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相关试卷

1、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} =1 (a > b >0)$ 的左，右顶点分别为 $A$ 、 $B$ ，点 $F$ 是椭圆的右焦点， $\vec{A F} =3 \vec{F B}$ ， $\vec{A F} ⋅ \vec{F B} =3$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、不过点 $A$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $M$ 、 $N$ 两点，记直线 $l$ 、 $A M$ 、 $A N$ 的斜率分别为 $k$ 、 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ .若 $k (k_{1} + k_{2}) =1$ ，证明直线 $l$ 过定点，并求出定点的坐标．

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2、如图，在四棱锥 $A - B C D E$ 中，平面 $A B E ⊥$ 平面 $B C D E$ ， $A E ⊥ B E$ ，四边形 $B C D E$ 为梯形， $B C ∥ D E$ ， $B C ⊥ B E$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 2$ ， $C D = 2 \sqrt{2}$ ， $B E = 2$ ， $B D$ 交 $C E$ 于点 $O$ ，点 $P$ 在线段 $A B$ 上，且 $A P = 2 P B$ .

(1)、证明： $O P / /$ 平面 $A C D$ .

(2)、求二面角 $A - C D - E$ 的正弦值.

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3、为考察某种药物 $A$ 对预防疾病 $B$ 的效果，进行了动物试验，根据40个有放回简单随机样本的数据，得到如下列联表：

(1)、补全下面的 $2 \times 2$ 列联表（单位：只）；
药物 $A$
疾病B
合计
未患病
患病
未服用
7
服用
8
19
合计

(2)、依据 $α = 0.05$ 的独立性检验，分析药物 $A$ 对预防疾病 $B$ 的有效性.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
参考附表：
$α$
0.100
0.050
0.025
$x_{α}$
2.706
3.841
5.024

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4、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 12 = 0$ ，直线 $l : 4 x - 3 y + 23 = 0, P$ 为 $l$ 上的动点，过点 $P$ 作圆 $C$ 的切线，切点为 $M$ ，则 $|P M|$ 的最小值为.

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5、已知函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ， $f (x + 3) + g (x) = 3$ ， $f (x) - g (- 1 - x) = 1$ ，且 $g (- 1) = 2$ ， $g (x - 1)$ 为偶函数，则下列选项正确的是（）

A、函数 $g (x)$ 的图象关于 $x = - 1$ 对称 B、 $f (2) = 1$ C、 $g (2) = 0$ D、 $\sum_{k = 1}^{2025} [f (k) + g (k)] = 6074$

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6、已知函数 $f (x) = \frac{e x^{2}}{1 + \ln x}$ ，则不等式 $f (x) > e^{x}$ 的解集为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(\frac{1}{e}, 1)$ C、 $(1, e)$ D、 $(1, + \infty)$

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7、已知A，B，C，D四点都在表面积为 $100 π$ 的球O的表面上，若 $A D$ 球O的直径，且 $B C = 4, ∠ B A C = 150 °$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 体积的最大值为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $8 \sqrt{3}$ C、 $4 (2 - \sqrt{3})$ D、 $8 (2 - \sqrt{3})$

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8、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + 3 a x + b$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $y = - 12 x + m$ .若函数 $f (x)$ 至少有两个不同的零点，则实数b的取值范围是（）

A、 $(- 5, 27)$ B、 $[- 5, 27]$ C、 $(- 1, 3]$ D、 $[- 1, 3]$

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9、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $m (m > 0)$ 个单位长度后，所得到的函数 $g (x)$ 的图象关于原点对称，则 $m$ 的值可能为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $π$ D、 $\frac{3π}{2}$

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10、第14届国际数学教育大会在上海华东师范大学举行，如图是本次大会的会标，会标中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是 $3 \times 8^{3} + 7 \times 8^{2} + 4 \times 8^{1} + 4 \times 8^{0} = 2020$ ，正是会议计划召开的年份，那么八进制数 $\underset{8 个 7}{\underset{⏟}{77 \cdot \cdot \cdot 7}}$ 换算成十进制数，则换算后这个数的末位数字是（）

A、1 B、3 C、5 D、7

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11、在 $▱ A B C D$ 中， $G$ 为 $△ A B C$ 的重心，满足 $\vec{A G} = x \vec{A B} + y \vec{A D} (x, y \in R)$ ，则 $x - 2 y =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、0 D、 $- 1$

