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相关试卷

1、若复数 $z = (1 + i) (2 + i)$ ，则 $z$ 的模为（）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、3 D、 $\sqrt{10}$

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2、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 且 $\vec{A B} = \vec{a} + 2 \vec{b} ， \vec{B C} = - 5 \vec{a} + 6 \vec{b} ， \vec{C D} = 7 \vec{a} - 2 \vec{b}$ 则一定共线的三点是（）

A、A，C，D三点 B、A，B，C三点 C、A，B，D三点 D、B，C，D三点

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3、直线l过双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左顶点A，斜率为 $\frac{1}{2}$ ，与双曲线的渐近线分别相交于M，N两点，且 $3 \vec{A M} = \vec{A N}$ ，则E的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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4、已知抛物线 $C$ 过点 $A (1, - 4)$ ，则（）

A、拋物线 $C$ 的标准方程可能为 $y^{2} = 16 x$ B、挞物线 $C$ 的标准方程可能为 $x^{2} = - \frac{1}{4} y$ C、过点 $A$ 与抛物线只有一个公共点的直线有一条 D、过点 $A$ 与抛物线只有一个公共点的直线有两条

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5、函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x} + \frac{a x}{x + \ln x} + b$ （a， $b \in R$ ），下列说法正确的是（）

A、当 $a = 0$ ，不等式 $f (x) \leq 0$ 恒成立，则b的取值范围是 $(- \infty, \frac{1}{e})$ B、当 $a = 0$ ，函数 $f (x)$ 有两个零点，则b的取值范围是 $(- \frac{1}{e}, 0)$ C、当 $a = 1$ ，函数 $f (x)$ 有三个不同的零点，则b的取值范围是 $(- 1 - \frac{1}{e^{2} + e}, - 1)$ D、当 $a = 1$ ，函数 $f (x)$ 有三个零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 ${(\frac{\ln x_{1}}{x_{1}} + 1)}^{2} (\frac{\ln x_{2}}{x_{2}} + 1) (\frac{\ln x_{3}}{x_{3}} + 1)$ 的值为1．

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6、将三颗骰子各掷一次，记事件 $A =$ “三个点数互不相同”，事件 $B =$ “至少出现一个 $5$ 点”，则 $P (A | B) =$ （）

A、 $\frac{20}{216}$ B、 $\frac{20}{91}$ C、 $\frac{60}{91}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7、已知随机变量 $X$ 服从 $N (0.5, σ^{2})$ ，若 $P (X \leq 0.3) = 0.3$ ，则 $P (0.3 \leq X \leq 0.7) =$ （）

A、0.2 B、0.3 C、0.4 D、0.5

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8、已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = 2 e^{2 x} + 4 a e^{x} - 9$ ， $g (x) = \frac{2}{x} - \frac{4 a}{\sqrt{x}} + 4 a^{2}$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明： $\forall x > 0$ ， $f (x) + g (x) > 0$ .

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9、在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = 3 \sqrt{2}$ ，则正四棱锥 $P - A B C D$ 体积的最大值为（）

A、 $9 \sqrt{3}$ B、 $8 \sqrt{6}$ C、 $10 \sqrt{3}$ D、 $9 \sqrt{6}$

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10、褐马鸡，属于马鸡的一种，是中国特产珍稀的鸟类.若甲是一只鸟，则“甲是马鸡”是“甲是褐马鸡”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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11、2023年5月15日至21日是第二个全国家庭教育宣传周，为进一步促进家校共育，某校举行“家教伴成长，协同育新人”主题活动，最终评出了8位“最美家长”，其中有6位妈妈，2位爸爸，学校准备从这8位“最美家长”中每次随机选出一人做家庭教育经验分享．

(1)、若每位“最美家长”最多做一次家庭教育经验分享，记第一次抽到妈妈为事件A，第二次抽到爸爸为事件B，求 $P (A)$ 和 $P (B)$ ；

(2)、现需要每天从这8位“最美家长”中随机选1人，连续4天分别为低年级、中年级、高年级和全体教师各做1场经验分享，1天只做1场，且人选可以重复，记这4天中爸爸做经验分享的天数为X，求X的分布列和数学期望．

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12、已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{a}{2} x^{2} + 1 (a \in R)$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设函数 $f (x)$ 有两个不同的零点 $x_{1}, x_{2}$ ，
（i）求实数 $a$ 的取值范围：
（ⅱ）若 $x_{1}, x_{2}$ 满足 $| \ln x_{1} - \ln x_{2} | \geq \frac{\ln 2}{2}$ ，求实数 $a$ 的最大值.

