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相关试卷

1、已知全集 $U = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ，集合 $A = \{- 2, 0\}, B = \{x |x^{2} - 2 x = 0\}$ ，则 $∁_{U} (A \cup B) =$ （）

A、 $\{- 1, 1, 2\}$ B、 $\{- 1, 0, 1\}$ C、 $\{1\}$ D、 $\{- 1, 1\}$

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2、在复平面内，复数 $\frac{5 i}{1 + 2 i}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的部分图象如图所示，设函数 $g (x) = \frac{f (x)}{e^{x}}$ ，则 $g (x)$ （）

A、在区间 $(a, b)$ 上是减函数 B、在区间 $(a, b)$ 上是增函数 C、在 $x = a$ 时取极小值 D、在 $x = b$ 时取极小值

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4、如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（）

A、图（1）的平均数 $=$ 中位数 $=$ 众数 B、图（2）的平均数<众数<中位数 C、图（2）的众数 $<$ 中位数<平均数 D、图（3）的平均数 $<$ 中位数 $<$ 众数

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5、设抛物线 $C_{1}$ ： $y^{2} = 2 p x$ ， $C_{2}$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ ， $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $C_{1}$ 交 $C_{2}$ 于点N，已知三角形 $F_{1} N F_{2}$ 的周长为 $10 + \sqrt{2}$ ．

(1)、求 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的方程；

(2)、过 $C_{1}$ 上第一象限内一点M作 $C_{1}$ 的切线l，交 $C_{2}$ 于A，B两点，其中点B在第一象限，设l的斜率为k．
①x轴正半轴上的点P满足 $\tan ∠ A M P = k$ ，问P是否为定点？并证明你的结论．
②过点A，B分别作 $C_{2}$ 的切线交于点D，当三角形ABD的面积最小时，求 $\frac{|A M|}{|B M|}$ 的值．

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6、已知函数 $f (x) = a \ln x + x^{2} + 3$ 在 $x = 1$ 处的切线经过原点.

(1)、判断函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、求证：函数 $f (x)$ 的图象与直线 $y = 5 x$ 有且只有一个交点.

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7、如图，在五棱锥 $P - A B C D E$ 中， $P A ⊥$ 平面ABCDE， $A E // B C$ ， $A B // C D$ ， $A C // E D$ ， $∠ A B C = 45^{\circ}$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $B C = 2 A E = 4$ ．

(1)、求证：平面 $P C D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、已知直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成的角为 $30^{\circ}$ ，求线段 $P A$ 的长．

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8、已知函数 $f (x) = \sin x \cos x - \cos^{2} x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的减区间；

(2)、 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上的零点从小到大排列后构成数列 $\{a_{n}\}$ ，求 $\{a_{n}\}$ 的前10项和.

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9、将“用一条线段联结两个点”称为一次操作，把操作得到的线段称为“边”．若单位圆上 $n$ 个颜色不相同且位置固定的点经过 $k$ 次操作后，从任意一点出发，沿着边可以到达其他任意点，就称这n个点和k条边所构成的图形满足“条件 $T$ ”，并将所有满足“条件 $T$ ”的图形个数记为 $T (n, k)$ ，则 $T (5, 4) =$ ．

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10、写出同时满足下列条件①②③的一个函数 $f (x) =$ ．
① $f (x)$ 是二次函数；② $x f (x + 1)$ 是奇函数；③ $\frac{f (x)}{x}$ 在 $(0, + \infty)$ 上是减函数．

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11、已知函数 $f (x)$ 满足：①对任意 $x, y \in R$ ， $f (x + y) + f (x) + f (y) = f (x) \cdot f (y) + 2$ ；②若 $x \neq y$ ，则 $f (x) \neq f (y)$ .则（）

A、 $f (0)$ 的值为2 B、 $f (x) + f (- x) \geq 4$ C、若 $f (1) = 3$ ，则 $f (3) = 9$ D、若 $f (4) = 10$ ，则 $f (- 2) = 4$

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12、已知曲线C： $x^{2} + y^{2} \cos α = 1$ ， $α \in [0, π]$ ，则下列结论正确的是（）

A、曲线C可能是圆，不可能是直线 B、曲线C可能是焦点在y轴上的椭圆 C、当曲线C表示椭圆时，则 $α$ 越大，椭圆越圆 D、当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为 $\sqrt{2}$

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13、一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等. 设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为 $h_{1}, h_{2}, h$ ，则 $h_{1} : h_{2} : h$ =（）

A、 $\sqrt{3}$ ﹕1﹕1 B、 $\sqrt{3}$ ﹕2﹕2 C、 $\sqrt{3}$ ﹕2﹕ $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$ ﹕2﹕ $\sqrt{3}$

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14、若函数 $f (x) = e^{x} + a x^{2}$ 单调递增，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[- e, 0]$ B、 $[- \frac{e}{2}, 0]$ C、 $[- \frac{e}{2}, 1]$ D、 $[1, + \infty)$

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15、过坐标原点 $O$ 向圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 4 = 0$ 作两条切线，切点分别为 $M, N$ ，则 $tan ∠ M O N =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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16、若函数 $f (x) = \{\begin{cases} e^{x} - x + 2 a, x > 0 \\ (a - 1) x + 3 a - 2, x \leq 0 \end{cases}$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上是单调函数，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[1, + \infty)$ B、 $(1, 3]$ C、 $[\frac{1}{2}, 1)$ D、 $(1, 2]$

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17、已知 $a = {log}_{2} 3$ ， $b = 2^{ln 3}$ ， $c = {(\frac{1}{2})}^{{log}_{3} 2}$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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18、已知正项等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $3 a_{n} = a_{3 n}$ ，且 $a_{4}$ 是 $a_{3} - 3$ 与 $a_{8}$ 的等比中项，则 $a_{3} =$ （）

A、3 B、6 C、9 D、12

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19、已知样本空间 $Ω = \{a, b, c, d\}$ 含有等可能的样本点，且 $A = \{a, b\}$ ， $B = \{b, c\}$ ，则 $P (A \bar{B}) =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、1

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20、已知点 $(- \sqrt{5}, \frac{1}{2})$ ， $(3, \frac{\sqrt{5}}{2})$ 在双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）上，直线 $l : y = k x + m$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、当 $m = 1$ 且 $k \neq 0$ 时，直线 $l$ 与双曲线 $C$ 分别交于 $A$ ， $B$ 两点， $A$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $D$ .证明：直线 $B D$ 过定点；

(3)、当 $k \neq \pm \frac{b}{a}$ 时，直线 $l$ 与双曲线 $C$ 有唯一的公共点 $M$ ，过点 $M$ 且与 $l$ 垂直的直线分别交 $x$ 轴， $y$ 轴于 $S (x, 0)$ ， $T (0, y)$ 两点.当点 $M$ 运动时，求点 $P (x, y)$ 的轨迹方程.

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