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相关试卷

1、科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院自主研发的系留浮空器.2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功升至9 032米高空，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，如图2所示，是该浮空艇的轴截面图，则它的体积约为（）
（参考数据： $9. 5^{2} \approx 90$ ， $9. 5^{3} \approx 857$ ， $315 \times 1 005 \approx 316 600$ ， $π \approx 3 . 14$ ）

A、 $9064 m^{3}$ B、 $9004 m^{3}$ C、 $8944 m^{3}$ D、 $8884 m^{3}$

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2、已知 $α$ 为锐角，且 $tan α + tan (\frac{π}{4} - α) = \frac{5}{3}$ ，则 $\frac{sin 2 α + 1}{cos 2 α} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- 3$ C、 $- 2$ D、 $\frac{1}{3}$

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3、若复数 $(1 + a i) (3 - i)$ （i为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数 $a =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、i

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4、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (- 3, 0)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .过点 $B (\frac{3}{2}, 0)$ 的直线交 $C$ 于 $P, Q$ 两点（异于点 $A$ ）.直线 $A P, A Q$ 分别交直线 $x + 2 y - 9 = 0$ 于 $M, N$ 两点.

(1)、求证：直线 $A P$ 与直线 $A Q$ 的斜率之积为定值；

(2)、求 $△ A M N$ 面积的最小值.

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5、杭州第 $19$ 届亚运会，是继 $1990$ 年北京亚运会、 $2010$ 年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事. $2023$ 年 $9$ 月 $23$ 日，杭州亚运会开幕式隆重举行.某电商平台亚运周边文创产品直播间，主播为当晚 $7$ 点前登录该直播间的前 $N$ 名观众设置了两轮“庆亚运、送吉祥物”的抽奖活动.每轮抽奖都是由系统独立、随机地从这 $N$ 名观众中抽取 $15$ 名幸运观众，抽中者平台会有亚运吉祥物玩偶赠送.而直播时这 $N$ 名观众始终在线，记两次抽奖中被抽中的幸运观众总人数为 $X$ （幸运观众总人数不重复计数，例如若某幸运观众两次都被抽中，但只记为 $1$ 人）.

(1)、已知小杭是这前 $N$ 名观众中的一人，若小杭被抽中的概率为 $\frac{5}{9}$ ，求 $N$ 的值；

(2)、当 $P (X = 20) = f (N)$ 取到最大值时，求 $N$ 的值.

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6、如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 为平行四边形，且 $B D = \frac{1}{2} C D = 1, B D ⊥ C D . D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $D E = \frac{1}{2} B F = \sqrt{3}, D E$ $∥$ $B F$ .点 $H, G$ 分别为线段 $D C, E F$ 上的动点，满足 $D H = E G = λ (0 < λ < 2)$ .

(1)、证明：直线 $G H$ $∥$ 平面 $B C F$ ；

(2)、是否存在 $λ$ ，使得直线 $G H$ 与平面 $A E F$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{42}}{14}$ ？请说明理由.

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 为等差数列，且满足 $a_{1} = - 1, a_{2} + b_{3} = 0, S_{n} = 2 a_{n} + b_{n} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{1} = b_{1}, c_{2 n} = c_{2 n - 1} + b_{1}, c_{2 n + 1} = c_{2 n} + a_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ ．

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8、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右顶点分别为 $A, B$ ，点 $C$ 满足 $\vec{A C} = λ \vec{A B} (λ > 1)$ ，点 $P$ 为双曲线右支上任意一点（异于点 $B$ ），以 $A C$ 为直径的圆交直线 $A P$ 于点 $M$ ，直线 $B P$ 与直线 $C M$ 交于点 $N$ .若 $N$ 点的横坐标等于该圆的半径，则该双曲线的离心率是.

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9、已知 $O$ 为坐标原点，点 $A (- 2, - 1)$ 在抛物线 $C : x^{2} = - 2 p y$ $(p > 0)$ 上，过点 $B (0, 1)$ 的直线交抛物线 $C$ 于 $P, Q$ 两点，则下列结论正确的是（）

A、抛物线 $C$ 的准线方程为 $y = 1$ B、直线 $A B$ 与抛物线 $C$ 相切 C、 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q}$ 为定值 $3$ D、 $|B P| \cdot |B Q| > {|B A|}^{2}$

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10、纯音的数学模型是函数 $y = A sin ω t$ ，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为 $f$ 的基音的同时，其各部分，如二分之一､三分之一､四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如 $2 f, 3 f, 4 f$ 等.这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易单独听出来，所以我们听到的声音函数是 $y = sin x + \frac{1}{2} sin 2 x + \frac{1}{3} sin 3 x + \dots$ .记 $f_{n} (x) = sin x + \frac{1}{2} sin 2 x + \frac{1}{3} sin 3 x + \dots + \frac{1}{n} sin n x$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $x = π$ 为 $f_{2} (x)$ 的一条对称轴 B、 $f_{2} (x)$ 的周期为 $2 π$ C、 $f_{3} (x)$ 的最大值为 $\frac{1}{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $f_{n} (x)$ 关于点 $(π, 0)$ 中心对称

