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相关试卷

1、函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ）在一个周期内的图象如图所示，则（）

A、 $A = 2$ B、 $ω = 2$ C、 $φ = - \frac{π}{6}$ D、将函数 $f (x)$ 图象上所有点的横坐标向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位（纵坐标不变）得到的函数图象关于 $y$ 轴对称

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2、已知圆心角为 $30 °$ 的扇形 $A O B$ 的半径为1，点 $C$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 上的一点，点 $D$ 是线段 $O A$ 上的一点，点 $E$ 、 $F$ 是线段 $O B$ 上的两点，且四边形 $C D E F$ 为矩形，则该矩形的最大面积为（）

A、 $2 - \sqrt{3}$ B、 $2 + \sqrt{3}$ C、 $1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$

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3、“桂林山水甲天下”，如图，为测量桂林市某公园内一山的高 $M N$ ，选择公园内某点 $A$ 和另一座山的山顶 $C$ 为测量观测点．从 $A$ 点测得 $M$ 的仰角 $∠ M A N = 45 °$ ， $C$ 点的仰角 $∠ C A B = 30 °$ 以及 $∠ M A C = 75 °$ ，从 $C$ 点测得 $∠ M C A = 60 °$ ，已知山高 $B C = 50 m$ ，则山高 $M N =$ （） $m$ ．

A、 $50 \sqrt{2}$ B、 $50 \sqrt{3}$ C、 $75 \sqrt{2}$ D、 $75 \sqrt{3}$

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4、已知圆锥的高为8，底面圆的半径为4，顶点与底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（）

A、 $100 π$ B、 $68 π$ C、 $52 π$ D、 $50 π$

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5、已知 $cos α = - \frac{3}{5}$ ，且 $α$ 为第二象限角，则 $tan α =$ （）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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6、已知平面 $α$ ， $β$ 和直线 $a$ ， $b$ ，且 $α ∥ β$ ， $a \subset α$ ， $b \subset β$ ，则 $a$ 与 $b$ 的位置关系是（）

A、平行或异面 B、平行 C、异面 D、相交

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7、已知向量 $\vec{a} = (m, 1)$ ， $\vec{b} = (4, - 2)$ ，且 $\vec{b} = - 2 \vec{a}$ ，则 $m =$ （）

A、2 B、 $- 2$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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8、把 $\frac{2}{3} π$ 弧度化成角度是（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $90 °$ D、 $120 °$

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9、复数 $- 1 + 2 i$ 在复平面内对应的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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10、拟合（Fittiong）和插值（Imorterpolation）都是利用已知的离散数据点来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数，并以此预测或估计未知数据的方法.拟合方法在整体上寻求最好地逼近数据，适用于给定数据可能包含误差的情况，比如线性回归就是一种拟合方法；而插值方法要求近似函数经过所有的已知数据点.适用于需要高精度模型的场景，实际应用中常用多项式函数来逼近原函数，我们称之为移项式插值.例如，为了得到 $cos \frac{1}{2}$ 的近似值，我们对函数 $f (x) = cos (\frac{π}{2} x)$ 进行多项式插值.设一次函数 $L_{1} (x) = a x + b$ 满足 $\{\begin{array}{l} L_{1} (0) = f (0) = 1 \\ L_{1} (1) = f (1) = 0 \end{array}$ ，可得 $f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上的一次插值多项式 $L_{1} (x) = - x + 1$ ，由此可计算出 $cos \frac{1}{2}$ 的“近似值” $cos \frac{1}{2} = f (\frac{1}{π}) \approx L_{1} (\frac{1}{π}) = 1 - \frac{1}{π} \approx 0.682$ ，显然这个“近似值”与真实值的误差较大.为了减小插值估计的误差，除了要求插值函数与原函数在给定节点处的函数值相等，还可要求在部分节点处的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等.满足这种要求的插值多项式称为埃尔米特（Hermite）插值多项式.已知函数 $f (x) = cos (\frac{π}{2} x)$ 在 $[0, 1]$ 上的二次埃尔米特插值多项式 $H (x) = a x^{2} + b x + c$ 满足 $\{\begin{array}{l} H (0) = f (0) \\ H (1) = f (1) \\ H^{'} (0) = f^{'} (0) \end{array}$

