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相关试卷

1、在复平面中，复数 $z = \frac{2 - 3 i}{1 + i}$ 对应的点的坐标在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2、已知函数 $f (x) = (x - a) e^{x} - x, a \in R, f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数．

(1)、证明： $f^{'} (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上存在唯一零点 $x_{0}$ ；

(2)、设函数 $g (x) = (x^{2} - a x + 1) e^{x} - (\frac{1}{2} x^{2} + x + 1)$ ．
①当 $a = \frac{2 e - 1}{e}$ 时，求函数 $g (x)$ 的单调区间；
②当 $a \in (- \infty, \frac{e - 4}{2})$ 时，讨论函数 $g (x)$ 零点的个数．

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3、为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量 $y$ （单位：万台）关于 $x$ （年份）的线性回归方程 $y = 4.7 x - 9459.2$ ，且销量 $y$ 的方差为 $s_{y}^{2} = \frac{254}{5}$ ，年份 $x$ 的方差为 $s_{x}^{2} = 2$ ．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 的相关系数 $r$ ，并据此判断电动汽车销量 $y$ 与年份 $x$ 的线性相关性的强弱．

(2)、该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
性别
购买非电动汽车
购买电动汽车
总计
男性
39
6
45
女性
30
15
45
总计
69
21
90
依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？

(3)、在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中男性的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望．
①参考数据： $\sqrt{5 \times 127} = \sqrt{635} \approx 25$ ．
②参考公式：线性回归方程为 $y = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；
相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，若 $|r| > 0.9$ ，则可判断 $y$ 与 $x$ 线性相关较强；
$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．附表：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.05
0.010
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
6.635
10.828

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4、规定 $C_{x}^{m} = \frac{x (x - 1) \dots (x - m + 1)}{m ！}$ ，其中 $x \in R, m$ 是正整数，且 $C_{x}^{0} = 1$ ，这是组合数 $C_{n}^{m}$ ( $n, m$ 是正整数，且 $m \leq n$ )的一种推广．

(1)、求 $C_{- 15}^{3}$ 的值；

(2)、设 $x > 0$ ，当 $x$ 为何值时， $\frac{C_{x}^{3}}{{(C_{x}^{1})}^{2}}$ 取得最小值?

(3)、组合数的两个性质：① $C_{n}^{m} = C_{n}^{n - m}$ ； ② $C_{n}^{m} + C_{n}^{m - 1} = C_{n + 1}^{m}$
是否都能推广到 $C_{x}^{m}$ ( $x \in R, m$ 是正整数)的情形?若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．

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5、现有两台车床加工同一型号的零件.第1台车床的正品率为 $95 %$ ，第2台车床的正品率为 $93 %$ ，将加工出来的零件混放在一起.已知第1，2台车床加工的零件数分别为总数的 $60 %, 40 %$ .

(1)、从混放的零件中任取1件，如果该零件是次品，求它是第2台车床加工出来的概率；

(2)、从混放的零件中可放回抽取10次，每次抽取1件，且每次抽取均相互独立.用 $X$ 表示这10次抽取的零件是次品的总件数，试估计 $X$ 的数学期望 $E (X)$ .

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6、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 \ln x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、设 $g (x) = x^{3} + \frac{3}{x} - 3$ ，证明： $f (x) \leq g (x)$

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7、 ${(x^{2} + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y})}^{7}$ 展开式中的常数项为.

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8、对于随机事件 $A, B$ ，记 $\bar{A}$ 为事件 $A$ 的对立事件，且 $P (A) = \frac{2}{3}, P (B ∣ A) = \frac{2}{5}, P (\bar{A} ∣ B) = \frac{3}{7}$ ，则 $P (B) =$ .