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11、按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，31，37，m，42，49；乙组：24，n，33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则 $m + n =$ （）

A、60 B、65 C、70 D、71

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12、已知向量 $\vec{A B} = (\sqrt{3}, 1), \vec{A C} = (2 \sqrt{3}, - 2)$ ，则 $\vec{A B}$ 在 $\vec{A C}$ 上的投影向量是（）

A、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ C、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ D、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2})$

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13、共享单车以低碳、环保、节能、健康的理念，成为解决市民出行“最后一公里”的有力手段.某公司调研部门统计了最近5个季度本公司的共享单车使用次数（万次），结果如下：
季度序号x
1
2
3
4
5
使用次数y（万次）
1
1.2
1.5
1.8
2.2
（1）（i）根据上表，画出散点图并根据所画散点图，判断能否用线性回归模型拟合使用次数y与季度序号x之间的关系，如果能，求出y关于x的线性回归方程；如果不能，请说明理由.
（ii）如果你是公司主管领导，你会在下一季度向市场增加投放共享单车吗？请说明理由.
（2）为进一步开拓市场做准备，公司目前接受报价的有两款车型：A型单车每辆500元，第一年收入500元，以后逐年递减80元；B型单车每辆300元，第一年收入500元，以后逐年递减100元.经市场调研，两款车型使用寿命频数统计如下表：
车型\使用寿命
1年
2年
3年
4年
总计
A
10
20
30
40
100
B
10
35
30
25
100
不考虑除采购成本以外的其它成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计概率，以1辆单车所产生的利润的数学期望为决策依据，如果你是公司负责人，会选择哪款车型？
参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 3$ ， $\sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 10$ .
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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14、如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2, A A_{1} = 4$ ．点 $A_{2}, B_{2}, C_{2}, D_{2}$ 分别在棱 $A A_{1}, B B_{1}, C C_{1}$ ， $D D_{1}$ 上， $A A_{2} = 1, B B_{2} = D D_{2} = 2, C C_{2} = 3$ ．

(1)、证明： $B_{2} C_{2} ∥ A_{2} D_{2}$ ；

(2)、点 $P$ 在棱 $B B_{1}$ 上，当二面角 $P - A_{2} C_{2} - D_{2}$ 为 $150 °$ 时，求 $B_{2} P$ ．

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15、为了了解员工长假的出游意愿，某单位从“70后”至“00后”的人群中按年龄段分层抽取了100名员工进行调查.调查结果如图所示，已知每个员工仅有“有出游意愿”和“无出游意愿”两种回答，且样本中“00后”与“90后”员工占比分别为10%和30%.
（1）现从“00后样本中随机抽取3人，记3人中“无出游意愿”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望；
（2）若把“00后”和“90后”定义为青年，“80后”和“70后”定义为中年，结合样本数据完成 $2 \times 2$ 列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该单位员工长假的出游意愿与年龄段有关？

有出游意愿
无出游意愿
合计
青年

中年

合计

附：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.050
0.010
0.005
0.001
$k_{0}$
3.841
6.635
7.879
10.828
$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

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16、已知随机变量 $X ~ N (1, 4)$ ，则 $P (3 < X \leq 5) =$ .注：若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ <$ $X \leq μ + σ) \approx 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9544$ .

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17、观察下面各等高堆积条形图，其中两个分类变量 $x$ 、 $y$ 相关关系最强的是.

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18、小明同学进行射箭训练，每次射击是否中靶相互独立，根据以往训练情况可知小明射击一次中靶的概率为 $\frac{2}{3}$ ，则小明射击3次恰好有2次中靶的概率为．

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19、在某班中，男生占40%，女生占60%，在男生中喜欢体育锻炼的学生占80%，在女生中喜欢体育锻炼的学生占60%，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是（）

A、抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为 $\frac{8}{25}$ B、抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为 $\frac{17}{25}$ C、若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为 $\frac{9}{17}$ D、若抽到的学生喜欢体育段炼，则该学生是女生的概率为 $\frac{9}{17}$

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20、下列说法正确的有（）

A、在经验回归方程 $\hat{y} = - 0.85 x + 2.3$ 中，当解释变量x每增加1时，响应变量y平均减少2.3 B、在经验回归方程 $\hat{y} = - 0.85 x + 2.3$ 中，相对于样本点 $(1, 1.2)$ 的残差为–0.25 C、在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 D、若两个变量的决定系数R²越大，表示残差平方和越小，即拟合效果越好

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车型\使用寿命	1年	2年	3年	4年	总计
A	10	20	30	40	100
B	10	35	30	25	100

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.050	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	3.841	6.635	7.879	10.828

季度序号x	1	2	3	4	5
使用次数y（万次）	1	1.2	1.5	1.8	2.2

	有出游意愿	无出游意愿	合计
青年
中年
合计