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相关试卷

1、学校举行数学知识竞赛，分为个人赛和团体赛.
个人赛规则：每位参赛选手只有一次挑战机会.电脑同时给出2道判断题 $A_{1}, A_{2}$ （判断对错）和4道连线题（由电脑随机打乱给出的四个数学定理 $B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}$ 和与其相关的数学家 $b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}$ ，要求参赛者将它们连线配对，配对正确一对数学定理和与其相关的数学家记为答对一道连线题），要求参赛者全都作答，若有4道或4道以上答对，则该选手挑战成功.
团体赛规则：以班级为单位，每班参赛人数不少于20人，且参赛人数为偶数，参赛方式有如下两种可自主选择其中之一参赛：
方式一：将班级选派的 $2 n$ 个人平均分成 $n$ 组，每组2人，电脑随机分配给同组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组闯关成功.若这 $n$ 个小组都闯关成功，则该班级挑战成功.
方式二：将班级选派的 $2 n$ 个人平均分成2组，每组 $n$ 人，电脑随机分配给同组 $n$ 个人一道相同试题，各人同时独立答题，若这 $n$ 个人都回答正确，则该小组闯关成功.若这两个小组至少有一个小组闯关成功则该班级挑战成功.

(1)、在个人赛中若一名参赛选手全部随机作答，求这名选手恰好答对一道判断题并且配对正确两道连线题的概率.

(2)、甲同学参加个人赛，他能够答对判断题 $A_{1}$ 并且配对正确 $B_{1}$ 与 $b_{1}$ ，其余题目只能随机作答，求甲同学挑战成功的概率.

(3)、在团体赛中，假设某班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数 $p (0 < p < 1)$ ，为使本班团队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明理由.

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2、已知函数 $f (x) = x (e^{x} - a x^{2})$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = - 1$ 处的切线与 $y$ 轴垂直，求 $y = f (x)$ 的极值.

(2)、若 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 只有一个零点，求 $a$ .

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3、在平面直角坐标系xOy中，点 $P$ 到点 $(\sqrt{3}, 0)$ 的距离与到直线 $x = - \sqrt{3}$ 的距离相等，记动点 $P$ 的轨迹为 $C$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 与 $C$ 相切于点 $M$ ，若点 $M$ 的纵坐标为2，求直线 $l$ 的方程.

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4、若 $x > 0$ ，使 $2 x + \frac{4}{3 x + 2}$ 取得最小值时 $x$ 的值为.

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5、已知集合 $\{x | (x - a^{2}) (x - 1) = 0\}$ 的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（）

A、{0} B、{1} C、{－1，1} D、{0，-1，1}

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6、如图，在 $4 \times 4$ 方格中，向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 的起点和终点均为小正方形的顶点，则（）

A、 $|\vec{a}| = |\vec{c}|$ B、 $2 \vec{a} ⊥ 3 \vec{b}$ C、 $(\vec{a} + \vec{b}) / / \vec{c}$ D、 ${\vec{a}}^{2} = \vec{a} \cdot (\vec{c} - \vec{b})$

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7、已知一个正棱台（正棱台的两底面是两个相似正多边形，侧面是全等的等腰梯形）的上、下底面是边长分别为4、6的正方形，侧棱长为 $\sqrt{5}$ ，则该棱台的表面积为（）

A、72 B、82 C、92 D、112

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8、如图，正四棱锥 $S - A B C D$ 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 $\sqrt{2}$ 倍，点P在侧棱SD上，且 $S P = 3 P D$ ．

(1)、求证： $A C ⊥ S D$ ；

(2)、求二面角 $P - A C - D$ 的大小；

(3)、侧棱SC上是否存在一点E，使得 $B E / /$ 平面PAC．若存在，求 $\frac{S E}{E C}$ 的值；若不存在，试说明理由．

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9、某中学参加知识竞赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取800名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组： $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ ，并绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、请补全频率分布直方图并估计这800名学生的平均成绩；

(2)、采用分层随机抽样的方法从这800名学生中抽取容量为40的样本，再从该样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取2名进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90分的概率.

