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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $c sin C + 3 b sin A cos C = b sin B$ ，则 $tan A$ 的最大值是（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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2、八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形 $A B C D E F G H$ ，其中 $|\vec{O A}| = 1$ .给出下列结论，其中正确的结论为（）

A、 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O H}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ B、 $\vec{O D} + \vec{O F} = \vec{O E}$ C、 $|\vec{O A} - \vec{O C}| = \frac{1}{2} |\vec{D H}|$ D、 $\vec{O A}$ 在 $\vec{O D}$ 上的投影向量为 $- \frac{\sqrt{2}}{2} \vec{e}$ （其中 $\vec{e}$ 为与 $\vec{O D}$ 同向的单位向量）

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3、我们定义一种新函数：形如 $y = |a x^{2} + b x + c|$ （ $a \neq 0$ ， $b^{2} - 4 a c > 0$ ）的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数 $y = |x^{2} - 2 x - 3|$ 的图象，如图所示，下列结论错误的是（）

A、图象具有对称性，对称轴是直线 $x = 1$ B、当 $- 1 \leq x \leq 1$ 或 $x \geq 3$ 时，函数值y随x值的增大而增大 C、当 $x = - 1$ 或 $x = 3$ 时，函数最小值是0 D、当 $x = 1$ 时，函数的最大值是4

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4、设 $a$ 、 $b$ 是两条不同的直线， $α$ 、 $β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $a / / b$ ， $a / / α$ ，则 $b / / α$ B、若 $a ⊥ b$ ， $a ⊥ α$ ， $b ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $α ⊥ β$ ， $a ⊥ β$ ，则 $a / / α$ D、若 $α ⊥ β$ ， $a / / α$ ，则 $a ⊥ β$

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5、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，则 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{1}{4} x$ B、 $y = \pm \frac{1}{3} x$ C、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ D、 $y = \pm 2 x$

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6、已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和， $a_{3} + a_{5} + a_{7} + a_{9} = 12$ ，则 $S_{11} =$ （）

A、22 B、33 C、40 D、44

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7、已知函数 $f (x) = \frac{\ln x + k}{e^{x}}$ （ $k$ 为常数， $e = 2.71828 \dots$ 是自然对数的底数），曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与 $x$ 轴平行.
（Ⅰ）求 $k$ 的值；
（Ⅱ）求 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅲ）设 $g (x) = x f' (x)$ ，其中 $f' (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数.证明：对任意 $x > 0, g (x) < 1 + e^{- 2}$ .

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8、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = 1$ ， $A C = \sqrt{2}$ ， E，F为线段 $B B_{1}$ ， $A C_{1}$ 的中点．

(1)、证明：EF⊥平面 $A_{1} A C C_{1}$ ；

(2)、若直线EA与平面ABC所成的角大小为 $\frac{π}{6}$ ，求点C到平面 $A E C_{1}$ 的距离．

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9、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， P是C上一点，且 $P F_{2} ⊥ F_{1} F_{2}$ ， H是线段 $P F_{1}$ 上靠近 $F_{1}$ 的三等分点，且 $\vec{O H} \cdot \vec{P F_{1}} = 0$ ，则C的离心率为.

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10、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，过F作两条互相垂直的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{1}$ 与C相交于P，Q， $l_{2}$ 与C相交于M，N， $P Q$ 的中点为G， $M N$ 的中点为H，则（）

A、 $\frac{1}{| P F |} + \frac{1}{| Q F |} = 1$ B、 $\frac{1}{| P Q |} + \frac{1}{| M N |} = \frac{1}{2}$ C、 $| P Q | + | M N |$ 的最大值为16 D、当 $| G H |$ 最小时，直线 $G H$ 的斜率不存在

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11、直线 $l_{1} : a x - y - b = 0, l_{2} : b x - y + a = 0 (a b \neq 0, a \neq b)$ ，下列图象中正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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12、已知 $f (x) = x^{3} + 3 a x^{2} + b x + a^{2}$ 在 $x = - 1$ 处有极值 $0$ ，则 $a + b =$ （）

