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相关试卷

1、下列命题正确的有（）

A、若 $z_{1} \cdot z_{2} \in R$ ，则 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 互为共轭复数 B、在矩形 $A B C D$ 中， $|\vec{A B} + \vec{A D}| = |\vec{A B} - \vec{A D}|$ C、已知点 $P$ 在 $△ A B C$ 所在的平面内，且 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = \vec{P B} \cdot \vec{P C} = \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ ，则点 $P$ 是 $△ A B C$ 的垂心 D、若 $O$ 是面积为4的 $△ A B C$ 内部的一点，且 $\vec{O A} + \vec{O B} + 2 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $△ A O C$ 的面积为1

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2、已知 $f (x) = sin (2 ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则（）

A、 $ω = 1$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{6}$ 对称 C、函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3}, \frac{π}{12}]$ 上单调递增 D、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后得到的图象关于 $y$ 轴对称

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3、在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $O$ 为 $△ A B C$ 的垂心，且满足 $\vec{A O} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ， $\cos ∠ B A C = \frac{1}{3}$ ，则 $x + y =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、－1 C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4、已知在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是边长为4的正方形，直线 $P D$ 与平面 $A B C D$ ．所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则该四棱锥的外接球的表面积为（）

A、 $16π$ B、 $32π$ C、 $48π$ D、 $64π$

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5、已知向量 $\vec{a} = (2, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (1, 0)$ ，则向量 $\vec{a} - \vec{b}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(1, 0)$ B、 $(2, 0)$ C、 $(0, \sqrt{3})$ D、 $(0, 3)$

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6、已知a，b是两条直线， $α$ ， $β$ 是两个平面，下列命题正确的是（）

A、若 $a ∥ α$ ， $b ∥ α$ ，则 $a ∥ b$ B、若 $α ∥ β$ ， $a \subset α$ ， $b \subset β$ ，则a，b是异面直线 C、若 $a \subset α$ ， $b \subset α$ ， $a ∥ β$ ， $b ∥ β$ ，则 $α ∥ β$ D、若 $α ⊥ β$ ， $a \subset α$ ， $α \cap β = b$ ， $a ⊥ b$ ，则 $a ⊥ β$

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7、若 $\tan α = 3$ ，则 $\frac{1 + \sin 2 α}{2 \cos^{2} α + \sin 2 α} =$ （）

A、 $- 1$ B、2 C、 $\frac{3}{2}$ D、4

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8、若高为 $\sqrt{3}$ 的圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{6}$ C、2 D、4

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9、已知复数 $z = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ ，则 $z^{3} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ C、1 D、 $- 1$

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10、 $\vec{D C} + \vec{A B} - \vec{A C} =$ （）

A、 $\vec{D B}$ B、 $\vec{B C}$ C、 $\vec{A D}$ D、 $\vec{C B}$

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11、甲、乙、丙、丁、戊共5名同学参加100米比赛，决出第1名到第5名的名次．比赛结束后甲说：“我不是第1名”，乙说：“我不是第5名”．根据以上信息，这5人的名次排列情况种数为（）

A、72 B、78 C、96 D、120

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12、如图，已知直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ， $A$ 是 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间的一点，且 $A E ⊥ l_{1}$ 于点 $E$ ， $A F ⊥ l_{2}$ 于点 $F$ ， $A E = m$ ， $A F = n$ （ $m$ ， $n$ 为常数），点 $B$ 、 $C$ 分别为直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 上的动点，且 $A B ⊥ A C$ ，设 $∠ A C F = α$ .

(1)、若 $α = \frac{π}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、当 $A$ 恰好 $E F$ 中点时，求 $△ A B C$ 的周长的最小值.

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13、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $a \sin A \cos B + b \sin A \cos A = \sqrt{3} a \cos C$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $a = 3$ ，且 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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14、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2．

(1)、证明： $A C_{1} ⊥ B D$ ．

(2)、求三棱锥 $A - C_{1} B D$ 的体积．

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15、已知函数 $f (x) = 3 \cos (2 x + \frac{π}{3})$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 的最大值以及取得最大值时 $x$ 的集合．

(3)、求 $f (x)$ 的单调递减区间．

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16、已知向量 $\vec{a} = (1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 2, 1)$ .

(1)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值；

(2)、若向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - k \vec{b}$ 互相垂直，求 $k$ 的值.

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17、已知 $O$ 为 $△ A B C$ 内一点，且 $4 \vec{O A} + 8 \vec{O B} + 5 \vec{O C} = \vec{0}$ ，点 $M$ 在 $△ O B C$ 内（不含边界），若 $\vec{A M} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $λ + μ$ 的取值范围是．

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18、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为 $A B$ 的中点，则直线 $A_{1} M$ 与 $C D$ 所成角的余弦值为．

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19、计算 $(1 + i) (2 - i) =$ （其中 $i$ 为虚数单位）．

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20、如图，向透明塑料制成的长方体容器 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内灌进一些水，水是定量的（定体积为 $V$ ）．固定容器底面一边 $B C$ 于地面上， $B C = 1$ ，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是（）

A、水面 $E F G H$ 所在四边形的面积为定值 B、没有水的部分始终呈棱柱形 C、棱 $A_{1} D_{1}$ 一定与平面 $E F G H$ 平行 D、当容器倾斜如图所示时， $B E \cdot B F = 2 V$ （定值）

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