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10、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是平行四边形， $E$ 为 $P C$ 的中点， $P D = A D = B D = 2$ ， $∠ A D B = 90 °$ .

(1)、 $P A //$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求三棱锥 $P - B D E$ 的体积．

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11、已知 $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 6$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值；

(2)、求向量 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的余弦值．

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12、已知在边长为 $2$ 的正三角形 $A B C$ 中， $M$ 、 $N$ 分别为边 $B C$ 、 $A C$ 上的动点，且 $C N = B M$ ，则 $\overset{⃑}{A M} \cdot \overset{⃑}{M N}$ 的最大值为．

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13、已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\frac{c - b}{c - a}$ = $\frac{s i n A}{s i n C + s i n B}$ ，则B=

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14、双鸭山一中高一年级8名学生某次考试的数学成绩（满分150分）分别为85，90，93，99，101，103，116，130，则这8名学生数学成绩的第75百分位数为

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15、《数术记遗》记述了积算（即筹算）、珠算、计数等共14种算法．某研究学习小组共7人，他们搜集整理这14种算法的相关资料所花费的时间（单位：min）分别为93，93，88，81，94，91，90．则这组时间数据（）

A、极差为13 B、中位数为81 C、平均数为90 D、方差为25

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16、设 $α$ ， $β$ ， $γ$ 为三个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题是真命题的是（）

A、当 $α ⊥ β$ 时，若 $β / / γ$ ，则 $α ⊥ γ$ B、当 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ 时，若 $α / / β$ ，则 $m / / n$ C、当 $m \subset α$ ， $n \subset β$ 时， $α / / β$ ，则m，n是异面直线 D、当 $m / / n$ ， $n ⊥ β$ 时，若 $m \subset α$ ，则 $α ⊥ β$

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17、足尖虽未遍及美景，浪漫却从未停止生长，清风牵动裙摆，处处彰显着几何的趣味.如右图几何图形好似平铺的一件裙装，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中 $A B = A A_{1} = 2$ ， $A_{1} B_{1} = 4$ ，若沿图中的虚线折起，围成一个封闭几何体Ω，则Ω的外接球的表面积为（）

A、 $16 π$ B、 $32 \sqrt{3} π$ C、 $48 π$ D、 $40 π$

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18、 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $b \sin C + c \sin B = 4 a \sin B \sin C$ ， $b^{2} + c^{2} - a^{2} = 8$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$

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19、如图1，这是雁鸣塔，位于贵州省遵义娄山关景区，塔身巍然挺拔，直指苍穹，登塔可众览娄山好风光．某数学兴趣小组成员为测量雁鸣塔的高度，在点O的同一水平面上的A，B两处进行测量，如图2．已知在A处测得塔顶P的仰角为30°，在B处测得塔顶P的仰角为45°，且 $A B = 30 \sqrt{7}$ 米， $∠ A O B = 150 °$ ，则雁鸣塔的高度 $O P =$ （）

A、30米 B、 $30 \sqrt{2}$ 米 C、 $30 \sqrt{3}$ 米 D、 $30 \sqrt{5}$ 米

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20、设 $D$ 为 $△ A B C$ 所在平面内一点， $\overset{⃑}{B D} = 2 \overset{⃑}{D C}$ ， $M$ 为 $A D$ 的中点，则 $\overset{⃑}{M B} =$ （）

A、 $\frac{5}{6} \overset{⃑}{A B} - \frac{1}{3} \overset{⃑}{A C}$ B、 $\frac{1}{3} \overset{⃑}{A B} - \frac{5}{6} \overset{⃑}{A C}$ C、 $\frac{5}{6} \overset{⃑}{A B} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{A C}$ D、 $\frac{1}{3} \overset{⃑}{A B} + \frac{5}{6} \overset{⃑}{A C}$

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