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相关试卷

1、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，左､右顶点分别为 $A, B$ ， $P$ 是 $E$ 上异于 $A, B$ 的一个动点.若 $3 |A F_{1}| = |B F_{1}|$ ，则下列说法正确的有（）

A、椭圆 $E$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ B、若 $P F_{1} ⊥ F_{1} F_{2}$ ，则 $cos ∠ P F_{2} F_{1} = \frac{3}{5}$ C、直线 $P A$ 的斜率与直线 $P B$ 的斜率之积等于 $- \frac{3}{4}$ D、符合条件 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ 的点 $P$ 有且仅有2个

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2、已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x} + 2 \sin x$ ， $g (x) = \{\begin{matrix} 2 x + 2, x < 0 \\ e^{x} - 1, x \geq 0 \end{matrix}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (g (x)) - m = 0$ 有两个不等实根 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $x_{2} - x_{1}$ 的最大值是（）

A、 $ln 2$ B、 $ln 2 + \frac{1}{2}$ C、 $3 - ln 2$ D、 $ln 2 + 1$

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3、若“ $\forall x \in [0, 2]$ ， $2^{x - 1} + 2^{- x} - m < 0$ ”为假命题，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, \sqrt{2}]$ B、 $[\sqrt{2}, + \infty)$ C、 $(- \infty, \frac{9}{4}]$ D、 $[\frac{9}{4}, + \infty)$

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4、已知向量 $\vec{p}$ 以 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 为基底时的坐标为 $(2, - 3, 3)$ ，则 $\vec{p}$ 以 $\{\vec{a} - 2 \vec{b}, \vec{a} + \vec{b}, 2 \vec{c}\}$ 为基底时的坐标为（）

A、 $(\frac{5}{2}, - \frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ B、 $(\frac{5}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3}{2})$ C、 $(1, 3, 2)$ D、 $(1, - 3, 2)$

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5、 $A, B$ 是抛物线 $x^{2} = 2 y$ 上的两点， $O$ 为坐标原点.若 $|O A| = |O B|$ ，且 $△ A O B$ 的面积为 $12 \sqrt{3}$ ，则 $∠ A O B =$ （）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $120 °$

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6、函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{e^{x}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7、某公司对员工的工作绩效进行评估，得到一组数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{9}$ ，后来复查数据时，又将 $x_{3}, x_{9}$ 重复记录在数据中，则这组新的数据和原来的数据相比，一定不会改变的是（）

A、平均数 B、中位数 C、极差 D、众数

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8、已知复数 $z = 8 i^{2024} + 6 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $|z| =$ （）

A、8 B、9 C、10 D、100

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9、已知集合 $A = {x ∣ a x = 2, a \in N}$ ，若 $A \subseteq N$ ，则所有 $a$ 的取值构成的集合为（）

A、 ${1, 2}$ B、 ${1}$ C、 ${0, 1, 2}$ D、 $N$

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10、每年6月中旬到7月中旬，长江中下游区域内会出现一段连续阴雨天气，俗称“梅雨期”.依据某地 $A$ 河流“梅雨期”的水文观测点的历史统计数据，所绘制的频率分布直方图如图甲所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图乙所示.

(1)、以频率作为概率，试求 $A$ 河流在“梅雨期”水位的第80百分位数并估计该地在今年“梅雨期”发生1级灾害的概率；

(2)、该地 $A$ 河流域某企业，在今年“梅雨期”，若没受1，2级灾害影响，利润为1000万元；若受1级灾害影响，则亏损200万元；若受2级灾害影响则亏损2000万元.
现此企业有如下三种应对方案：
方案
防控等级
费用（单位：万元）
方案一
无措施
0
方案二
防控1级灾害
80
方案三
防控2级灾害
200
试问，若仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？并说明理由.

