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相关试卷

1、下列导数运算正确的是（）

A、 ${(sin x)}^{'} = - cos x$ B、 ${(3^{x})}^{'} = 3^{x}$ C、 ${({log}_{2} x)}^{'} = \frac{1}{x ln 2}$ D、 ${(\frac{1}{x})}^{'} = \frac{1}{x^{2}}$

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2、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）经过点 $(2 \sqrt{3}, - \sqrt{6})$ 和 $(- \sqrt{6}, \frac{\sqrt{6}}{2})$ ， $A (4, 1)$ ， $B (1, 0)$ ， $M$ ， $N$ 分别在双曲线 $C$ 的左、右两支上， $P$ 为双曲线左支上一点，且 $M$ ， $B$ ， $N$ 三点共线， $A$ ， $N$ ， $P$ 三点共线，直线 $A M$ ， $A N$ 的斜率分别记为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、求证： $k_{1} + k_{2}$ 为定值；

(3)、试判断直线 $M P$ 是否过定点，若是，请求出定点坐标，若不是，请说明理由.

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3、第19届亚运会于2023年9月23日在我国杭州举行，浙江某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲好浙江故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了100人，统计发现他们的竞赛成绩分数均分布在 $[450 ， 950]$ 内，根据调查的结果绘制了学生分数频率分布直方图，如图所示．高于850分的学生被称为“特优选手”．

(1)、求a的值，并估计该校学生分数的第70百分位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、现采用分层抽样的方式从分数在 $[750 ， 850)$ ， $[850 ， 950)$ 内的两组学生中共抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记被抽取的4名学生中是“特优选手”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．

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4、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $B B_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $B C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} C D$ ；

(2)、求直线 $D_{1} C$ 与平面 $A D_{1} E$ 所成角的余弦值．

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5、已知函数 $f (x) = a \ln x + b x^{2} - 7 x + \frac{1}{2}$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $2 x + y + 3 = 0$ .

(1)、求 $a$ ， $b$ ；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间和极值.

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6、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a = 7, c = 8$ .

(1)、若 $sin C = \frac{4}{7}$ ，求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $b = 5$ ，求 $A C$ 边上的高.

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7、已知 $m, n \in (0, + \infty)$ ， $\frac{1}{m} + n = 4$ ，则 $m + \frac{9}{n}$ 的最小值为.

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8、已知 $k \in R, \vec{a} = (2, 5), \vec{b} = (6, k)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $k$ 的值为．

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9、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，E是 $D D_{1}$ 的中点，则下列选项中正确的是（）

A、 $A C ⊥ B_{1} E$ B、 $B_{1} C / /$ 平面 $A_{1} B D$ C、三棱锥 $C_{1} - B_{1} C E$ 的体积为 $\frac{1}{6}$ D、异面直线 $B_{1} C$ 与 $B D$ 所成的角为45°

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10、若 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_{n} = 2 a_{n} + 1, (n \in N^{*})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $S_{2} = 3$ B、 $a_{1} = - 1$ C、数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列 D、数列 $\{S_{n} + 1\}$ 是等比数列

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11、某记者与参加会议的5名代表一起合影留念（6人站成一排），则记者站两端，且代表甲与代表乙不相邻的排法种数为（）

A、72 B、96 C、144 D、240

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12、命题 $p : \forall x > 0 ， x^{2} - a x + 2 > 0$ 的否定是（）

A、 $\forall x > 0 ， x^{2} - a x + 2 \leq 0$ B、 $\forall x \leq 0 ， x^{2} - a x + 2 > 0$ C、 $\exists x_{0} > 0 ， x_{0}^{2} - a x_{0} + 2 \leq 0$ D、 $\exists x_{0} \leq 0 ， x_{0}^{2} - a x_{0} + 2 \leq 0$

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13、设 $f (x)$ 是定义在区间 $D$ 上的函数，如果对任意的 $x_{1}, x_{2} \in D$ ，有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称 $f (x)$ 为区间 $D$ 上的下凸函数；如果有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称 $f (x)$ 为区间 $D$ 上的上凸函数．

(1)、已知函数 $f (x) = \frac{1}{tan x}, x \in (0, \frac{π}{2})$ ，求证：
（ⅰ） $f (\frac{x}{2}) = \frac{sin x}{1 - cos x}$ ；
（ⅱ）函数 $f (x) = \frac{1}{tan x}, x \in (0, \frac{π}{2})$ 为下凸函数；

(2)、已知函数 $g (x) = a x^{2} + x - \frac{1}{x^{2}}$ ，其中实数 $a > 0$ ，且函数 $g (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 内为上凸函数，求实数 $a$ 的取值范围．

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14、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ A C D = 90 °$ ， $∠ B C A = ∠ C D A = 30 °$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E, F$ 分别为 $P D, P C$ 的中点， $P A = 2 A B$ ．

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $A E F$ ；

(2)、求二面角 $E - A C - B$ 的大小．

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15、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $2 b \cos C = 2 a + c$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、设 $b = 9$ ，若点 $M$ 是边 $A C$ 上一点， $2 A M = M C$ ，且 $∠ M A B = ∠ M B A$ ，求 $a$ ， $c$ ．

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16、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $B C ∥ A D$ ， $P A = P B = A B = B C = \frac{1}{2} A D$ ， $E$ 是 $P D$ 的中点．

(1)、证明： $C E / /$ 平面 $P A B$ ．

(2)、若 $A D ⊥$ 平面 $P A B$ ， $P A = 2$ ，求三棱锥 $E - P A B$ 的体积．

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17、已知向量 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (- 1, 0)$ ．

(1)、证明： $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$

(2)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角．

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18、已知在 $△ A B C$ 中， $A C = 4 \sqrt{3}$ ， $∠ B = \frac{π}{3}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的最大值为．

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19、若复数 $z = a + b i (a, b \in R, a > 0)$ 的模为5，虚部为4，则复数 $z =$ ．

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20、化简计算： $\sin 20 ° \cos 110 ° + \cos 160 ° \sin 70 ° =$ .

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