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相关试卷

1、设 $F_{1}, F_{2}$ 分别为椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点， $P$ 为椭圆上一点，直线 $F_{1} P$ 与以 $F_{2}$ 为圆心、 $O F_{2}$ 为半径的圆切于点 $Q (O$ 为坐标原点 $)$ ，且 $\vec{F_{1} Q} = 3 \vec{Q P}$ ，则椭圆 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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2、现某酒店要从3名男厨师和2名女厨师中选出两人，分别做调料师和营养师，则至少有1名女厨师被选中的不同选法有（）

A、14种 B、18种 C、12种 D、7种

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3、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点F的坐标为 $(2, 0)$ ，以线段FP为直径的圆与圆 $O : x^{2} + y^{2} = 3$ 相切，则动点P的轨迹方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{3}}{3} = 1$

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4、石墨烯是一种由单层碳原子构成的具有平面网状结构的物质，其结构如图所示，其中每个六边形的顶点是一个碳原子的所处位置.现令六边形 $A$ 为中心六边形，其外围紧邻的每个六边形构成“第一圆环”，“第一圆环”外围紧邻的六边形构成“第二圆环”，以此类推.则“第七圆环”上的碳原子数为（）

A、42 B、120 C、168 D、210

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5、已知向量 $\vec{a} = (m, 1), \vec{b} = (1, 2)$ ，且 $| \vec{a} + \vec{b} |^{2} = | \vec{a} |^{2} + | \vec{b} |^{2}$ ，则 $m$ 的值为（）

A、1 B、2 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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6、已知复数 $z$ 满足 $(z + 1) i = z$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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7、能正确表示图中阴影部分的是（）

A、 $∁_{(A \cup B)} (A \cap B)$ B、 $∁_{U} A \cap B$ C、 $∁_{U} B \cap A$ D、 $∁_{(A \cap B)} (A \cup B)$

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8、若 $y = f (x)$ 为 $D = [a, b]$ 上的非负图像连续的函数，点 $a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n - 1} < x_{n} = b$ 将区间 $D$ 划分为 $n$ 个长度为 $Δ x_{i}$ 的小区间 $D_{i} = [x_{i - 1}, x_{i}] (i = 1, 2, \dots, n)$ ．记 $λ = max \{Δ x_{i}\}$ ，若无穷和的极限 $\lim_{λ \to 0} (\sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ x_{i})$ 存在 $(\forall ξ_{i} \in D_{i})$ ，并称其为区域 $S$ 的精确面积，记为 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ ．

(1)、若有导函数 ${[F (x)]}^{'} = f (x)$ ，则 $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ ．求由直线 $x = 1, x = 100, y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ 以及轴所围成封闭图形面积；

(2)、若区间 $D$ 被等分为 $n$ 个小区间，请推证： $\lim_{n \to \infty} [\sum_{i = 1}^{n} f (a + \frac{b - a}{n} i) \cdot \frac{b - a}{n}] = \int_{a}^{b} f (x) d x$ ．并由此计算无穷和极限 $\lim_{n \to \infty} \frac{1^{2024} + 2^{2024} + \dots + n^{2024}}{n^{2025}}$ 的值；

(3)、求有限项和式 $1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{100}}$ 的整数部分．

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9、给定数列 ${A_{n}}$ ，若对任意m， $n \in N^{*}$ 且 $m \neq n$ ， $A_{m} + A_{n}$ 是 ${A_{n}}$ 中的项，则称 ${A_{n}}$ 为“H数列”．设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n} .$

(1)、若 $S_{n} = n^{2} + n$ ，试判断数列 ${a_{n}}$ 是否为“H数列”，并说明理由；

(2)、设 ${a_{n}}$ 既是等差数列又是“H数列”，且 $a_{1} = 6$ ， $a_{2} \in N^{*}$ ， $a_{2} > 6$ ，求公差d的所有可能值；

(3)、设 ${a_{n}}$ 是等差数列，且对任意 $n \in N^{*}$ ， $S_{n}$ 是 ${a_{n}}$ 中的项，求证： ${a_{n}}$ 是“H数列”．

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10、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，焦点为 $F_{1} (2, 0)$ ， $F_{2} (- 2, 0)$ ，椭圆上有一点 $P (1, \frac{\sqrt{14}}{2})$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、过点 $F_{1}$ 的直线交椭圆 $E$ 于 $A$ ， $B$ 两点，过 $B$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于另一个点 $C$ ，求证直线 $A C$ 过定点.

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11、如图所示，斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的各棱长均为 $2$ ，侧棱 $B B_{1}$ 与底面 $A B C$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ ，且侧面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ．

