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相关试卷

1、如图，已知 $A B C D$ 和 $C D E F$ 都是直角梯形， $A B / / D C$ ， $D C / / E F$ ， $A B = 5$ ， $D C = 3$ ， $E F = 1$ ， $∠ B A D = ∠ C D E = 60 °$ ，二面角 $F - D C - B$ 的平面角为 $60 °$ ．设M，N分别为 $A E, B C$ 的中点．

(1)、证明： $F N ⊥ A D$ ；

(2)、求直线 $B M$ 与平面 $A D E$ 所成角的正弦值．

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2、已知点 $A (- 1, 0)$ 和点 $B$ 关于直线 $l$ ： $x + y - 1 = 0$ 对称．
（1）若直线 $l_{1}$ 过点 $B$ ，且使得点 $A$ 到直线 $l_{1}$ 的距离最大，求直线 $l_{1}$ 的方程；
（2）若直线 $l_{2}$ 过点 $A$ 且与直线 $l$ 交于点 $C$ ， $△ A B C$ 的面积为2，求直线 $l_{2}$ 的方程．

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3、已知点 $P$ 在 $y = \sqrt{x^{2} + 1}, x \in [- 1, \sqrt{3}]$ 上运动，点 $Q$ 在圆 $C : x^{2} + {(y - a)}^{2} = \frac{3}{4} (a > 0)$ 上运动，且 $|P Q|$ 最小值为 $\frac{3}{2} \sqrt{3}$ ，则实数 $a$ 的值为.

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4、已知直线 $l$ 过抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ ，与抛物线交于 $A$ 、 $B$ 两点，线段 $A B$ 的中点为 $M$ ，过 $M$ 作 $M N$ 垂直于抛物线的准线，垂足为 $N$ ，则 $\frac{32}{|A B|} + \frac{{|N F|}^{2}}{4}$ 的最小值是.

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5、如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD= $\sqrt{5}$ ， ∠ADC=90°．沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是．

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6、《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马 $P - A B C D$ 中，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P D = C D = A D = 2$ ， $M, N, G$ 分别为 $P A, P C, P B$ 的中点，则（）

A、四面体 $N - B C D$ 是鳖臑 B、 $C G$ 与 $M N$ 所成角的余弦值是 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、点 $G$ 到平面 $P A C$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、过点 $M, N, B$ 的平面截四棱锥 $P - A B C D$ 的截面面积为 $\frac{2 \sqrt{11}}{3}$

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7、设 $M$ 为双曲线 $C$ ： $y^{2} - \frac{x^{2}}{3} = 1$ 上一动点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为上、下焦点， $O$ 为原点，则下列结论正确的是（）

A、若点 $N (0, 8)$ ，则 $|M N|$ 最小值为7 B、若过点 $O$ 的直线交 $C$ 于 $A, B$ 两点（ $A, B$ 与 $M$ 均不重合），则 $k_{M A} k_{M B} = \frac{1}{3}$ C、若点 $Q (8, 1)$ ， $M$ 在双曲线 $C$ 的上支，则 $|M F_{2}| + |M Q|$ 最小值为 $2 + \sqrt{65}$ D、过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $G$ 、 $H$ 不同两点，若 $|G H| = 7$ ，则 $l$ 有4条

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8、在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 1$ ，点 $P$ 满足 $\overset{⃑}{B P} = λ \overset{⃑}{B C} + μ \overset{⃑}{B B_{1}}$ ，其中 $λ \in [0, 1]$ ， $μ \in [0, 1]$ ，则（）

A、当 $λ = 1$ 时， $△ A B_{1} P$ 的周长为定值 B、当 $μ = 1$ 时，三棱锥 $P - A_{1} B C$ 的体积为定值 C、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点 $P$ ，使得 $A_{1} P ⊥ B P$ D、当 $μ = \frac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点 $P$ ，使得 $A_{1} B ⊥$ 平面 $A B_{1} P$

