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相关试卷

1、已知 $F$ 为椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的右焦点，直线 $m x - y + m = 0$ 与椭圆交于点 $A$ ， $B$ ，则 $△ A F B$ 的周长为）

A、4 B、 $2 \sqrt{3}$ C、8 D、 $4 \sqrt{3}$

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2、已知圆 $C_{1} : x^{2} - 2 a x + y^{2} = 0 (a > 0)$ ，直线 $l : x + \sqrt{3} y = 0$ ，圆 $C_{1}$ 上恰有3个点到直线 $l$ 的距离等于1，则圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2} : {(x - 1)}^{2} + {(y - \sqrt{2})}^{2} = 1$ 的位置关系是（）

A、内切 B、相交 C、外切 D、相离

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3、函数 $f (x)$ 的定义域为开区间 $(a, b)$ ，导函数 $f^{'} (x)$ 在 $(a, b)$ 内的图象如图所示，则函数 $f (x)$ 在开区间 $(a, b)$ 内有极小值点（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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4、若直线 $a x + b y = 1$ 与 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 相离，则点 $P (a, b)$ 与圆 $O$ 的位置关系为（）

A、点 $P$ 在圆 $O$ 内 B、点 $P$ 在圆 $O$ 上 C、点 $P$ 在圆 $O$ 外 D、无法确定

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5、若点 $A (- 1, - 2), B (4, 8)$ ，已知 $A B$ 的方向向量为 $(1, k)$ ，则实数 $k$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、2 D、 $- 2$

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6、若 $\vec{A B} = (- 1, 2, 3)$ ， $\vec{B C} = (1, - 1, - 5)$ ，则 $|\vec{A C}| =$ （）

A、10 B、3 C、 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{5}$

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7、已知 $f (x)$ ， $g (x)$ 是定义域为R的函数，且 $f (x)$ 是奇函数， $g (x)$ 是偶函数，满足 $f (x) + g (x) = a x^{2} + x + 2$ ，若对任意的 $1 < x_{1} < x_{2} < 2$ ，都有 $\frac{g (x_{1}) - g (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > - 3$ 成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $[0, + \infty)$ B、 $[- \frac{3}{4}, 0]$ C、 $(- \frac{3}{4}, + \infty)$ D、 $[- \frac{3}{4}, + \infty)$

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8、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，过右焦点F的直线l交C于A，B两点，过点F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为AB，DE的中点．当 $l ⊥ x$ 轴时， $|A B| = \sqrt{2}$ ，椭圆C的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、证明：直线MN过定点，并求定点坐标；

(3)、设G为直线AE与直线BD的交点，求△GMN面积的最小值．

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9、已知函数 $f (x) = a e^{2 x} + (a - 2) e^{x} - x$
（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（2）若 $f (x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围.

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10、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $D$ 是 $C C_{1}$ 的中点， $A C = B C, A A_{1} = A B$ ．

(1)、证明： $A B_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ ；

(2)、若 $∠ A C B = \frac{2}{3} π, A B = 2 \sqrt{3}$ ，求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A_{1} B D$ 的所成角的余弦值．

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11、设数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{3} + a_{7} = 18, S_{10} = 100$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{2 n^{2}}{a_{n} a_{n + 1}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < \frac{n}{2} + \frac{1}{4}$ ．

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12、浙江省教育厅等五部门印发《浙江省山区26县和海岛县“县中崛起”行动计划》，从招生管理、县中对口帮扶、教科研指导等九方面提升共同富裕背景下教育公共服务的质量和水平.某校为增强实力，大力招揽名师、建设校园设施，近5年该校招生人数的数据如下表：
年份序号 $x$
1
2
3
4
5
招生人数 $y$ /千人
1.3
1.7
2.2
2.8
3.5

(1)、由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，请用相关系数加以证明；

(2)、求 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数．
参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 40, \sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 3.06, \sqrt{30.6} \approx 5.53$ ．
参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，
回归方程 $\hat{y} = b x + a$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

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13、已知 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 60^{°}, A B = 4 \sqrt{2}, Q$ 是边 $B C$ 上的动点．若 $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A = 2$ ，且 $P Q$ 与面 $A B C$ 所成角的正弦值的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为．

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} + n + 1$ ，当 $\frac{S_{n} + 24}{a_{n}}$ 取最小值时， $n =$ ．

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15、圆心为 $C (3, - 5)$ ，且与直线 $x - 7 y + 2 = 0$ 相切的圆的方程为

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16、已知函数 $f (x)$ 定义域均为 $R$ ，且 $f (x + 2) + f (- x + 4) = - 2, f (\frac{1}{2} x + 2)$ 为偶函数，若 $g (x) = f^{'} (x)$ ，则下面一定成立的是（）

A、 $f (- 1) = - 1$ B、 $g (1) = 0$ C、 $\sum_{k = 1}^{2024} g (k) = - 2024$ D、 $\sum_{k = 1}^{2024} f (k) = - 2024$

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17、已知直线 $l$ 过抛物线 $C : y^{2} = - 2 p x (p > 0)$ 的焦点，且与该抛物线交于 $M$ ， $N$ 两点．若线段 $M N$ 的长是20， $M N$ 中点到 $y$ 轴的距离是8， $O$ 为坐标原点，则（）

A、抛物线 $C$ 的焦点是 $(- 2, 0)$ B、抛物线 $C$ 的离心率为 $e = 1$ C、直线 $l$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$ D、 $△ M O N$ 的面积为 $4 \sqrt{10}$

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18、下列命题中，正确的是（）

A、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ，若 $P (X \leq 0) = 0.3$ ，则 $P (X < 4) = 0.7$ B、已知随机变量 $X$ 的分布列为 $P (X = i) = \frac{a}{i (i + 1)} (i = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, 100)$ ，则 $a = \frac{99}{100}$ C、用 $X$ 表示 $n$ 次独立重复试验中事件 $A$ 发生的次数， $p$ 为每次试验中事件 $A$ 发生的概率，若 $E (X) = 150, D (X) = 50$ ，则 $p = \frac{2}{3}$ D、已知随机变量 $X$ 的分布列为 $P (X = i) = \frac{a}{i (i + 1)} (i = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, 100)$ ，则 $a = \frac{101}{100}$

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19、函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 1, x \leq 1 \\ \ln x, x > 1 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = m x - \frac{3}{4}$ 恰有三个不相等的实数根，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{\sqrt[4]{e}})$ B、 $(0, \frac{3}{4})$ C、 $(\frac{3}{4}, \frac{1}{\sqrt[4]{e}})$ D、 $(0, \frac{1}{\sqrt[4]{e}}]$

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20、已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，且满足 $f^{'} (x) + 2 f (x) < 0, f (0) = 1$ ，则（）

A、 $f (- 1) < e^{2}$ B、 $f (1) > \frac{1}{e^{2}}$ C、 $f (\frac{1}{2}) > \frac{1}{e}$ D、 $e f (1) < f (\frac{1}{2})$

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年份序号 $x$	1	2	3	4	5
招生人数 $y$ /千人	1.3	1.7	2.2	2.8	3.5