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相关试卷

1、从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为 $\frac{2}{15}$ ， “两个球都是白球”的概率为 $\frac{1}{3}$ ，则“两个球颜色不同”的概率为（）

A、 $\frac{4}{15}$ B、 $\frac{7}{15}$ C、 $\frac{8}{15}$ D、 $\frac{11}{15}$

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2、若 $|\overset{⃑}{a}| = 2, |\overset{⃑}{b}| = 4$ ，向量 $\overset{⃑}{a}$ 与向量 $\overset{⃑}{b}$ 的夹角为 $120 °$ ，则向量 $\overset{⃑}{a}$ 在向量 $\overset{⃑}{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $- \frac{3}{4} \overset{⃑}{b}$ B、 $- \frac{1}{2} \overset{⃑}{b}$ C、 $\frac{1}{2} \overset{⃑}{b}$ D、 $- \frac{1}{4} \overset{⃑}{b}$

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3、在篮球选修课上，男、女生各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如图所示，试根据折线图通过计算比较本次投篮练习中男、女生的投篮水平，则（）

A、男生投篮水平比女生投篮水平高 B、女生投篮水平比男生投篮水平高 C、男女同学的投篮水平相当，但女同学要比男同学稳定 D、男女同学投篮命中数的极差相同

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4、设复数 $z = \frac{3 + i}{1 + i}$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点的坐标为（）

A、 $(2, - 1)$ B、 $(2, - 2)$ C、 $(2, 1)$ D、 $(2, 2)$

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5、在2024年5月举行的第一届全国全民健身大赛（西南区）篮球项目贵州选拔赛暨2024年贵州省篮球公开赛中，铜仁市代表队凭借出色的技术和顽强拼搏的精神，从全省42支队伍中脱颖而出，闯进决赛．受此影响，铜仁市某校掀起了篮球运动的热潮，在一次篮球训练课上，甲、乙、丙三位同学进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人．

(1)、求2次传球后球在甲手中的概率；

(2)、设 $n (n \in N^{*})$ 次传球后球在甲手中的概率为 $P_{n}$ ，求证数列 $\{P_{n} - \frac{1}{3}\}$ 为等比数列，并求数列 $\{P_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、现在丁加入传球训练，且甲、乙、丙、丁四人分别站定于如图所示的 $A, B, C, D$ 四点（ $A, B, C, D$ 为正方形的四个顶点），且每次传球时，传球者将球传给相邻同学的概率为 $\frac{1}{4}$ ，传给对角线上同学的概率为 $\frac{1}{2}$ （例如：甲传球给乙或丁的概率都是 $\frac{1}{4}$ ，传球给丙的概率是 $\frac{1}{2})$ ；若第一次仍由甲将球传出，则 $n (n \in N^{*})$ 次传球后，试比较球在甲、乙、丙、丁手中概率的大小，并说明理由．

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6、已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，以 $E$ 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形．设 $O$ 为原点，直线 $y = x + m (m \neq 0)$ 与 $E$ 交于不同的两点 $A, B$ ，且与 $x$ 轴交于点 $C$ ，点 $P$ 满足 $\vec{O P} = \frac{1}{3} \vec{O C}$ ，过点 $B$ 的直线与 $E$ 的另一个交点为 $B_{1}$ ．

(1)、求 $E$ 的方程及离心率；

(2)、若 $B B_{1} ⊥ x$ 轴，证明： $△ P A B_{1}$ 是等腰直角三角形．

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7、已知函数 $f (x) = x - a ln x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $f (x)$ 有极小值，且极小值小于 $a^{2}$ 时，求 $a$ 的取值范围．

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8、如图所示，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 5, B C = 3, B B_{1} = 4, P$ 为矩形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内一点，过点 $P$ 与棱 $B C$ 作平面 $α$ ．

(1)、直接在图中作出平面 $α$ 截此长方体所得的截面（不必说明画法和理由），判断截面图形的形状，并证明；

(2)、设平面 $α \cap$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} = l$ ．若截面图形的周长为16，求二面角 $A - l - B$ 的余弦值．

