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相关试卷

1、计算下列各式的值：

(1)、 $\log_{3} 2 + \log_{3} 5 - 2 \log_{3} \sqrt{10} + 2^{\log_{2} 3}$ ；

(2)、 $\frac{1 - 64^{- x}}{1 + 8^{- x}} + (1 - 2^{x}) (1 + 2^{x} + 4^{x}) + {(8^{\frac{x}{2}} + 8^{- \frac{x}{2}})}^{2}$ ．

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2、 $\sin \frac{π}{3} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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3、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $P$ 是线段 $B C_{1}$ 上的动点，则下列结论正确的是（）

A、三棱锥 $D_{1} - P A_{1} A$ 的体积为定值 B、 $A P + P C$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ C、 $A_{1} P //$ 平面 $A C D_{1}$ D、直线 $A_{1} P$ 与 $A C$ 所成的角的取值范围是 $[0, \frac{π}{3}]$

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4、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .若 $b = 6$ ， $a = 2 c$ ， $B = \frac{π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $6 \sqrt{3}$ B、 $12 \sqrt{3}$ C、6 D、12

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5、设 $a$ 为正实数，函数 $f (x) = a e^{a x} - \sqrt{x}$ 存在零点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，且存在极值点 $x_{0}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求 $a$ 的取值范围．

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $2 a_{n + 1} = 3 a_{n} + 1$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、证明： $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n}} < \frac{5}{2}$ .

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7、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且点 $M (1, \frac{3}{2})$ 在椭圆上.

(1)、求椭圆的方程；

(2)、过椭圆右焦点 $F_{2}$ 作两条互相垂直的弦AB与CD，求 $|A B| + |C D|$ 的取值范围.

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8、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{2}, A B = A C = A A_{1} = 3$ .

(1)、证明： $A_{1} B ⊥ B_{1} C$ ；

(2)、若点 $P$ 在棱 $C C_{1}$ 上， $C_{1} P : P C = 2 : 1$ ，求平面 $A B C_{1}$ 与平面 $A_{1} B P$ 夹角的余弦值.

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9、已知圆 $C$ 的圆心在直线 $x - y - 1 = 0$ 上，且与直线 $2 x + 3 y - 10 = 0$ 相切于点 $P (2, 2)$ .

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、若过点 $Q (- 3, - 2)$ 的直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦 $A B$ 的长为4，求直线 $l$ 的方程.

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10、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - m x + 4$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 的极小值为 $- \frac{4}{3}$ ，求 $m$ 的值．

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11、设 $φ (a, b) = \sqrt{{(a - b)}^{2} + {(\ln a - \frac{b^{2}}{4})}^{2}} + \frac{b^{2}}{4} (a > 0, b \in R)$ ，当a，b变化时， $φ (a, b)$ 的最小值为.

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12、已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在 $x$ 轴，左，右焦点分别是 $F_{1}, F_{2}$ ，且它们在第一象限的交点为 $P$ ， $△ P F_{1} F_{2}$ 是以 $P F_{1}$ 为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ ，则 $\frac{1}{e_{1}} - \frac{1}{e_{2}}$ .

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13、等比数列 $\{a_{n}\}$ 的 $n$ 前项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{S_{5}}{S_{10}} = \frac{1}{33}$ ，则 $\frac{a_{10}}{a_{9} + a_{8}} =$ .

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14、圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 2 x + 10 y - 24 = 0$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y - 8 = 0$ 的公共弦所在直线的方程为．

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15、设定义在R上的可导函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 满足 $f^{'} (x) = g (x)$ ， $g^{'} (x) = f (x)$ ， $f (x)$ 为奇函数，且 $g (0) = 1$ . 则下列选项中正确的有（）

A、 $g (x)$ 为偶函数 B、 $f (x)$ 为周期函数 C、 $g (x)$ 存在最大值且最大值为 $1$ D、 $g (x + y) = g (x) g (y) + f (x) f (y)$

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16、已知 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 是抛物线 $C : y^{2} = 8 x$ 上异于坐标原点 $O$ 的两个动点，且以 $A B$ 为直径的圆过点 $O$ ，则（）

A、直线 $A B$ 的斜率为 $\frac{8}{y_{1} + y_{2}}$ B、直线 $A B$ 过定点 $(8, 0)$ C、 $|A B|$ 存在最小值且最小值为 $16$ D、 $△ A B O$ 的外心轨迹为抛物线

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} + 2 a_{n} = A n^{2} + B n + C (A^{2} + B^{2} \neq 0)$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $A = 0$ 时，存在 $B$ ， $C \in R$ ，使得数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列 B、当 $A = 0$ 时，存在 $B$ ， $C \in R$ ，使得数列 $\{a_{n} - B\}$ 是等比数列 C、当 $A \neq 0$ 时，存在 $B$ ， $C \in R$ ，使得数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列 D、当 $A \neq 0$ 时，存在 $B$ ， $C \in R$ ，使得数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列

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18、下列四个命题中正确的是（）

A、已知 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一组基底，若 $\vec{m} = \vec{a} + \vec{c}$ ，则 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{m}\}$ 也是空间的一组基底 B、 $\vec{n}$ 是平面 $α$ 的法向量， $\vec{a}$ 是直线 $l$ 的方向向量，若 $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$ ，则 $l / / α$ C、已知向量 $\vec{a} = (9, 4, - 4)$ ， $\vec{b} = (1, 2, 2)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $(\frac{1}{2}, 1, 1)$ D、 $O$ 为空间中任意一点，若 $\vec{O P} = x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C}$ 且 $x + y + z = 1$ ，则 $P, A, B, C$ 四点共面

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19、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，若双曲线不存在以点 $(2 a, a)$ 为中点的弦，则双曲线离心率 $e$ 的取值范围是（）

A、 $(1, \frac{2 \sqrt{3}}{3}]$ B、 $[\frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}]$ C、 $[\frac{2 \sqrt{3}}{3}, + \infty)$ D、 $[\frac{\sqrt{5}}{2}, + \infty)$

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20、给定函数 $f (x)$ ，若数列 $\{x_{n}\}$ 满足 $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f (x_{n})}{f^{'} (x_{n})}$ ，则称数列 $\{x_{n}\}$ 为函数 $f (x)$ 的牛顿数列.已知数列 $\{x_{n}\}$ 为函数 $f (x) = x^{2} - x - 2$ 的牛顿数列， $a_{n} = \ln (\frac{x_{n} - 2}{x_{n} + 1})$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $x_{n} > 2 (n \in N_{+})$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ . 则 $S_{2024} =$ （）

A、 $2^{2024} - 1$ B、 $2^{2023} - 1$ C、 ${(\frac{1}{2})}^{2024} - 1$ D、 ${(\frac{1}{2})}^{2023} - 1$

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