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相关试卷

1、球缺指的是一个球被平面截下的一部分，垂直于截面的直径被截后剩下的线段为球缺的高，设球的半径为 $R$ ，球缺的高为 $h$ ，则球缺的体积 $V = π h^{2} (R - \frac{h}{3})$ .圆锥的高为2，底面半径为1，则以圆锥的高为直径的球在圆锥外的体积为（）

A、 $\frac{64 π}{75}$ B、 $\frac{62 π}{75}$ C、 $\frac{21 π}{25}$ D、 $\frac{23 π}{25}$

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2、在 $△ A B C$ 中， $\overset{⃑}{B D} = 2 \overset{⃑}{D A}$ ，若 $\overset{⃑}{C B} = λ \overset{⃑}{C A} + μ \overset{⃑}{C D}$ ，则 $\frac{λ}{μ}$ 的值为（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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3、下列命题正确的是（）

A、对于任意非零向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ ，若向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{c}$ 上的投影向量相等，则 $\vec{a} = \vec{b}$ ； B、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ 一定成立； C、向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{C D}$ 是共线向量，则 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四点一定共线； D、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} \neq 0$ ，且 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 所在直线的夹角是 $30 °$ ．

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4、若m、n、l表示不同的直线，α、β表示不同的平面，则下列推理正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m / / n$ C、若 $m ⊥ l$ ， $n ⊥ l$ ，则 $m / / n$ D、若 $m / / α$ ， $m / / β$ ，则 $α / / β$

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5、甲､乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为0.4，乙译出密码的概率为0.5.则密码被破译的概率为（）

A、0.9 B、0.8 C、0.7 D、0.2

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6、在 $△ A B C$ 中，“ $A < 30 °$ ”是“ $\sin A < \frac{1}{2}$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7、设复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) \cdot z = 5 i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $\bar{z} =$ （）

A、 $2 - i$ B、 $2 + i$ C、 $- 2 - i$ D、 $- 2 + i$

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8、已知函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = x + a + \ln (a x)$ （ $a > 0$ ）．

(1)、求函数 $h (x) = f (x) - x - 1$ 的最小值；

(2)、若 $x f (x) - g (x) \geq - e$ 恒成立，求a的取值范围；

(3)、设 $n \in N^{*}$ ，证明： $(\frac{1^{2} + 1}{1^{2}}) \times (\frac{2^{2} + 1}{2^{2}}) \times \dots \dots \times (\frac{n^{2} + 1}{n^{2}}) < e^{\frac{7}{4}}$ ．

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9、如图，已知边长为 $1$ 的正方形 $A B C D$ ，以边 $A B$ 所在直线为旋转轴，其余三边旋转 $120 °$ 形成的面围成一个几何体 $A D F - B C E$ ．设 $P$ 是 $\overset{⌢}{C E}$ 上的一点， $G$ ， $H$ 分别为线段 $A P$ ， $E F$ 的中点．

(1)、证明： $G H / /$ 平面 $B C E$ ；

(2)、若 $B P ⊥ A E$ ，求平面 $B P D$ 与平面 $B P A$ 夹角的余弦值；

(3)、在（2）的条件下，线段 $A E$ 上是否存在点 $T$ ，使 $B T ⊥$ 平面 $B P D$ ，证明你的结论．

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10、已知抛物线E： $y = x^{2}$ ，过点 $T (1, 2)$ 的直线与E交于A，B两点，设E在点A，B处的切线分别为 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点为P．

(1)、若点A的坐标为 $(- 1, 1)$ ，求 $△ O A B$ 的面积（O为坐标原点）；

(2)、证明：点P在定直线上．

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11、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为d，前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{10} = 100$ ， $a_{3} + a_{5} = 14$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、已知等比数列 $\{b_{n}\}$ 的公比为q， $b_{1} = a_{1}$ ， $q = d$ ，设 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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12、已知函数 $f (x) = x^{2} - x - 1 - \ln x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间和极值；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $(1, 2)$ 上是否有零点，并说明理由．

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13、当a＞0时，若不等式 $\ln x \leq a x^{2} + b x - 1$ 恒成立，则 $\frac{b}{a}$ 的最小值是．

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14、盒子里有4个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．如果不放回地依次抽取2个球，在第一次抽到红球的条件下，第二次抽到红球的概率是．

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15、 ${(x + 2 y)}^{4}$ 的展开式中， $x^{2} y^{2}$ 的系数是．（用数字作答）

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16、如图所示，已知正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 4, A B = 2, E$ 为 $A A_{1}$ 的中点，则（）

A、 $D E$ $//$ 平面 $A_{1} C A$ B、 $D E ⊥$ 平面 $D_{1} C_{1} E$ C、 $P$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上任一点，则三棱锥 $C - P D E$ 的体积为定值 D、平面 $D C E$ 截此四棱柱的外接球得到的截面面积为 $\frac{π}{8}$

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n} = 1 - a_{n}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $a_{1} = \frac{1}{2}$ B、数列 $\{a_{n}\}$ 是递增数列 C、 $S_{n} = 1 - {(\frac{1}{2})}^{n}$ D、 $S_{n} > 1$

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18、直线l： $y = x + m$ ，圆C： $x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ ，下列结论正确的是（）

A、直线l的倾斜角为 $\frac{π}{3}$ B、圆C的圆心坐标为（1，0） C、当 $m = \sqrt{2} - 1$ 时，直线l与圆C相切 D、当 $m \in (- \sqrt{2} - 1, \sqrt{2} - 1)$ 时，直线l与圆C相交

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19、已知点 $F_{1}$ 是椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左焦点，过原点作直线l交C于A，B两点，M，N分别是 $A F_{1}$ ， $B F_{1}$ 的中点，若存在以线段MN为直径的圆过原点，则C的离心率的取值范围是（）

A、 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$ B、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ C、 $[\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$ D、 $[\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{2}]$

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20、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2$ ，对任意m， $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{m + n} = a_{m} a_{n}$ ，则 $a_{2024} =$ （）

A、 $2^{2026}$ B、 $2^{2025}$ C、 $2^{2024}$ D、 $2^{2023}$

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