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相关试卷

1、甲､乙两名射击运动员进行射击比赛，每人要射击十次，他们前九次射击击中的环数如下表所示：
甲击中的环数
$9$
$7$
$10$
$8$
$10$
$8$
$9$
$10$
$10$
乙击中的环数
$10$
$10$
$8$
$9$
$9$
$9$
$6$
$10$
$9$

(1)、求甲前九次射击击中的环数的平均数 $\bar{x}$ 和方差 $s^{2}$ ；

(2)、用甲､乙前九次射击击中环数的频率分布估计各自第十次射击击中环数的概率分布，且甲､乙每次射击相互独立，求甲､乙两人十次射击击中的环数之和相等的概率.

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2、记 $min \{a, b, c\}$ 为 $a$ ， $b$ ， $c$ 中最小的数.已知 $0 < x < y < z < 1$ ，且 $y \leq 2 x$ ，则 $min \{y - x, z - y, 1 - z\}$ 的最大值为.

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3、袋子中装有6个质地､大小均相同的球，其中有3个红球､2个绿球和1个蓝球，若从袋子中随机一次取出2个球，则取出的2个球颜色不同的概率为.

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4、已知非零向量 $\vec{a} = (x, - x)$ ， $\vec{b} = (3, x)$ ，若 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则实数 $x =$ .

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5、已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是正三角形， $D$ 是棱 $A B$ 的中点， $A B = A A_{1} = 2$ ， $A_{1} D = \sqrt{5}$ ， $A_{1} C = 2 \sqrt{2}$ ， $H$ 是棱 $C C_{1}$ 上的动点， $E$ ， $F$ 是棱 $A_{1} B_{1}$ 上的动点，且 $E F = 1$ ，则（）

A、 $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ B、 $A_{1} D ⊥ C D$ C、该三棱柱的外接球的体积为 $\frac{32 π}{3}$ D、三棱锥 $D - E F H$ 的体积恒为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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6、已知函数 $f (x) = sin x cos (x + \frac{π}{3})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最大值与最小值之差为1 B、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{6})$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6}, - \frac{\sqrt{3}}{4})$ 中心对称 D、若将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到 $g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 是偶函数

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7、已知复数 $z$ 满足 $z i^{7} + 2 \bar{z} = 3 + 3 i$ ，则（）

A、 $z = 3 + 3 i$ B、 $|z| = 3 \sqrt{2}$ C、 $z$ 在复平面内对应的点位于第四象限 D、 $z^{2}$ 是纯虚数

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8、若当 $x \in [0, 2 π]$ 时，函数 $y = sin \frac{x}{2}$ 与 $y = 2 sin (ω x - \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的图象有且仅有4个交点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{9}{8}, \frac{13}{8})$ B、 $(\frac{9}{8}, \frac{13}{8}]$ C、 $[\frac{13}{8}, \frac{17}{8})$ D、 $(\frac{13}{8}, \frac{17}{8})$

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9、已知 $a = {(\frac{1}{3})}^{\frac{2}{3}} + 2 {log}_{5} 2$ ， $b = {log}_{2} 3$ ， $c = \frac{{(\sqrt{3})}^{3}}{\sqrt{2} \times \sqrt{6}}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $b > a > c$ D、 $c > b > a$

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10、已知在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 3$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $- 3 \sqrt{15} cos B$ ，则 $A C =$ （）

A、 $2$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{15}$ D、 $4$

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11、在 $△ A B C$ 中， $\vec{D C} = 3 \vec{B D}$ ， $P$ 为线段 $A D$ 的中点，若 $\vec{B P} = λ \vec{B A} + μ \vec{B C}$ ，则 $\frac{1}{λ} + \frac{1}{μ}$ 的值为（）

A、 $6$ B、 $8$ C、 $10$ D、 $12$

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} {log}_{a} x, x \geq 1 \\ - x^{2} + a x - 3, x < 1 \end{array}$ ，则“ $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增”的充要条件是（）

A、 $2 \leq a \leq 3$ B、 $2 \leq a \leq 4$ C、 $1 < a \leq 4$ D、 $a \geq 2$

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13、已知圆柱的轴截面为正方形，表面积为 $6 π$ ，则其体积为（）

A、 $2 π$ B、 $\frac{3 π}{2}$ C、 $3 π$ D、 $4 π$

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14、已知集合 $A = \{x |\log_{3} (1 - x) < 1\}$ ， $B = [- 1, 2)$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $[- 1, 1)$ B、 $(- 2, + \infty)$ C、 $[- 1, 2)$ D、 $(- 2, 2)$

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15、样本数据 $1, 3, 5, 1, 9, 5, 6, 11, 8$ 的中位数是（）