A、11或4 B、-4或-11 C、11 D、4

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13、定义1 进位制：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制：满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制；等等．也就是说，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，一般地，若 $k$ 是一个大于1的整数，那么以 $k$ 为基数的 $k$ 进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式 $a_{n} a_{n - 1} \dots a_{1} a_{0 (k)} (a_{n} ， a_{n - 1}, \dots, a_{1}, a_{0} \in N ， 0 < a_{n} < k ， 0 \leq a_{n - 1}, \dots, a_{1}, a_{0} < k)$ $k$ 进制的数也可以表示成不同位上数字符号与基数的幂的乘积之和的形式．如 $7342_{(8)} = 7 \times 8^{3} + 3 \times 8^{2} + 4 \times 8^{1} + 2 \times 8^{0}$ ．
定义2 三角形数：形如 $1 + 2 + 3 + \dots + m$ ，即 $\frac{1}{2} m (m + 1) (m \in N^{*})$ 的数叫做三角形数．

(1)、若 $\underset{9 个 a}{\underset{⏟}{a a \cdot \cdot \cdot a_{(9)}}}$ 是三角形数，试写出一个满足条件的 $a$ 的值；

(2)、若 $11111_{(k)}$ 是完全平方数，求 $k$ 的值；

(3)、已知 $c_{n} = \underset{n 个 1}{\underset{⏟}{11 \dots 1_{(9)}}}$ ，设数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，证明：当 $n > 3$ 时， $S_{n} > \frac{9 n^{2} - 7 n}{2}$ ．

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14、如图，小明同学先把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点A处，另一端固定在画板上点F处，用铅笔尖扣紧绳子（使两段细绳绷直），靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上画出了圆锥曲线C的一部分图象.已知细绳长度为3，经测量，当笔尖运动到点P处，此时， $∠ F A P = 30 °$ ， $∠ A F P = 90 °$ .设直尺边沿所在直线为a，以过F垂直于直尺的直线为x轴，以过F垂直于a的垂线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系.

(1)、求曲线C的方程；

(2)、斜率为k的直线 $l$ 过点 $D (0, - 3)$ ，且与曲线C交于不同的两点M，N，已知k的取值范围为 $(0, 2)$ ，若 $\vec{D M} = λ \vec{D N}$ ，求 $λ$ 的范围.

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15、11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束：当某局比分打成10∶10后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球假设甲发球时甲得分的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙发球时甲得分的概率为 $\frac{1}{2}$ ，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立．

(1)、若每局比赛甲获胜的概率 $p = \frac{2}{3}$ ，求该场比赛甲获胜的概率.

(2)、已知第一局目前比分为10∶10，求
（ⅰ）再打两个球甲新增的得分 $X$ 的分布列和均值；
（ⅱ）第一局比赛甲获胜的概率 $p_{0}$ ；

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16、已知函数 $f (x) = ln x - a x, g (x) = \frac{2}{a x}, a \neq 0$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) \leq g (x)$ 恒成立，求 $a$ 的最小值．

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17、如图，四面体 $A B C D$ 中， $E$ 是 $B C$ 的中点， $C A = C B = C D = B D = 2$ ， $A B = A D = \sqrt{2}$

(1)、求异面直线AB与CD所成角余弦值的大小；

(2)、求点E到平面ACD的距离.

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18、椭圆 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右顶点分别为 $A, B$ ，点 $P$ 在椭圆上第一象限内，记 $∠ P A B = α, ∠ P B A = β$ ，存在圆 $N$ 经过点 $P, A, B$ ，且 $\vec{N A} \cdot \vec{N B} = 0, tan α + tan β = 8$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为.

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19、与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为 $r_{1}$ ， $r_{2}$ ，且 $r_{1} \cdot r_{2} = 1$ ，则它的内切球的体积为.

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20、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R, f (x + y) + 2 x y = f (x) + f (y), f (1) = 2$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (- 2) = - 10$ C、 $y = f (x) + x^{2}$ 是奇函数 D、 $y = f (x) - x^{2}$ 是偶函数

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