(1)、证明：点 $B_{1}$ 在平面 $A B C$ 上的射影 $O$ 为 $A B$ 的中点；

(2)、求二面角 $C - A B_{1} - B$ 的正切值．

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12、农民专业合作社是在农村家庭承包经营的基础上，同类农产品的生产经营者或同类农业生产经营服务的提供者､利用者､自愿联合､民主管理的互助性经济组织，国家给予农民专业合作社在生产､经营､销售等方面全方位的优惠政策.某地大型农民专业合作社不断探索优化生产､经营､销售等方面的科学方案，引入人工智能管理系统，合作社的市场营销研究人员调研该合作社的10个主体项目，统计分析人工智能管理的实际经济收益 $x$ （单位：万元），与市场预测的经济收益 $y$ （单位：万元）的相关数据如下表：（注：10个主体项目号分别记为 $i, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$ ）
项目号 $i$
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
实际收益 $x_{i}$
5.38
7.99
6.37
6.71
7.53
5.53
4.18
4.04
6.02
4.23
预测收益 $y_{i}$
5.43
8.07
6.57
6.14
7.95
5.56
4.27
4.15
6.04
4.49
$|x_{i} - y_{i}|$
0.05
0.08
0.2
0.57
0.42
0.03
0.09
0.11
0.02
0.26
并计算得 $\sum_{i = 1}^{10} x_{i}^{2} = 353.6, \sum_{i = 1}^{10} y_{i}^{2} = 361.7, \sum_{i = 1}^{10} x_{i} y_{i} = 357.3, {\bar{x}}^{2} \approx 33.62, {\bar{y}}^{2} \approx 34.42, \bar{x} \bar{y} \approx 34.02$

(1)、求该合作预测收益 $y$ 与实际收益 $x$ 的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有较强的线性相关关系；

(2)、规定：数组 $(x_{i}, y_{i})$ 满足 $|x_{i} - y_{i}| < 0.1$ 为“ $I$ 类营销误差”；满足 $0.1 \leq |x_{i} - y_{i}| < 0.3$ 为“ $II$ 类营销误差”；满足 $|x_{i} - y_{t}| \geq 0.3$ 为“ $III$ 类营销误差”.为进一步研究，该合作社的市场营销研究人员从“ $I$ 类营销误差”，“ $II$ 类营销误差”中随机抽取3组数据与“ $III$ 类营销误差”数据进行对比，记抽到“ $I$ 类营销误差”的数据的组数为随机变量 $X$ .求 $X$ 的分布列与数学期望.
附：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sqrt{(\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}) \times (\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2} - n {\bar{y}}^{2})}}, \sqrt{304.5} \approx 17.4.$ .

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13、古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值 $λ$ $(λ > 0, λ \neq 1)$ 的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (- 4, 1)$ ， $B (- 4, 4)$ ，若点 $P$ 是满足 $\frac{| P A |}{| P B |} = \frac{1}{2}$ 的阿氏圆上的任意一点，点 $Q$ 为抛物线 $C : y^{2} = 16 x$ 上的动点， $Q$ 在直线 $x = - 4$ 上的射影为 $R$ ，则 $| P B | + 2 | P Q | + 2 | Q R |$ 的最小值为.

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14、若方程 $\cos^{2} x - \sin x + a = 0$ 在 $(0, \frac{π}{2}]$ 内有解，则a的取值范围是．

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15、二项式 ${(x - \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中含 $x^{2}$ 项的系数是．

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16、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域为 $R$ ，若 $f (x)$ 为奇函数， $f (2) = - f (1) \neq 0$ ，且对任意 $x, y \in R$ ， $f (x + y) = f (x) f^{'} (y) + f^{'} (x) f (y)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f^{'} (1) = - 1$ B、 $f (12) = 0$ C、 $\sum_{k = 1}^{2024} f (k) = 0$ D、 $\sum_{k = 1}^{2024} f^{'} (k) = - 1$

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17、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P，E，F分别为棱 $A A_{1}, C C_{1}, B C$ 的中点， $O$ 为侧面正方形 $A A_{1} B_{1} B$ 的中心，则下列结论正确的是（）

A、直线 $A C //$ 平面 $P E F$ B、直线 $P F$ 与平面 $P O E$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、三棱锥 $O - P E F$ 的体积为 $\frac{2}{3}$ D、三棱锥 $P - B C E$ 的外接球表面积为 $9 π$

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18、在某次数学练习中，高三班的男生数学平均分为120，方差为2，女生数学平均分为112，方差为1，已知该班级男女生人数分别为25、15，则下列说法正确的有（）

A、该班级此次练习数学成绩的均分为118 B、该班级此次练习数学成绩的方差为16.625 C、利用分层抽样的方法从该班级抽取8人，则应抽取5名男生 D、从该班级随机选择2人参加某项活动，则至少有1名女生的概率为 $\frac{24}{39}$

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19、若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A B$ 是边长为1的等边三角形，底面 $A B C D$ 为矩形，且平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ．若四棱锥 $P - A B C D$ 存在一个内切球，设球的体积为 $V_{1}$ ，该四棱锥的体积为 $V_{2}$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} π}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3} π}{12}$ C、 $\frac{\sqrt{3} π}{18}$ D、 $\frac{\sqrt{3} π}{54}$

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20、已知函数 $f (x) ， g (x)$ 的定义域均为 $R$ ， $f (x + 1)$ 是奇函数，且 $f (1 - x) + g (x) = 2 ， f (x) + g (x - 3) = 2$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $g (x)$ 为奇函数 C、 $\sum_{k = 1}^{20} f (k) = 40$ D、 $\sum_{k = 1}^{20} g (k) = 40$

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项目号 $i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
实际收益 $x_{i}$	5.38	7.99	6.37	6.71	7.53	5.53	4.18	4.04	6.02	4.23
预测收益 $y_{i}$	5.43	8.07	6.57	6.14	7.95	5.56	4.27	4.15	6.04	4.49
$\|x_{i} - y_{i}\|$	0.05	0.08	0.2	0.57	0.42	0.03	0.09	0.11	0.02	0.26