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相关试卷

1、如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆 $O$ ， $P$ 为圆 $O$ 上任一点，若 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则 $2 x + 2 y$ 的最大值为（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、2 C、 $\frac{4}{3}$ D、1

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2、在 $△ A B C$ 中，已知角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且满足 $a^{2} = b^{2} + b c + c^{2}$ ，则角 $A$ 为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$

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3、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B$ 的中点为 $M$ ， $D D_{1}$ 的中点为 $N$ ，则异面直线 $B_{1} M$ 与 $C N$ 所成角的大小为（）

A、 $0 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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4、设复数 $z = 1 + 2 i$ ，则（）

A、 $z^{2} = 2 z - 3$ B、 $z^{2} = 2 z - 4$ C、 $z^{2} = 2 z - 5$ D、 $z^{2} = 2 z - 6$

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5、如图，三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = \sqrt{5}$ ， $B_{1} C_{1} = 2 B C = 2 \sqrt{2}$ ， $A A_{1} = 2 \sqrt{6}$ ，点A在平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 上的射影在 $∠ B_{1} A_{1} C_{1}$ 的平分线上.

(1)、求证： $A A_{1} ⊥ B_{1} C_{1}$ ；

(2)、若A到平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 的距离为4，求直线 $A C$ 与平面 $A A_{1} B_{1} B$ 所成角的正弦值.

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6、已知平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{D E} = 2 \vec{E C}$ ， $2 \vec{A F} = \vec{A D}$ ， $A E$ 和 $B F$ 交于点 $P$ ．

(1)、用 $\vec{A B}$ ， $\vec{A D}$ 表示向量 $\vec{A P}$ ．

(2)、若 $△ B P E$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ A P F$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值．

(3)、若 $|\vec{A B} + \vec{A D}| = |\vec{A B} - \vec{A D}|$ ， $\vec{A C} \cdot \vec{B D} = 0$ ，求 $∠ A P F$ 的余弦值．

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7、人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，则曼哈顿距离为： $d (A, B) = |x_{1} - x_{2}| + |y_{1} - y_{2}|$ ，余弦相似度为： $\cos (A, B) = \frac{x_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}} \times \frac{x_{2}}{\sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}} + \frac{y_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}} \times \frac{y_{2}}{\sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}}$ ，余弦距离为 $1 - \cos (A, B)$

(1)、若 $A (- 1, 2)$ ， $B (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ ，求A，B之间的曼哈顿距离 $d (A, B)$ 和余弦距离；

(2)、已知 $M (\sin α, \cos α)$ ， $N (\sin β, \cos β)$ ， $Q (\sin β, - \cos β)$ ，若 $\cos (M, N) = \frac{1}{5}$ ， $\cos (M, Q) = \frac{2}{5}$ ，求 $\tan α \tan β$ 的值

(3)、已知 $0 < α < β < \frac{π}{2}$ ， $M (5 \cos α, 5 \sin α)$ 、 $N (13 \cos β, 13 \sin β)$ ， $P (5 cos (α + β), 5 sin (α + β))$ ，若 $\cos (M, P) = \frac{5}{13}$ ， $cos (M, N) = \frac{63}{65}$ ，求 $M$ 、 $P$ 之间的曼哈顿距离.

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8、如图， $△ A B C$ 是等边三角形， $D$ 是 $B C$ 边上的动点，记 $∠ B A D = α, ∠ A D C = β$ .

(1)、求 $2 cos α - cos β$ 的最大值；

(2)、若 $B D = 1, cos β = \frac{1}{7}$ ，求 $△ A B D$ 的周长.

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9、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $B C ∥ A D$ ， $∠ A D C = 90 °$ ， $E$ ， $F$ 分别为线段 $A D$ ， $P C$ 的中点， $P E ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $B C = C D = \frac{1}{2} A D = \frac{1}{2} P E = 1$ .

(1)、作出平面 $B E F$ 与平面 $P C D$ 的交线 $l$ ，并证明 $l ∥ B E$ ；

(2)、求点 $C$ 到平面 $F B E$ 的距离.