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9、已知在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $c cos B + b cos C = a^{2}$ ．

(1)、求 $a$ ；

(2)、若 $A = \frac{π}{3}$ ，且 $S_{△ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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10、已知抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 的焦点为 $F (4, 0)$ ，则 $p =$ ；若斜率为 $k$ 的直线 $l$ 过焦点 $F$ 且与抛物线交于 $A, B$ 两点， $A B$ 的中垂线交 $x$ 轴于点 $N$ ，则 $\frac{|A B|}{|N F|} =$ ．

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11、已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 \leq φ < 2 π)$ 图象的相邻两个对称中心之间的距离为 $π$ ，则 $ω = \underline{}$ ；若 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{6}, π]$ 上单调递减，则 $φ$ 的一个取值可以为．

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12、已知随机变量 $X$ 服从标准正态分布 $N (0, 1)$ ，若 $P (X > 2) = 0.4$ ，则 $P (- 2 \leq X \leq 0) =$ ．

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13、设 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{x} - a, x < 1 \\ (x - a) (x - 2 a), x \geq 1 \end{array}$ ，则（）

A、当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 的最小值为 $- \frac{1}{4}$ B、对任意的 $a > 0, f (x)$ 至少存在一个零点 C、存在 $a > 0$ ，使得 $f (x)$ 有三个不同零点 D、对任意的 $a \in (- \infty, 0), f (x)$ 在 $R$ 上是增函数

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14、若 $x^{2} + m x + n = 0 (m, n \in R)$ 的两根为 $z_{1}, z_{2}$ ，且 $z_{1} = 1 + \sqrt{2} i$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $m + n = 1$ B、 $z_{2}$ 在复平面内对应的点位于第二象限 C、 $z_{1}$ 的虚部为 $\sqrt{2} i$ D、 $|z_{2}| = \sqrt{3}$

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15、下列命题正确的是（）

A、若随机变量 $ξ \sim B (2, \frac{1}{2})$ ，则 $E (ξ) = 1$ B、直线 $3 x + 4 y - 1 = 0$ 与圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 相交，且相交弦的长度为 $2 \sqrt{3}$ C、经验回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 至少经过样本点中的一个点 D、若 $cos α + sin β = \frac{1}{2}, sin α + cos β = \frac{1}{3}$ ，则 $sin (α + β) = - \frac{59}{72}$

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16、已知 $A, B$ 是两个随机事件，且 $0 < P (A) < 1, 0 < P (B) < 1, P (A B) = P (A \bar{B}) = P (\bar{A} B) = P (\bar{A} \bar{B})$ ，则下列说法不正确的是（）

A、 $P (A) = P (B)$ B、 $P (A ∣ B) = P (A ∣ \bar{B})$ C、事件 $A, B$ 相互独立 D、 $P (A + B) = 1$

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17、若曲线 $y = x e^{a - x} + b x$ 在 $x = 2$ 处的切线方程为 $y = (e - 1) x + 4$ ，则（）

A、 $a = 3, b = 1$ B、 $a = 3, b = - 1$ C、 $a = 2, b = - e$ D、 $a = 2, b = e$

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18、从三棱锥的6条棱中任选2条棱，则这2条棱所在的直线是异面直线的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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19、已知空间中三条不同的直线 $a, b, c$ 和平面 $α$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $a ∥ α, b ∥ α$ ，则 $a ∥ b$ B、若 $a ⊥ α, b ⊥ α$ ，则 $a ∥ b$ C、若 $a ⊥ c, b ⊥ c$ ，则 $a ∥ b$ D、若 $a ∥ α, b \subset α$ ，则 $a ∥ b$

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20、已知正项数列 $\{a_{n}\}, n \in \{1, 2, 3, \dots, 7\}$ ．若该数列的前3项成等差数列，后5项成等比数列，且 $a_{1} = 1, a_{5} = 12, a_{7} = 48$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 所有项的和为（）

A、98 B、92 C、96 D、100

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