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11、已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{a}{2} x^{2} - (a + 1) x$ .
（1）讨论函数 $f (x)$ 的单调性；
（2）设 $x_{1}, x_{2}$ ，（ $0 < x_{1} < x_{2}$ ）是函数 $g (x) = f (x) + x$ 的两个极值点，证明： $g (x_{1}) - g (x_{2}) < \frac{a}{2} - \ln a$ 恒成立.

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12、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点为 $A_{2} (2, 0)$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设椭圆的左焦点和左顶点分别为 $F$ 和 $A_{1}$ ，过点 $F$ 的直线与C交于M，N两点，直线 $M A_{1}$ 与 $N A_{2}$ 交于点P，证明：点P在定直线上．

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13、如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 是边长为4的菱形， $∠ B C D = 60^{\circ}, A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，平面 $F B C ⊥$ 平面 $A B C D, E F ∥ A B, F B = F C, E F = 2$ .

(1)、求证： $O E ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $A E ⊥ F C$ ，点 $Q$ 为 $A E$ 的中点，求二面角 $Q - B C - A$ 的余弦值.

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14、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边长分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $b = a + 1$ ， $c = a + 2$ .．
（1）若 $2 \sin C = 3 \sin A$ ，求 $△ A B C$ 的面积；
（2）是否存在正整数 $a$ ，使得 $△ A B C$ 为钝角三角形?若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，说明理由．

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15、已知底面为正方形的四棱锥 $P - A B C D$ 的五个顶点在同一个球面上， $P D ⊥ B C$ ， $A B = 2$ ， $P C = 1$ ， $P D = \sqrt{3}$ ，则四棱锥 $P - A B C D$ 外接球的体积为．

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16、已知多项式 ${(x - 2)}^{5} + {(x - 1)}^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{1} =$ .

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17、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + 6 x - 5, x \geq 1, \\ |{log}_{2} (1 - x)|, x < 1, \end{array}$ 关于 $x$ 的方程 $f (x) = m$ 有从小到大排列的四个不同的实数根 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ，若 $M = - \frac{1}{2} x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} + x_{4}$ ，则（）

A、 $m \in (0, 4)$ B、 $x_{1} \in (- 14, 0)$ C、 $M$ 的最小值为 $\frac{11}{2}$ D、 $M$ 的最大值为 $\frac{93}{8}$

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18、若复数 $z = m^{2} - 2 m - 3 + (m^{2} - 1) i$ $(m \in R)$ ，则下列正确的是（）

A、当 $m = 1$ 或 $m = - 1$ 时， $z$ 为实数 B、若 $z$ 为纯虚数，则 $m = - 1$ 或 $m = 3$ C、若复数 $z$ 对应的点位于第二象限，则 $1 < m < 3$ D、若复数z对应的点位于直线 $y = 2 x$ 上，则 $z = 12 + 24 i$ 或 $z = 0$

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19、已知函数 $f (x) = 2 sin (x + \frac{π}{12}) sin (x + \frac{5 π}{12})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{3}{2}$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(π, 0)$ 对称 C、 $f (x + \frac{π}{4})$ 是偶函数 D、不等式 $f (x) ⩾ 1$ 的解集是 $[k π + \frac{π}{12}, k π + \frac{5 π}{12}] (k \in Z)$

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20、设抛物线 $T : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ， $A$ 为抛物线上一点且 $A$ 在第一象限， $|A F| = 4$ ，若将直线 $A F$ 绕点 $F$ 逆时针旋转 $45 °$ 得到直线 $l$ ，且直线 $l$ 与抛物线交于 $C, D$ 两点，则 $|C D| =$ （）

A、 $32 - 16 \sqrt{3}$ B、 $32 - 16 \sqrt{2}$ C、 $16 - 8 \sqrt{3}$ D、 $16 - 8 \sqrt{2}$

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方案	防控等级	费用（单位：万元）
方案一	无措施	0
方案二	防控1级灾害	80
方案三	防控2级灾害	200