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相关试卷

1、 $\vec{a} = (λ, 1), \vec{b} = (1, - 1)$ ，若 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\vec{b}$ ，则（）

A、 $λ = 3$ B、 $\vec{a} // \vec{b}$ C、 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ D、 $|\vec{a} - \vec{b}| = 2 \sqrt{2}$

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2、函数 $f (x) = x^{3} + x - 2$ 的图象在点 $P$ 处的切线平行于直线 $y = 4 x - 1$ ，则 $P$ 点的坐标可以为（）

A、 $(1, 0)$ B、 $(2, 8)$ C、 $(- 1, - 4)$ D、 $(1, 4)$

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3、 $P$ 是直线 $3 x - 4 y + 5 = 0$ 上的一动点，过 $P$ 作圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 4 = 0$ 的两条切线，切点分别为 $A, B$ ，则四边形 $P A C B$ 面积的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $8 \sqrt{2}$

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4、某校高二年级开展课外实践活动，数学建模课题组的学生选择测量凤山妈祖石像的高度．如图，为测量石像 $A H$ 的高度，在距离平台 $1.2$ 米高的 $C$ 处测得石像顶的仰角为 $60^{\circ}$ ；后退18米到达距离平台 $1.2$ 米高的 $D$ 处测得石像顶的仰角为 $30^{\circ}$ ，则石像的高度为（）米．

A、 $9 \sqrt{3} + 1.2$ B、 $9 \sqrt{6} + 1.2$ C、 $10 \sqrt{3} + 1.2$ D、 $18 \sqrt{3} + 1.2$

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5、某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布 $N (72, 8^{2})$ ，则数学成绩位于[80，88]的人数约为（）
参考数据： $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ．

A、455 B、2718 C、6346 D、9545

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6、在 ${(2 x^{3} - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数是（）

A、 $- 80$ B、 $- 60$ C、60 D、80

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7、设 $α$ 是空间中的一个平面， $l, m, n$ 是三条不同的直线，则下列说法对的是（）

A、若 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $l ⊥ m$ ， $l ⊥ n$ ，则 $l ⊥ α$ B、若 $m \subset α$ ， $n ⊥ α$ ， $l ⊥ n$ ，则 $l / / m$ C、若 $l / / m$ ， $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ 则 $l ⊥ n$ D、若 $l / / m$ ， $m / / n$ ， $l ⊥ α$ ，则 $n ⊥ α$

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8、集合 $A = \{x | y = ln (x - 1)\}$ ， $B = \{y | y = \sqrt{x} + 1\}$ ， $x \in A$ 是 $x \in B$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9、已知 $α$ 是三角形一内角，若 $tan α = 2$ ，则 $cos α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\pm \frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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10、已知 $(1 + i) z = 2 + 2 i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、1 B、2 C、 $i$ D、0

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11、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D // B C$ ， $∠ A D C = 90^{\circ}$ ， $A B = A D = 2 B C = 2$ ， $△ P A D ≌ △ B A D$ .

(1)、 $M$ 为 $P C$ 上一点，且 $\vec{P M} = λ \vec{M C}$ ，当 $P A //$ 平面 $D M B$ 时，求实数 $λ$ 的值；

(2)、设平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 的交线为 $l$ ，证明 $l //$ 面 $A B C D$ ；

(3)、当平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 所成的锐二面角的大小为 $45^{\circ}$ 时，求 $P C$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值.

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12、某校举行围棋比赛，甲､乙､丙三人通过初赛，进入决赛.决赛比赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲､乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，直到一人累计获胜三局，则此人获得比赛胜利，比赛结束.假设每局比赛双方获胜的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，且每局比赛相互独立.

(1)、求丙每局都获胜的概率

(2)、求甲获得比赛胜利的概率.

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13、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，且 $\vec{a} = (2, 0)$ ．

(1)、若 $| \vec{b} | = 2$ ，求 $\vec{b}$ 的坐标；

(2)、若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ， $λ \in R$ ，求 $| \vec{a} + λ \vec{b} |$ 的最小值．

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14、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a \cos C + \sqrt{3} c \sin A = b + c$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 6$ ， $△ A B C$ 的面积为 $9 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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15、某地区突发小型地质灾害，为了了解该地区受灾居民的经济损失，制定合理的帮扶方案，研究人员经过调查后将该地区所有受灾居民的经济损失情况统计如下图所示．

(1)、求a的值；

(2)、求所有受灾居民的经济损失的平均值；

(3)、现按照分层抽样的方法从经济损失在[4000，8000)的居民中随机抽取8人，则在[4000，6000)的居民有多少人．

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16、如图，在平面中，圆 $O$ 是半径为1的圆， $O A = 2$ ，设 $B$ ， $C$ 为圆上的任意2个点，则 $\vec{A C} \cdot \vec{B C}$ 的取值范围是.

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17、 $i + i^{2} + i^{3} + \dots + i^{2024} =$ .（ $i$ 为虚数单位）

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18、如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，点P是AD上的动点，将 $△ A D E, △ C D F$ 分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点G，则下列结论正确的是（）

A、BG⊥EF B、G到平面DEF的距离为 $\frac{2}{3}$ C、若BG∥面EFP，则二面角D−EF−P的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、四面体G−DEF外接球表面积为 $24 π$

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19、有一组样本数据 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{6}$ ，其中 $x_{1}$ 是最小值， $x_{6}$ 是最大值，则（）

A、 $x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 的平均数等于 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{6}$ 的平均数 B、 $x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 的中位数等于 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{6}$ 的中位数 C、 $x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 的标准差不小于 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{6}$ 的标准差 D、 $x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 的极差不大于 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{6}$ 的极差

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20、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (1, x - 1) ， \overset{⃑}{b} = (x, 2)$ ，则（）

A、 $\overset{⃑}{a} \neq \overset{⃑}{b}$ B、若 $\overset{⃑}{a} / / \overset{⃑}{b}$ ，则 $x = 2$ C、若 $\overset{⃑}{a} ⊥ \overset{⃑}{b}$ ，则 $x = \frac{2}{3}$ D、 $|\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}| \geq \sqrt{2}$

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