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相关试卷

1、甲乙两名同学参加系列知识问答节目，甲同学参加了5场，得分是3，4，5，5，8，乙同学参加了7场，得分是3，3，4，5，5，7，8，那么有关这两名同学得分数据下列说法正确的是（）

A、得分的中位数甲比乙要小 B、两人的平均数相同 C、两人得分的极差相同 D、得分的方差甲比乙小

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2、已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2$ ， $B D = 3$ ， $\vec{A D_{1}} \cdot \vec{D C} - \vec{A B_{1}} \cdot \vec{B C} = 4$ ，则 $\cos ⟨\vec{A A_{1}}, \vec{B D}⟩ =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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3、质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检.若第一次打击后该构件没有受损的概率为0.85，当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为0.80，则该构件通过质检的概率为（）

A、0.4 B、0.16 C、0.68 D、0.17

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4、在△ $A B C$ 中，已知 $a = a \cos B + b \cos A = 1$ ， $\sin C = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则（）

A、 $b = 1$ B、 $b = \sqrt{2}$ C、 $c = \sqrt{2}$ D、 $c = \sqrt{3}$

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5、已知数列 $\{3^{a_{n}}\}$ 是公比为 $3^{a_{1}}$ 的等比数列， $S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则 $\frac{S_{5}}{a_{5}} =$ （）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、3

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6、已知 $z$ 是虚数， $z^{2} + 2 z$ 是实数，则 $z$ 的（）

A、实部为1 B、实部为 $- 1$ C、虚部为1 D、虚部为 $- 1$

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7、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x ∣ x - 2 x^{2} \geq - 15\}$ ， $B = {x ∣ x \leq - 3$ 或 $x \geq 2}$ ，则 $A \cap ∁_{U} B =$ （）

A、 $[- \frac{5}{2}, 2)$ B、 $(- 3, - \frac{5}{2}]$ C、（－3，3] D、（2，3]

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8、下列命题是真命题的是（）

A、两个四棱锥可以拼成一个四棱柱 B、正三棱锥的底面和侧面都是等边三角形 C、经过不共线的三个点的球有且只有一个 D、直棱柱的侧面是矩形

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9、后疫情时代，很多地方尝试开放夜市地摊经济，多个城市也放宽了对摆摊的限制．某商场经营者也顺应潮流准备在商场门前摆地摊．已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇形空地 $A O B$ 进行改造．如图所示，平行四边形OMPN区域为顾客的休息区域，阴影区域为“摆地摊”区域，点 $P$ 在弧AB上，点 $M$ 和点 $N$ 分别在线段 $O A$ 和线段 $O B$ 上，且 $O A = 90 cm$ ， $∠ A O B = \frac{π}{3}$ ．记 $∠ P O B = θ$ ．

(1)、请写出顾客的休息区域OMPN的面积S关于 $θ$ 的函数关系式，并求当 $θ$ 为何值时，S取得最大值；

(2)、记 $\vec{O P} = x \vec{O A} + y \vec{O B}$ ，若 $t = x + μ y (μ > 0)$ 存在最大值，求 $μ$ 的取值范围．

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10、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面四边形 $A B C D$ 为正方形，顶点 $P$ 在底面的射影为线段 $A D$ 的中点 $O ， E$ 是 $P B$ 的中点， $A B = 2 ， P C = 3 ．$

(1)、求证： $O E / /$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求过点 $D ， O ， E$ 的平面截该棱锥得到两部分的体积之比．

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11、已知 $\sin (α + β) = \frac{4}{5} ， \sin (α - β) = \frac{3}{5}$
（Ⅰ）求 $\frac{\tan α}{\tan β}$ 的值；
（Ⅱ）若 $0 < β < α \leq \frac{π}{4}$ ，求 $\cos β$ 的值.

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12、已知椭圆 $M$ ： $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，焦距为4.

(1)、求椭圆 $M$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l_{1}$ 与椭圆 $M$ 相切，且直线 $l_{1}$ 与直线 $l$ ： $x - y - 3 \sqrt{2} = 0$ 平行，求直线 $l_{1}$ 的斜截式方程.

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13、已知向量 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ 满足 $|\overset{⃑}{a}| = 3, |\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}| = 5$ ．

(1)、若 $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} = 0$ ，求| $\overset{⃑}{b}$ |的值；

(2)、若 $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} = 1$ ，求 $|2 \overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}|$ 的值．

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14、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是不共线的向量， $\vec{O A} = λ \vec{a} + μ \vec{b}$ ， $\vec{O B} = 3 \vec{a} - 2 \vec{b}$ ， $\vec{O C} = 2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ ，若A，B，C三点共线，则实数 $λ$ ， $μ$ 满足．

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15、设函数 $f (x) = sin (ω x - \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的部分图象如图所示，且满足 $f (2) = 0$ ．则 $f (x)$ 的最小正周期为．

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16、正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的各棱长均相等， $D$ 是 $A A_{1}$ 的中点， $M$ 、 $N$ 是线段 $B B_{1}$ 、 $C C_{1}$ 上的动点（含端点），且 $B M = C_{1} N$ ，当 $M$ 、 $N$ 运动时，下列结论正确的是（）

A、平面 $D M N ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ B、三棱锥 $A_{1} - D M N$ 的体积为定值 C、 $△ D M N$ 可能为直角三角形 D、平面 $D M N$ 与平面 $A B C$ 所成的锐二面角的范围是 $(0, \frac{π}{4}]$

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17、已知函数 $f (x) = {(\sin x + \cos x)}^{2} + \sqrt{3} \cos 2 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的一个对称中心 $(- \frac{π}{6}, 0)$ C、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ 上有3个零点

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18、“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种阿基米德多面体.已知 $A B = 1$ ，则关于图中的半正多面体，下列说法正确的有（）

A、该半正多面体的体积为 $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ B、该半正多面体过 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点的截面面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ C、该半正多面体外接球的表面积为 $8 π$ D、该半正多面体的表面积为 $6 + 2 \sqrt{3}$

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19、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = \sqrt{3}$ ， $\vec{b} = (1, \sqrt{3})$ ， $|\vec{a} - 2 \vec{b}| = \sqrt{11}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2})$ B、 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ C、 $(1, \sqrt{3})$ D、 $(\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{3 \sqrt{2}}{2})$

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20、设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左右两个焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，右顶点为 $A, M$ 为椭圆上一点，且 $∠ M F_{2} A = ∠ M A F_{2} = 2 ∠ M F_{1} A$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{33} - 5}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{17} - 4}{4}$

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