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12、设全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x |x^{2} - 2 x > 0\}$ ， $B = \{x |y = {log}_{2} |x|\}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 $\{x |0 \leq x \leq 2\}$ B、 $\{x |0 < x < 2\}$ C、 $\{x |0 < x \leq 2\}$ D、 $\{x |0 \leq x < 2\}$

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13、设实系数一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ①，有两根 $x_{1}, x_{2}$ ，
则方程可变形为 $a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0$ ，展开得 $a x^{2} - a (x_{1} + x_{2}) x + a x_{1} x_{2} = 0$ ②，
比较①②可以得到 $\{\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, \\ x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}, \end{array}$
这表明，任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理.
事实上，与二次方程类似，一元三次方程也有韦达定理.
设方程 $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0 (a \neq 0)$ 有三个根 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，则有 $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a} \\ x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{1} = \frac{c}{a} \\ x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{d}{a} \end{cases}$ ③

(1)、证明公式③，即一元三次方程的韦达定理；

(2)、已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + x + 1 (a < 0)$ 恰有两个零点.
（i）求证： $f (x)$ 的其中一个零点大于0，另一个零点大于 $- 2$ 且小于0；
（ii）求 $a + b$ 的取值范围.

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14、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ，左焦点为F，过 $A (a, 0), B (0, - b)$ 的直线为 $l$ ，原点到直线 $l$ 的距离是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线 $y = x + m$ 交双曲线于不同的两点C，D，问是否存在实数 $m$ ，使得以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

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15、如图所示， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 是 $⊙ O$ 上异于 $A$ ， $P C ⊥$ 平面ABC， $E$ 、 $F$ 分别为 $P A$ ， $P C$ 的中点，

(1)、求证：EF⊥平面PBC；

(2)、若 $P C = 2$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ，二面角 $B - P A - C$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求BC．

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16、2021年某公司为了提升一项产品的竞争力和市场占有率，对该项产品进行了科技创新和市场开发，经过一段时间的运营后，统计得到x，y之间的五组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
y
9
11
14
26
20
其中，x（单位：百万元）是科技创新和市场开发的总投入，y（单位：百万元）是科技创新和市场开发后的收益.

(1)、求相关系数r的大小（精确到0.01），并判断科技创新和市场开发后的收益y与科技创新和市场开发的总投入x的线性相关程度；

(2)、该公司对该产品的满意程度进行了调研，在调研100名男女消费者中，得到的数据如下表：
满意
不满意
总计
男
45
10
55
女
25
20
45
总计
70
30
100
是否有99%的把握认为消费者满意程度与性别有关？

(3)、对（2）中调研的45名女消费者，按照其满意程度进行分层抽样，从中抽出9名女消费者到公司进行现场考察，再从这9名女消费者中随机抽取4人进行深度调研，设这4人中选择“满意”的人数为X，求X的分布列及数学期望.
参考公式：① $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ；
② $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
临界值表：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
参考数据： $\sqrt{485} \approx 22$ .

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17、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ ，若 $a_{6} = 11$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{5}$ ， $a_{14}$ 成等比数列．
（Ⅰ）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）若 $a_{1} < 2$ ，设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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18、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示.若在 $△ B C D$ 中， $C D = \sqrt{3}, f (\frac{B}{2}) = \sqrt{3}$ ，则 $△ B C D$ 面积的最大值为.

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19、有甲、乙两个工厂生产同一型号的产品，其中甲厂生产的占 $40 %$ ，甲厂生产的次品率为 $2 %$ ，乙厂生产的占 $60 %$ ，乙厂生产的次品率为 $3 %$ ，从中任取一件产品是次品的概率是．

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20、某省的高中数学学业水平考试，分为A，B，C，D，E五个等级，其中A，B等级的比例为16%，34%.假设某次数学学业水平考试成绩服从正态分布 $N (80, σ^{2})$ ，其中王同学得分88分等级为A，李同学得分85分等级为B.请写出一个符合条件的 $σ$ 值.
（参考数据：若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.68$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.95$ ）

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药物 $A$	疾病B		合计
药物 $A$	未患病	患病	合计
未服用		7
服用	8		19
合计

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

	满意	不满意	总计
男	45	10	55
女	25	20	45
总计	70	30	100