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13、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是正方形， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P D = A B$ ， $E$ 为 $P B$ 的中点.

(1)、证明： $D E ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $F$ 为 $A B$ 的中点，求二面角 $B - C E - F$ 的大小.

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14、为建设“书香校园”，学校图书馆对所有学生开放图书借阅，可借阅的图书分为“期刊杂志”与“文献书籍”两类，已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为 $\frac{1}{3}$ ，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为 $\frac{3}{5}$ ．

(1)、求小明同学在两次借阅过程中恰有一次借阅“期刊杂志”的概率；

(2)、求小明同学在两次借阅过程中，第二次借阅的是“文献书籍”的概率．

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15、春夏之交因昼夜温差大，细菌、病毒等活跃，是流感高发季节．某校高二年级某组团统计了流感暴发前的半个月与流感暴发后的半个月的学生请假情况，得到如下数据：

因发烧请假
非发烧请假
合计
流感暴发前
10

30
流感暴发后
30

合计

70

(1)、完成 $2 \times 2$ 列联表，并依据 $α = 0.001$ 的独立性检验，判断能否认为流感暴发对请假的同学中发烧的人数有影响．

(2)、后经过了解，在全校因发烧请假的同学中男生占比为 $40 %$ ，且 $20 %$ 的因发烧请假的男生需要输液治疗， $30 %$ 的因发烧请假的女生需要输液治疗．学校随机选择一名因发烧请假在医院输液的同学进行慰问，求这名同学是女生的概率．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．
$α$
0.05
0.01
0.001
$x_{a}$
3.841
6.635
10.828

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16、如图所示，在四棱锥P-ABCD中，若平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD，侧面PAD是边长为 $2 \sqrt{6}$ 的正三角形，底面ABCD是矩形， $C D = 2 \sqrt{3}$ ，点Q是PD的中点，则下列结论中正确的是．（填序号）
① $C Q ⊥$ 平面PAD；②PC与平面AQC所成角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ；
③三棱锥B-ACQ的体积为 $6 \sqrt{2}$ ；④四棱锥Q-ABCD外接球的内接正四面体的表面积为 $24 \sqrt{3}$ ．

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17、已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线交 $C$ 于A，B两点，A，B中点 $D$ 在 $x$ 轴上方且其横坐标为1， $|A B| = 3$ ，则直线 $A B$ 的斜率为.

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18、设函数 $f (x) = ln x$ ，且 $x_{0}, x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，下列命题：其中正确的命题是（）

A、若 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $\frac{1}{x_{2}} > \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}$ ； B、存在 $x_{0} \in (x_{1}, x_{2})$ ， $x_{1} < x_{2}$ ，使得 $\frac{1}{x_{0}} = \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}$ ； C、若 $x_{1} > 1$ ， $x_{2} > 1$ ，则 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 1$ ； D、对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，都有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) > \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ .

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19、已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 如图所示，其中 $A B = B C = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ， $∠ B A D = ∠ A_{1} A D$ $= ∠ B A A_{1} = 60 °$ ，线段AC，BD交于点O，点E是线段 $A A_{1}$ 上靠近 $A_{1}$ 的三等分点，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{E O} = - \frac{2}{3} \vec{A A_{1}} + \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ B、 $\vec{E C_{1}} = \frac{1}{3} \vec{A A_{1}} + \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ C、 $| \vec{E O} | = 3$ D、 $\vec{E C_{1}} \cdot \vec{A A_{1}} = 9$

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20、若 $a = \frac{ln 2}{ln 3}$ ， $b = ln 3 - ln 2$ ， $c = \frac{\sqrt{6}}{6}$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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	因发烧请假	非发烧请假	合计
流感暴发前	10		30
流感暴发后	30
合计			70

$α$	0.05	0.01	0.001
$x_{a}$	3.841	6.635	10.828