(1)、求 $H (x)$ ，并证明当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) ⩽ H (x)$ ；

(2)、若当 $x \in [0, 1]$ 时， $|f (x) - H (x)| ⩽ λ x^{2}$ ，求实数 $λ$ 的取值范围；

(3)、利用 $H (x)$ 计算 $cos \frac{1}{2}$ 的近似值，并证明其误差不超过 $\frac{1}{40}$ .
（参考数据： $\frac{1}{π} \approx 0.318, \frac{1}{π^{2}} \approx 0.101$ ；结果精确到0.001）

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11、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为 $4 \sqrt{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}, M (2, 0), N (- 2, 0)$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、过 $P (4, 0)$ 作一条斜率存在且不为0的直线 $l$ 交 $E$ 于 $A, B$ 两点.
（i）证明：直线 $A M$ 和直线 $B M$ 的斜率均存在且互为相反数；
（ii）若直线 $A M$ 与直线 $B N$ 交于点 $Q$ ，求 $Q$ 的轨迹方程.

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12、一个袋子中有30个大小相同的球，其中有10个红球､20个白球，从中随机有放回地逐次摸球作为样本，摸到红球或者第5次摸球之后停止.用 $X$ 表示停止时摸球的次数.

(1)、求 $X$ 的分布列和期望；

(2)、用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过 $0.1$ 的概率.

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13、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的侧面 $P C D$ 为正三角形，底面 $A B C D$ 为梯形， $A B // C D$ ，平面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，已知 $C D = 4 A B = 4$ ， $\vec{P M} = \frac{1}{3} \vec{M D}$ .

(1)、证明： $A M$ $/ /$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $A C = A D, P A = 3 \sqrt{2}$ ，求直线 $A M$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值.

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14、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{sin A + sin B}{b + c} = \frac{sin C}{a - b}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、如图，若点 $D$ 是 $B C$ 边上一点，且 $A B ⊥ A D, B D = 2 C D$ ，求 $∠ A D B$ .

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15、数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1, a_{n + 1} - 2 a_{n} = 2 n$ ，则满足 $S_{n} > 2024$ 的最小正整数 $n$ 为.

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16、如图，正八面体 $A B C D E F$ 的12条棱长相等，则二面角 $E - A B - F$ 的余弦值为.

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17、 ${(2 x + y - 1)}^{6}$ 的展开式中，所有项的系数和为.

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18、如图，心形曲线 $L : x^{2} + {(y - |x|)}^{2} = 1$ 与 $y$ 轴交于 $A, B$ 两点，点 $P$ 是 $L$ 上的一个动点，则（）

A、点 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ 和 $(- 1, 1)$ 均在 $L$ 上 B、点 $P$ 的纵坐标的最大值为 $\sqrt{2}$ C、 $|O P|$ 的最大值与最小值之和为3 D、 $|P A| + |P B| \leq 2 \sqrt{3}$

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19、下列关于成对数据统计的表述中，正确的是（）

A、成对样本数据的经验回归直线一定经过点 $(\bar{x}, \bar{y})$ B、依据小概率事件 $α = 0.1$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验对零假设 $H_{0}$ 进行检验，根据 $2 \times 2$ 列联表中的数据计算发现 $χ^{2} \approx 0.837 < x_{0.1} = 2.706$ ，由 $P (χ^{2} \geq 2.706) = 0.1$ 可推断 $H_{0}$ 不成立，即认为 $X$ 和 $Y$ 不独立，该推断犯错误的概率不超过 $0.1$ C、在残差图中，残差点的分布随解释变量增大呈现扩散的趋势，说明残差的方差不是一个常数，不满足一元线性回归模型对随机误差的假设 D、决定系数 $R^{2}$ 越大，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差

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20、若“ $x < k - 2$ 或 $x > k$ ”是“ $- 2 < x < 3$ ”的必要不充分条件，则实数 $k$ 的值可以是（）

A、3 B、 $- 3$ C、 $5$ D、 $- 5$

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