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10、已知对任意平面向量 $\vec{A B} = (x, y)$ ，把 $\vec{A B}$ 绕其起点 $A$ 沿逆时针方向旋转 $θ$ 角得到向量 $\vec{A P} = (x \cos θ - y \sin θ, x \sin θ + y \cos θ)$ ，叫做把点 $B$ 绕点 $A$ 沿逆时针方向旋转 $θ$ 角得到点 $P$ ，已知平面内点 $A (1, 2)$ ，点 $B (1 + \sqrt{2}, 2 - 2 \sqrt{2})$ ，把点 $B$ 绕点 $A$ 沿逆时针方向旋转 $\frac{π}{4}$ 角得到点 $P$ ，则点 $P$ 的坐标.

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11、计算： $\frac{2 \sin \frac{π}{18} - \cos \frac{π}{9}}{2 \sin \frac{π}{9}} =$ ．

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12、已知圆锥的轴截面是边长为 $2$ 的等边三角形，则此圆锥的表面积为.

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13、直角 $△ A B C$ 中，斜边 $A B = 2$ ， $P$ 为 $△ A B C$ 所在平面内一点， $\vec{A P} = \frac{1}{2} \sin^{2} θ \cdot \vec{A B} + \cos^{2} θ \cdot \vec{A C}$ （其中 $θ \in R$ ），则（）

A、 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的取值范围是 $(0, 4)$ B、点 $P$ 经过 $△ A B C$ 的外心 C、点 $P$ 所在轨迹的长度为2 D、 $\vec{P C} \cdot (\vec{P A} + \vec{P B})$ 的取值范围是 $[- \frac{1}{2}, 0]$

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14、如图， $A B C D$ 是底面直径为 $2$ 高为 $1$ 的圆柱 $O O_{1}$ 的轴截面，四边形 $O O_{1} D A$ 绕 $O O_{1}$ 逆时针旋转 $θ (0 \leq θ \leq π)$ 到 $O O_{1} D_{1} A_{1}$ ，则（）

A、圆柱 $O O_{1}$ 的侧面积为 $4 π$ B、当 $0 < θ < π$ 时， $D D_{1} ⊥ A_{1} C$ C、当 $θ = \frac{π}{3}$ 时，异面直线 $A_{1} D$ 与 $O O_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ D、 $△ A_{1} C D$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}$

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15、已知 $z_{1} = 2 - i, z_{2}$ 为复数，则（）

A、存在唯一的 $z_{2}$ ，使 $|z_{1} z_{2}| = 5$ B、存在唯一的 $z_{2}$ ，使 $z_{1} z_{2} = 5$ C、存在唯一的 $z_{2}$ ，使 $z_{1} + z_{2} = 4$ D、存在唯一的 $z_{2}$ ，使 $z_{1} z_{2} + z_{1} + z_{2} = 9$

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16、如图：正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，E为 $D D_{1}$ 的中点，过点D作正方体截面使其与平面 $A_{1} E C_{1}$ 平行，则该截面的面积为（　　）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{6}$ C、 $4 \sqrt{6}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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17、将函数 $y = \sin 2 x$ 的图象向左平移 $φ$ 个单位长度后，得到函数 $y = \cos (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象，则 $φ$ 的值可以是（）

A、 $\frac{7 π}{12}$ B、 $\frac{5 π}{12}$ C、 $\frac{π}{12}$ D、 $\frac{π}{3}$

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18、如图1，在高为 $h$ 的直三棱柱容器 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边 $A B$ 于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为 $A_{1} B_{1} C$ （如图2），则容器的高 $h$ 为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、3 C、4 D、6

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19、已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面 $α$ ， $β$ ，则下列命题中正确的是（）

A、若 $m ∥ α$ ， $n \subset α$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $α \cap β = m$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n ⊥ α$ C、若 $m ∥ α$ ， $n ∥ α$ ，则 $m ∥ n$ D、若 $m ∥ α$ ， $m \subset β$ ， $α \cap β = n$ ，则 $m ∥ n$

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20、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ 与向量 $\vec{b} = (k, k + 1)$ 平行，则 $k =$ （）

A、1 B、0 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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