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9、关于函数 $f (x) = (2 x - x^{2}) e^{x}$ ，下列结论错误的是（）

A、 $f (x) > 0$ 的解集是 ${x | 0 < x < 2}$ B、 $f (- \sqrt{2})$ 是极小值， $f (\sqrt{2})$ 是极大值 C、 $f (x)$ 没有最小值，也没有最大值 D、 $f (x)$ 有最大值，没有最小值

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10、随机变量 $X \sim N (μ, σ^{2})$ 且 $P (X \leq 2) = 0.5$ ，随机变量 $Y \sim B (3, p)$ ，若 $E (Y) = E (X)$ ，则（）

A、 $μ = 2$ B、 $D (X) = 2 σ^{2}$ C、 $p = \frac{2}{3}$ D、 $D (3 Y) = 2$

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11、已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，且满足 $f^{'} (x) - 2 f (x) < 0, f (0) = 1$ ，则（）

A、 $e^{2} f (- 1) < 1$ B、 $f (1) > e^{2}$ C、 $f (2) > e^{4}$ D、 $f (2) < e^{2} f (1)$

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12、将五本不同的书全部分给甲，乙，丙三人，要求每人至少分得一本，则不同的分法有（）

A、90种 B、150种 C、180种 D、250种

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13、已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (1, σ^{2})$ ，且 $P (ξ < 2) = 0.6$ ，则 $P (0 < ξ < 2)$ 等于（）

A、0.4 B、0.3 C、0.2 D、0.1

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14、已知随机变量 $X$ 的分布列为 $P (X = i) = \frac{i}{a} (i = 1, 2, 3, 4)$ ，则 $P (2 \leq X < 4) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{7}{10}$ D、 $\frac{9}{10}$

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15、已知函数 $f (x) = ln x - a x$ 在区间 $[1, 3]$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a \geq 1$ B、 $a > 1$ C、 $a \geq \frac{1}{3}$ D、 $a > \frac{1}{3}$

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16、设某商场今年上半年月销售额 $y$ （万元）关于月份 $x (x = 1, 2,$ … $, 6)$ 的经验回归方程为 $\hat{y} = 1.2 x + a$ ，已知上半年的总销售额为 $120$ 万元，则该商场 $12$ 月份销售额预计为（）

A、 $24$ B、 $27.8$ C、 $30.2$ D、 $32$

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17、若 $A_{2 n}^{3} = 10 A_{n}^{3}$ ，则 $n =$ （）

A、7 B、8 C、9 D、10

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18、已知函数 $f (x) = a e^{2 x} + (a - 2) e^{x} - x$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的零点个数.

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19、2023年第三十一届世界大学生夏季运动会在成都举行，中国运动员在赛场上挥洒汗水､挑战极限､实现梦想.最终，中国代表团以103枚金牌､40枚银牌､35枚铜牌，总计178枚奖牌的成绩，位列金牌榜和奖牌榜双第一，激发了大学生积极进行体育锻炼的热情.已知甲､乙两名大学生每天上午､下午都各用半个小时进行体育锻炼，近50天选择体育锻炼项目情况统计如下：
体育锻炼项目情况
（上午，下午）
（足球，足球）
（足球，羽毛球）
（羽毛球，足球）
（羽毛球，羽毛球）
甲
20天

10天
乙
10天
10天
5天
25天
假设甲､乙在上午､下午选择体育锻炼的项目相互独立，用频率估计概率.已知甲上午锻炼选择羽毛球的条件下，下午锻炼仍选择羽毛球的概率为 $\frac{2}{3}$ .

(1)、请将表格内容补充完整（写出计算过程）；

(2)、记 $X$ 为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目的个数之差的绝对值.求 $X$ 的分布列和数学期望 $E (X)$ ；

(3)、已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为 $\frac{1}{3}$ ，并且当上午的室外温度低于20度时，甲去打羽毛球的概率为 $\frac{3}{5}$ ，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度以下的概率.

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形，点 $E$ 是棱 $P D$ 上的一点， $P B //$ 平面 $A E C$ .

(1)、求证：点 $E$ 是棱 $P D$ 的中点；

(2)、若 $P A ⊥$ 平面 $A B C D, A P = 2, A D = 2 \sqrt{3}, P C$ 与平面 $P A D$ 所成角的正切值为 $\frac{1}{2}$ ，求二面角 $A - C E - D$ 的余弦值.

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性别	购买非电动汽车	购买电动汽车	总计
男性	39	6	45
女性	30	15	45
总计	69	21	90

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	10.828