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相关试卷

1、为提高学生的身体素质，除了进行体育锻炼之外，学校每天中午免费为学生提供水果和牛奶两种营养餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生第一天选择水果的概率为 $\frac{1}{3}$ ，选择牛奶的概率为 $\frac{2}{3}$ .而前一天选择水果第二天选择水果的概率为 $\frac{3}{4}$ ，选择牛奶的概率为 $\frac{1}{4}$ ；前一天选择牛奶第二天选择水果的概率为 $\frac{1}{2}$ ，选择牛奶的概率也是 $\frac{1}{2}$ ，如此往复.记某同学第n天选择水果的概率为 $p_{n}$ .

(1)、记某班的2名同学在发放营养餐开始第二天选择水果的人数为X，求X的分布列和期望；

(2)、证明数列 ${p_{n} - \frac{2}{3}}$ 是等比数列，并求数列 $\{p_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、为了培养学生的服务意识，30天后学校组织学生参加志愿服务活动，其中有15位学生负责为全体同学分发营养餐，应该如何安排分发水果和牛奶的人数.

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2、已知函数 $f (x) = x + (1 - a) \ln x + \frac{a}{x}$ ，（ $a \in R$ ）.

(1)、当 $a = 0$ 时，求出方程 $f (x) = 2 x - 1$ 解的个数；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性.

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3、如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面ABCD是边长为2的正方形， $D D_{1} ⊥$ 平面ABCD， $A B = 2 A_{1} B_{1}$ ， $D D_{1} = 1$ ， P为AB的中点.

(1)、求证： $D_{1} P / /$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、求平面 $A B B_{1} A_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 夹角的大小.

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4、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $b \cos C + c \cos B = 2 a \cos B$ .

(1)、求B；

(2)、若 $b = 2$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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5、已知直线l： $x - 2 y + 2 = 0$ 与抛物线C： $x^{2} = 4 y$ 交于A，B两点，如图，点P为抛物线C上的动点，且位于直线AB的下方，则△ABP面积的最大值为.

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6、已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 分别是定义在 $R$ 上的奇函数，偶函数，且 $f (x) + g (x) = e^{x}$ ，则 ${[f (x)]}^{2} - {[g (x)]}^{2} =$ .

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7、设z为虚数， $|z| = 1$ ，则z可以为.（写出满足条件的一个解即可）

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8、如图1，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = 60 °$ ， $A B = 2$ .沿对角线 $B D$ 将其翻折，如图2.则（）

A、在折叠过程中直线 $A C$ 与 $B D$ 所成角不变 B、当点 $C$ 在平面 $A B D$ 的投影为 $△ A B D$ 的重心时， $A C = 2$ C、三棱锥 $D - A B C$ 的表面积最大值为 $4 \sqrt{3}$ D、当三棱锥 $D - A B C$ 的体积最大时，其外接球半径为 $\frac{\sqrt{15}}{3}$

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9、记正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $2 S_{n} = a_{n}^{2} + a_{n}$ ，则（）

A、 $a_{2} = 2$ B、 $a_{n} = 2^{n - 1}$ C、 $S_{n} = 2^{n} - 1$ D、数列 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前n项和小于1

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10、以下说法正确的是（）

A、若 $X ~ B (n, \frac{1}{3})$ ， $D (3 X + 1) = 18$ ，则 $n = 6$ B、随机变量 $ξ$ ， $η$ ，若 $η = 5 ξ + 3$ ，则 $E (η) = 5 E (ξ) + 3$ C、若 $A \subseteq B$ ， $P (A) = 0.2$ ， $P (B) = 0.8$ ，则 $P (A |B) = \frac{1}{4}$ D、 $ξ ~ N (2, σ^{2})$ ，且 $P (ξ < 6) = 0.732$ ，则 $P (2 < ξ < 6) = 0.232$

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11、一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金是（）

A、小于10g B、等于10g C、大于10g D、大于或等于10g

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12、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ ，的右焦点为 $F (4, 0)$ ，过F的直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为 $M (1, - 1)$ ，则椭圆C的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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13、东平房塔（如图）建于辽代，塔平面呈正六边形，是辽西古塔中仅有的两座辽代六边形古塔之一.请根据塔平面抽象出正六边形ABCDEF，若 $A B = 2$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{A D} =$ （）

A、6 B、 $4 \sqrt{3}$ C、8 D、12

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14、若函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^{2} x$ ，则函数 $f (x)$ 的单调递增区间为（）

A、 $[2 k π - \frac{π}{3}, 2 k π + \frac{π}{6}]$ ， $k \in Z$ B、 $[2 k π + \frac{π}{6}, 2 k π + \frac{2π}{3}]$ ， $k \in Z$ C、 $[k π - \frac{π}{3}, k π + \frac{π}{6}]$ ， $k \in Z$ D、 $[k π + \frac{π}{6}, k π + \frac{2π}{3}]$ ， $k \in Z$

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15、已知函数 $f (x)$ 对任意的 $x \in R$ 都有 $f (x + 3) - f (x) = 0$ 成立，当 $x \in [- 1, 2)$ 时， $f (x) = \{\begin{array}{l} \sin (\frac{π}{3} x), x \in [- 1, 1) \\ \log_{2} (x + 2), x \in [1, 2) \end{array}$ ，则 $f (2024) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- 2$ D、2

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16、为全面普及无人机知识，激发青少年探索航空未来创造力与想象力，提升青少年科学素养和创新能力，培养航空后备人才.中国航空学会、云南省科学技术协会、云南警官学院于2024年4月中句在红河州弥勒市共同举办第8届全国青少年无人机大赛（云南省赛）.某校为下一届大赛做准备，在校内进行选拔赛，9名学生成绩依次为：85，105，75，100，95，85，90，100，80.则这组数据的第60百分位数为（）

A、85 B、90 C、92.5 D、95

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17、已知直线l： $x + \sqrt{3} y + m = 0$ 与圆C： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 有公共点，则实数m的取值范围为（）

A、 $[- 5, 3]$ B、 $(- 5, 3)$ C、 $[- 9, 7]$ D、 $(- 9, 7)$

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18、已知集合 $U = \{1, 2, 3.4, 5, 6, 7, 8\}$ ， $A = \{2, 5, 6\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $\{1, 3, 4, 7\}$ B、 $\{1, 3, 7, 8\}$ C、 $\{1, 3, 4, 7, 8\}$ D、 $\{1, 3, 4, 5, 7, 8\}$

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19、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差 $d \neq 0$ ，其前n项和为 $S_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是等差数列 B、若 $d < 0$ ，则 $S_{n}$ 有最大值 C、 $S_{n}$ ， $S_{2 n}$ ， $S_{3 n}$ 成等差数列 D、若 $S_{m} = S_{n}$ ， $m \neq n$ ，则 $S_{m + n} = 0$

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20、在 ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中，下列命题正确的是（）

A、偶数项的二项式系数之和为32 B、第3项的二项式系数最大 C、常数项为60 D、有理项的个数为3

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