $N P$ 的方程；
②求点A到直线 $N P$ 的距离的最大值.

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11、在一个密闭不透明的箱子中有五个浅色球，其中一个球的标号为1，另一个密闭不透明的箱子中有五个深色球，其中两个球的标号为2，3.

(1)、若在两个箱子中各抽取两个球，求抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率；

(2)、若在两个箱子中共随机抽取四个球，记其中浅色球的个数为X，求X的分布列.

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12、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D / / B C, M$ 为 $B P$ 的中点， $A M / /$ 平面 $C D P$ ．

(1)、求证： $B C = 2 A D$ ；

(2)、若 $P A ⊥ A B, A B = A P = A D = C D = 1$ ， $∠ C B M = ∠ C P M$ ．
（i）求证： $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ；
（ii）设平面 $C D P \cap$ 平面 $B A P = l$ ，求二面角 $C - l - B$ 的正弦值．

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13、某工厂去年12月试产了1000个电子产品，产品合格率为0.85.从今年1月开始，工厂在接下来的一年中将生产这款产品，1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高 $10 %$ ，产品合格率比前一个月增加0.01.

(1)、求今年2月生产的不合格产品的数量，并判断哪个月生产的不合格产品的数量最多；

(2)、求该工厂今年全年生产的合格产品的数量.
参考数据： ${1.1}^{11} \approx 2.85$ ， ${1.1}^{12} \approx 3.14$ .

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14、函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在一个周期内的图象如图所示， $A$ 为图象的最高点， $B$ 、 $C$ 为图象与 $x$ 轴的交点，且 $△ A B C$ 为正三角形．

(1)、求 $ω$ 的值；

(2)、若 $f (x_{0}) = \frac{3 \sqrt{3}}{5}$ ，且 $x_{0} \in (0, 1)$ ，求 $f (x_{0} - \frac{1}{2})$ 的值；

(3)、求关于 $x$ 的方程 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 在 $[0, 2024]$ 上的最大根与最小根之和.

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15、省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇 $.$ 永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥 $.$ 当石拱桥拱顶离水面 $1.6 m$ 时，水面宽 $6.4 m$ ，当水面下降 $0.9 m$ 时，水面的宽度为米 $.$

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16、若曲线 $y = e^{x + m} + n$ 的切线为 $y = x - 1$ ，则一组满足条件的 $m + n$ 的取值为．

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17、若 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，满足对任意 $x, y \in R$ ，都有 $f (x) + f (y) = - f (\frac{x + y}{2}) f (\frac{x - y}{2})$ ，且 $f (2) = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (x)$ 为偶函数 C、 $f (x + 1)$ 为奇函数 D、 $\sum_{i = 1}^{2024} f (i) = 0$

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18、 $△ A B C$ 中，D为AB上一点且满足 $\vec{A D} = 3 \vec{D B}$ ．若P为线段CD上一点，且 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ （ $λ, μ$ 为正实数），则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{C D} = \frac{1}{4} \vec{C A} + \frac{3}{4} \vec{C B}$ B、 $4 λ + 3 μ = 2$ C、 $λ μ$ 的最大值为 $\frac{1}{12}$ D、 $\frac{1}{λ} + \frac{1}{3 μ}$ 的最小值为3

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19、已知 ${(2 x + \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式共有13项，则下列说法正确的有（）

A、所有奇数项的二项式系数和为 $2^{11}$ B、二项式系数最大的项为第7项 C、所有项的系数和为 $3^{13}$ D、有理项共有5项

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20、在正四棱锥 $S - A B C D$ 中， $E$ 是线段 $A B$ 上的动点．设直线 $S E$ 与直线 $B C$ 所成的角为 $α$ ，二面角 $S - A B - C$ 为 $β$ ，直线 $S E$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $γ$ ，这三个角的关系正确的是（）

A、 $α \leq β \leq γ$ B、 $α \leq γ \leq β$ C、 $γ \leq α \leq β$ D、 $γ \leq β \leq α$

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