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9、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，经过 $F_{1}$ 的直线交椭圆于 $A$ ， $B$ ， $△ A B F_{2}$ 的内切圆的圆心为 $I$ ，若 $3 \overset{⃑}{I B} + 4 \overset{⃑}{I A} + 5 \overset{⃑}{I F_{2}} = \overset{⃑}{0}$ ，则该椭圆的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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10、如图，平面 $O A B ⊥$ 平面 $α$ ， $O A \subset α$ ， $O A = A B$ ， $∠ O A B = 120 °$ ．平面 $α$ 内一点P满足 $P A ⊥ P B$ ，记直线 $O P$ 与平面 $O A B$ 所成角为 $θ$ ，则 $\tan θ$ 的最大值是（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{12}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

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11、双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, (a > 0, b > 0)$ 右焦点为 $F$ ，离心率为 $e$ ， $\vec{P O} = k \vec{F O}, (k > 1)$ ，以 $P$ 为圆心， $| P F |$ 长为半径的圆与双曲线有公共点，则 $k - 8 e$ 最小值为（）

A、 $- 9$ B、 $- 7$ C、 $- 5$ D、 $- 3$

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12、若方程 $\frac{x^{2}}{25 - m} + \frac{y^{2}}{m + 9} = 1$ 表示椭圆，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- 9, 25)$ B、 $(- 9, 8) \cup (8, 25)$ C、 $(8, 25)$ D、 $(8, + \infty)$

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13、已知函数 $f (x) = a ln x - x + \frac{1}{x}$ （ $a$ 为正实数）.

(1)、讨论函数 $f (x)$ 极值点的个数；

(2)、若 $f (x)$ 有两个不同的极值点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ .
（i）证明： $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ；
（ii）设 $f (x)$ 恰有三个不同的零点 $t_{1}, t_{2}, t_{3} (t_{1} < t_{2} < t_{3})$ .若 $0 < m < n$ ，且 $m (1 - ln m) = n (1 - ln n)$ ，证明： $m + t_{1} t_{2} t_{3} n < e$ .

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14、某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]．由此得到样本的频率分布直方图如图．
（1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；
（3）从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．

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15、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, E$ 为 $P D$ 的中点．

(1)、证明： $P B / /$ 平面 $A E C$ ．

(2)、若平面 $D A E$ 与平面 $A E C$ 的夹角为 $60^{\circ}, A P = 1, A D = \sqrt{3}$ ，求 $A B$ 的长．

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公差为2的等差数列，且满足 $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ 成等比数列．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求使不等式 $S_{n} > a_{n}$ 成立的 $n$ 的最小值．

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17、若函数 $f (x) = m x - ln x + m - 2$ 有两个零点，则实数 $m$ 的取值范围是．

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18、已知双曲线 $C$ 的对称中心是原点，对称轴是坐标轴，若 $x$ 轴上一点 $P (2, 0)$ 到双曲线 $C$ 的渐近线距离为 $\sqrt{3}$ ，则 $C$ 的离心率为．

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19、已知 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，若 $a_{1} = 1 ， a_{5} = 4$ ，则 $a_{3} =$ ．

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20、端午节期间，某城市举行龙舟比赛，龙舟比赛途经 $E$ 桥、 $F$ 桥、 $G$ 桥、 $H$ 桥及 $I$ 桥，活动期间在5座桥边各设置1个志愿者服务点．现有5名志愿者参加其中三座桥一 $G$ 桥、 $H$ 桥及 $F$ 桥的服务，要求这三个服务点都有人参加，记事件A为“甲在 $G$ 桥服务点”，事件 $B$ 为“乙和丙分到一起”，则（）

A、事件A与事件 $B$ 相互独立 B、 $P (A) = \frac{1}{3}$ C、 $P (B) = \frac{9}{25}$ D、 $P (B| A) = \frac{6}{25}$

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