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1、设函数 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处存在导数为2，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{3 Δ x} =$ （）

A、1 B、2 C、 $\frac{2}{3}$ D、3

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2、命题甲：对任意 $x \in (a, b)$ ，有 $f^{'} (x) > 0$ ；命题乙： $f (x)$ 在 $(a, b)$ 内是单调递增的，则甲是乙的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、下列导数计算错误的是（）

A、 ${(\frac{1}{x})}^{'} = - \frac{1}{x^{2}}$ B、 ${(e^{- x})}^{'} = - e^{- x}$ C、 ${(x \ln x)}^{'} = \ln x + 1$ D、 ${(\tan x)}^{'} = \frac{1}{\sin^{2} x}$

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4、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = 6$ ， $A B = 10$ ， $\cos ∠ C A B = \frac{3}{5}$ ， $A A_{1} = 8$ ，点 $D$ 是 $A B$ 的中点．

(1)、求证： $A C_{1} / /$ 平面 $C D B_{1}$ ；

(2)、求证： $A C ⊥ B C_{1}$ ；

(3)、求三棱锥 $A_{1} - B_{1} C D$ 的体积．

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5、下列命题正确的是（）

A、 $p :$ “ $α$ 是第二象限角或第三象限角”， $q :$ “ $cos α < 0$ ”，则 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件 B、若 $α$ 为第一象限角，则 $\frac{cos α}{\sqrt{1 + cos 2 α}} + \frac{sin α}{\sqrt{1 - cos 2 α}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、在 $△ A B C$ 中，若 $tan A \cdot tan B > 1$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 D、已知 $α \in (0, \frac{π}{4})$ ，且 $cos 2 α = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ，则 $tan α = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

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6、设m、n为空间中两条不同直线， $α$ 、 $β$ 为空间中两个不同平面，下列命题中正确的为（）

A、若m上有两个点到平面 $α$ 的距离相等，则 $m ∥ α$ B、若 $m ⊥ α$ ， $n \subset β$ ，则“ $m ∥ n$ ”是“ $α ⊥ β$ ”的既不充分也不必要条件 C、若 $α ⊥ β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m ⊥ n$ D、若m、n是异面直线， $m \subset α$ ， $m ∥ β$ ， $n \subset β$ ， $n ∥ α$ ，则 $α ∥ β$

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7、已知复数z满足 $(1 + i) z = |\sqrt{3} - i|$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $2 - 2 i$ D、 $2 + 2 i$

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8、与 $- 20 ^{\circ}$ 角终边相同的角是（）

A、 $- 300^{\circ}$ B、 $- 280 ^{\circ}$ C、 $320 ^{\circ}$ D、 $340^{\circ}$

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9、已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (4, σ^{2})$ ，且 $\frac{P (ξ < 3)}{P (ξ < 5)} = \frac{1}{4}$ ，则 $P (3 < ξ < 5) =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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10、下列命题正确的是（）

A、已知随机变量 $X \sim B (n, p)$ ，若 $E (X) = 30, D (X) = 10$ ，则 $p = \frac{1}{3}$ B、若随机变量 $X$ 满足 $D (X) = 2$ ，则 $D (3 - X) = 1$ C、已知随机变量 $X \sim B (n, \frac{1}{2})$ ，若 $E (2 X + 1) = 9$ ，则 $n = 4$ D、已知随机变量 $X \sim B (6, \frac{1}{2})$ ，则 $P (X = 3) = \frac{5}{16}$

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11、已知函数 $f (x)$ 的部分图象如下图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $\frac{5 e^{x} - 5 e^{- x}}{x^{2} + 2}$ B、 $\frac{5 \sin x}{x^{2} + 1}$ C、 $\frac{5 e^{x} + 5 e^{- x}}{x^{2} + 2}$ D、 $\frac{5 \cos x}{x^{2} + 1}$

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12、著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601－1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，则使得 $∠ A P B = ∠ B P C = ∠ C P A = 120 °$ 的点P即为费马点．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\cos B = \frac{2 a \cos A}{c} - \frac{\sin B}{\tan C}$ ．若 $P$ 是 $△ A B C$ 的“费马点”， $a = 2 \sqrt{3}, b < c$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P A} = - 4$ ，求 $△ A B C$ 的周长；

(3)、在（2）的条件下，设 $f (x) = 4^{x} - m \cdot 2^{x} + | \vec{P A} | + | \vec{P B} | + | \vec{P C} |$ ，若当 $x \in [0, 1]$ 时，不等式 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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13、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $△ A B C$ 为等边三角形， $G$ 为 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的重心， $\vec{B P} = \frac{1}{2} \vec{P A_{1}}$ ，若 $∠ B A A_{1} = ∠ C A A_{1} = \frac{π}{3}, A B = A A_{1} = 1$ ，则（）

A、 $\vec{P G} = - \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C} + \frac{2}{3} \vec{A A_{1}}$ B、 $\vec{A A_{1}} ⊥ \vec{B C}$ C、 $\vec{P G}$ $/ /$ $\vec{B C_{1}}$ D、 $|\vec{P G}| = \frac{\sqrt{5}}{3}$

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14、已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对边，下列说法正确的是（）

A、若 $A = 45^{\circ}$ ， $a = \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 有两解 B、若 $\frac{a}{cos B} = \frac{b}{cos A}$ ，则△ABC为等腰三角形 C、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $\sin A > \cos B$ D、若 $△ A B C$ 的外接圆的圆心为O，且 $2 \vec{A O} = \vec{A B} + \vec{A C}$ ， $|\vec{A O}| = |\vec{A B}|$ ，则向量 $\vec{C A}$ 在向量 $\vec{C B}$ 上的投影向量为 $\frac{3}{4} \vec{C B}$

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15、通常以24小时内降水在平地上积水厚度（单位：mm）来判断降雨程度，其中小雨（ $< 10 mm$ ），中雨（ $10 mm - 25 mm$ ），大雨（ $25 mm - 50 mm$ ），暴雨（ $50 mm - 100 mm$ ）．小明用一个近似圆台的水桶（如图，计量单位 $1 cm = 10 mm$ ）连续接了24小时的雨水，桶中水的高度约为桶高的 $\frac{1}{6}$ ，则当天的降雨等级是（）

A、小雨 B、中雨 C、大雨 D、暴雨

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16、“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑.现从立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑这6个节气中任选2个节气，则这2个节气不在同一个月的概率为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{14}{15}$

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17、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．向量 $\vec{p} = (a + c, b), \vec{q} = (b - a, c - a)$ ．若 $\vec{p} / / \vec{q}$ ，则角C的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2π}{3}$

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18、已知正四面体 $P - A B C$ 的棱长为1，空间中一点 $M$ 满足 $\vec{P M} = x \vec{P A} + y \vec{P B} + z \vec{P C}$ ，其中 $x$ ， $y$ ， $z \in R$ ，且 $x + y + z = 1$ .则 $|\vec{P M}|$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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19、4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.某高校为了了解全体师生阅读时间的分配情况，对全校师生进行抽样问卷调查日平均阅读时间（单位：小时），得到样本数据，并绘制如图所示的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、根据频率分布直方图估算全校师生日平均阅读时间 $\bar{t}$ ；（每组数据用该组的区间中点值作代表）

(3)、将（2）所得到的日平均阅读时间 $\bar{t}$ 保留为整数，并根据频率分布直方图估算师生日平均阅读时间的方差 $σ^{2}$ .

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20、某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号（拨过的号码后面不再重复拨），则拨号不超过三次而接通电话的概率为（）

A、 $\frac{9}{10}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{10}$

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