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相关试卷

1、若函数 $g (x) = e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} + (b - 1) x$ 存在单调递减区间，则实数 $b$ 的取值范围是（）

A、 $[0, + \infty)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0]$ D、 $(- \infty, 0)$

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2、现有一组数据 $0, 1, 2, 3, 4, 5$ ，若将这组数据随机删去两个数，则剩下数据的平均数小于 $3$ 的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{11}{15}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{13}{15}$

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3、已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，直线 $y = x$ 与双曲线的右支交于点 $P$ ，则 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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4、某校高二年级下学期期中考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格.阅卷结果显示，全年级800名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（ $=$ 平均分/150）为 $0.49$ ，标准差为 $22$ ，则该次数学考试及格的人数约为（）
附：若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，记 $p (k) = P (μ - k σ \leq X \leq μ + k σ)$ ，则 $p (0.75) \approx 0.547, p (1) \approx 0.683$ .

A、127人 B、181人 C、254人 D、362人

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5、如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{13}$ C、 $\sqrt{15}$ D、 $\sqrt{17}$

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6、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 2$ 与抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的准线相切，则 $p$ 的值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、4 D、2

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7、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1, a_{2} a_{4} = 9$ ，则 $a_{7} =$ （）

A、3 B、3或-3 C、27 D、27或-27

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8、若 $i (1 + z) = 1$ （ $i$ 为虚数单位），则 $\bar{z} - z =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 2 i$ C、2 D、 $2 i$

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9、无穷数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ ， …的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是 $a_{n}$ ﹔如果n是奇数，就对 $3 n + 1$ 尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是 $a_{n}$ ．

(1)、写出这个数列的前7项；

(2)、如果 $a_{n} = m$ 且 $a_{m} = n$ ，求m，n的值；

(3)、记 $a_{n} = f (n)$ ， $n \in N^{*}$ ，求一个正整数n，满足 $n < f (n) < f (f (n)) < \dots < \underset{2024 个 f}{\underset{⏟}{f (f (\dots f (n) \dots))}}$ ．

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10、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ， $M (m, - \frac{3}{2})$ 为 $C$ 上一点，且 $|M F| = \frac{3}{2}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过点 $P (4, 0)$ 且斜率存在的直线 $l$ 与 $C$ 交于不同的两点 $A, B$ ，且点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $D$ ，直线 $A D$ 与 $x$ 轴交于点 $Q$ .
（i）求点 $Q$ 的坐标；
（ii）求 $△ O A Q$ 与 $△ O A B$ 的面积之和的最小值.

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11、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, P A = 2$ ， $M$ 是 $B C$ 中点， $N$ 是 $P D$ 中点.

(1)、证明：直线 $M N / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $\vec{P G} = 4 \vec{G C}$ ，求平面 $P C D$ 与平面 $G M N$ 的夹角的余弦值.

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12、随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，新零售背景下，即时配送行业稳定快速增长.某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高客户满意度，在其 $A, B$ 两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查（满分100分），评分结果如下：
分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91.
分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89.

(1)、求抽取的这20位客户评分的第一四分位数；

(2)、规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中分公司 $B$ 的客户人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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13、 ${(\frac{1}{x} - x^{2})}^{n}$ 的展开式中第2项的二项式系数为6，则其展开式中的常数项为．

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14、已知直线 $l$ 的方程为 $x \cos θ + y \sin θ = m$ ( $0 \leq θ < 2 π$ ， $m$ 为常数)，曲线 $C$ 的方程为 $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ ，则“ $|m| \leq 1$ ”是“直线 $l$ 与曲线 $C$ 有公共点”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{9} = 16$ ，设等差数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $b_{5} = a_{5}$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、 $- 18$ B、 $- 36$ C、36 D、18

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16、随着“一带一路”经贸合作持续深化，西安某地对外贸易近几年持续繁荣，2023年6月18日，该地很多商场都在搞“618”促销活动．市物价局派人对某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价 $x$ （单位：元）和销售量 $y$ （单位：百件）之间的一组数据（如表所示），用最小二乘法求得 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程是 $\hat{y} = 0.25 x + \hat{a}$ ，预测当售价为45元时，销售量件数大约为（）（单位：百件）
$x$
20
25
30
35
40
$y$
5
7
8
9
11

A、12 B、12.5 C、13 D、11.75

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17、已知集合 $A = \{x \in N |x \leq 3\}, B = \{- 2, 0, 1, 3, 5\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 3\}$ B、 $\{0, 1, 3\}$ C、 $\{1, 3\}$ D、 $\{- 2, 1, 3\}$

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18、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $Q$ 是 $C C_{1}$ 的中点，下列说法正确的是（）

A、若 $P$ 是线段 $A C_{1}$ 上的动点，则三棱锥 $P - B Q D$ 的体积为定值 B、三棱锥 $A_{1} - B Q D$ 外接球的半径为 $\frac{\sqrt{66}}{6}$ C、若 $A Q$ 与平面 $A C$ ，平面 $A D_{1}$ ，平面 $A B_{1}$ 所成的角分别为 $θ_{i}$ （ $i = 1, 2, 3$ ），则 $\sum_{i = 1}^{3} {cos}^{2} θ_{i} = 2$ D、若平面 $A B Q$ 与正方体各个面所在的平面所成的二面角分别为 $θ_{i} (i = 1, \dots, 6)$ ，则 $\sum_{i = 1}^{6} {sin}^{2} θ_{i} = 4$

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19、某景区为拓展旅游业务，拟建一个观景台P（如图所示），其中AB，AC为两条公路， $∠ B A C = 120 °$ ， M，N为公路上的两个景点，测得 $A M = 2 km$ ， $A N = 1 km$ ，为了获得最佳观景效果，要求P对的视角 $∠ M N P = 60 °$ .现需要从观景台P到M，N建造两条观光路线PM，PN，且要求观光路线最长.若建造观光路线的宽为5米，每平方米造价为100元.

(1)、求M、N的距离；

(2)、设 $∠ M N P = α$ ，用 $α$ 表示 $P M + P N$ ；

(3)、求该景区预算需要投入多少万元改造？（ $\sqrt{7} = 2.65$ ）

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20、由直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 截去三棱锥 $C_{1} - B_{1} C D_{1}$ 后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为平行四边形，O为AC与BD的交点.

(1)、求证： $A_{1} O //$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ ；

(2)、求证：平面 $A_{1} B D //$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ ；

(3)、设平面 $B_{1} C D_{1}$ 与底面ABCD的交线为l，求证： $B_{1} D_{1} // l$ .

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$x$	20	25	30	35	40
$y$	5	7	8	9	11