A、5 B、5.5 C、6 D、7

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16、材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数（包括重复因式）就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理：
代数基本定理：任何一元 $n (n \in N^{*})$ 次复系数多项式方程 $f (x) = 0$ 至少有一个复数根.
材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元 $n (n \in N^{*})$ 次复系数多项式 $f (x)$ 在复数集中可以分解为 $n$ 个一次因式的乘积.进而，一元 $n$ 次多项式方程有 $n$ 个复数根（重根按重数计）.
下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系.
设实系数一元二次方程 $a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0 (a_{2} \neq 0)$
在复数集 $C$ 内的根为 $x_{1} ､ x_{2}$ ，容易得到 $\{\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} = - \frac{a_{1}}{a_{2}} \\ x_{1} x_{2} = \frac{a_{0}}{a_{2}} \end{array}$
设实系数一一元三次方程 $a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0 (a_{3} \neq 0)$ ①
在复数集 $C$ 内的根为 $x_{1} ､ x_{2} ､ x_{3}$ ，可以得到，方程①可变形为 $a_{3} (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3}) = 0$
展开得： $a_{3} x^{3} - a_{3} (x_{1} + x_{2} + x_{3}) x^{2} + a_{3} (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3}) x - a_{3} x_{1} x_{2} x_{3} = 0$ ②
比较①②可以得到根与系数之间的关系：
$\{\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{a_{2}}{a_{3}} \\ x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = \frac{a_{1}}{a_{3}} \\ x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{a_{0}}{a_{3}} \end{array}$
阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题：

(1)、对于方程 $3 x^{3} + 2 x^{2} - x + 5 = 0$ 在复数集 $C$ 内的根为 $x_{1} ､ x_{2} ､ x_{3}$ ，求 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}$ 的值；

(2)、如果实系数一元四次方程 $a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0 (a_{4} \neq 0)$ 在复数集 $C$ 内的根为 $x_{1} ､ x_{2} ､ x_{3} ､ x_{4}$ ，试找到根与系数之间的关系；

(3)、已知函数 $g (x) = x^{3} + b x + 2$ ，对于方程 $g (x) = k$ 在复数集 $C$ 内的根为 $x_{1} ､ x_{2} ､ x_{3}$ ，当 $k \in [0, 1]$ 时，求 $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3}$ 的最大值.

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17、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $P D ⊥$ 平面 $A B C D, E$ 为 $P D$ 的中点.

(1)、设平面 $A B E$ 与直线 $P C$ 相交于点 $F$ ，求证： $E F$ $∥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $A B = 2 \sqrt{3}, ∠ D A B = 60^{\circ}, P D = 2 \sqrt{6}$ ，求直线 $B E$ 与平面 $P A D$ 所成角的大小.

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18、根据央视网消息显示，贵州省文旅厅网站5月1日公布《2023年“五一”假期前三天全省文化旅游情况》，其中显示，假期前三天，根据抽样调查结果，全省接待游客2038.26万人次（用2038万计算），较2022年假日同期增长 $41.9 %$ （用 $42 %$ 计算），恢复到2019年假日同期水平的 $104.6 %$ （用 $105 %$ 计算）.某大学旅游管理专业的学生陈枫为了了解“ $M$ 红色旅游景区”的游客对景区历史文化背景的知晓情况，随机抽选了若干名游客进行问卷调查，根据问卷得分，统计如下：
得分
$[80, 84)$
$[84, 88)$
$[88, 92)$
$[92, 96)$
$[96, 100]$
频率
0.10
0.20
0.40
0.20
0.10

(1)、求2022年和2019年“五一”假期前三天全省接待游客人次（单位：万），精确到0.01.

(2)、根据表格估计“ $M$ 红色旅游景区”的游客对景区历史文化背景知晓情况问卷得分的平均水平（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

(3)、陈枫为了答谢游客的参与，在问卷得分为 $[92, 96) ､ [96, 100]$ 的游客中按 $1 : 2$ 的比例抽选6人作为景区“幸运游客”，景区在“幸运游客”中随机选取两人评为“五星游客”，求得分为 $[92, 96)$ ､ $[96, 100]$ 的游客中各有一人评为“五星游客”的概率.

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19、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b = \sqrt{2}, c = \sqrt{5}, cos C = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求 $sin B$ 的值；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积.

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20、在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $A B$ 上，且 $A D = \frac{1}{3} A B$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\vec{C D}$ ；

(2)、若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 0$ 且 $A B = 3, A C = 2$ ，求 $|\vec{C D}|$ .

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甲击中的环数	$9$	$7$	$10$	$8$	$10$	$8$	$9$	$10$	$10$
乙击中的环数	$10$	$10$	$8$	$9$	$9$	$9$	$6$	$10$	$9$

得分	$[80, 84)$	$[84, 88)$	$[88, 92)$	$[92, 96)$	$[96, 100]$
频率	0.10	0.20	0.40	0.20	0.10