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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 是边长为1的正三角形， $E$ 为 $B C$ 中点，且 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A D} =$ （）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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2、下列说法不正确的是（）

A、对具有线性相关关系的变量 $x$ ， $y$ ，且回归方程为 $y = 0.3 x - m$ ，若样本点的中心为 $(- 4, m)$ ，则实数 $m$ 的值是 $- 0.6$ B、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (1, σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 2) = 0.7$ ，则 $P (1 < X \leq 2) = 0.2$ C、若线性相关系数 $|r|$ 越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 D、一组数据10，10，11，12，12，14，16，19，21，21的第80百分位数为19

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3、已知函数 $f (x) = \frac{ln x}{x + a}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与直线 $2 x - y = 0$ 平行，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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4、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{4} = 7$ ， $S_{9} = 90$ ，则 $a_{7} =$ （）

A、20 B、18 C、16 D、15

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5、已知函数 $f (x) = a x + \ln x, g (x) = f (x) (x - \ln x) - x^{2}, a \in R$ .
（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（2）若 $a \in Z$ ，且函数 $g (x)$ 只有一个零点，求 $a$ 的最小值.

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6、在 $△ A B C$ 中，点 $C$ 的坐标为 $(4, - 1)$ ， $B C$ 边上的中线所在直线的方程为 $3 x - y - 1 = 0$ ，直线 $A C$ 的倾斜角为 $\frac{3 π}{4}$ ．

(1)、求点 $A$ 的坐标；

(2)、过点 $A$ 的直线 $l$ 与 $x$ 轴的正半轴、 $y$ 轴的正半轴分别交于 $M$ ， $N$ 两点，求 $△ M O N$ （ $O$ 为坐标原点）面积的最小值．

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7、已知函数 $f (x) = a^{x} + b$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的部分图象如图示．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若关于x的不等式 ${(\frac{1}{a})}^{x} + {(- 2 b)}^{x} - m \leq 0$ 在 $[1, + \infty)$ 上有解，求实数m的取值范围．

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8、在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥 $P - A B C D$ 为阳马，侧棱 $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P A = 3$ ， $B C = A B = 4$ ，设该阳马的外接球半径为 $R$ ，内切球半径为 $r$ ，则 $\frac{R}{r} =$ ．

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9、若函数 $f (x) = \ln x + x - 3$ 的零点在区间 $(k, k + 1)$ ， $k \in Z$ 内，则 $k =$ ．

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10、已知集合 $A = \{1,3, 6\}, B = \{x |1 < x < 7\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, 7)$ B、 $(3, 6)$ C、 $\{1, 7\}$ D、 $\{3, 6\}$

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} + \frac{1}{a_{n - 1}} = 2$ ，且 $a_{1} = \frac{3}{2}$ . $\{b_{n}\}$ 为等差数列，其前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，有 $S_{b_{n}} = 4 n^{2} - 22 n + t$ ．

(1)、设 $c_{n} = b_{\frac{1}{a_{n} - 1}}$ ．
（i）求 $t$ ，并证明 $\{c_{n}\}$ 为等差数列．
（ii）在 $c_{n}$ 的前5项中随机取3项，设其小于 $5$ 的项数为X．求X的分布列与数学期望．

(2)、证明： $2 \cdot e^{a_{1}} \cdot e^{a_{2}} \cdot e^{a_{3}} \dots \cdot \cdot e^{a_{n}} > (n + 2) e^{n}$

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12、已知函数 $f (x) = \frac{x^{n}}{n} - \frac{1}{n} (n > 0, x > 0)$ ．

(1)、设 $n = \frac{1}{2}$ ，
（i）证明： $lim_{Δ x \to 0} f (x + Δ x) = f (x) + f^{'} (x) \cdot Δ x$ ，并由此求 $f (\frac{20000 + π}{5000})$ (精确到 $0.000001$ )．
（ii）比较 $f (x)$ 与 $g (x) = ln (x)$ 的大小并说明理由．

(2)、求证：当 $n$ 趋于0时， $f (x) \approx ln (x)$ ．

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13、在四面体 $A - B C D$ 中， $A B = B C = C D = A D = 1$ ，

(1)、证明： $B D ⊥ A C$ ．

(2)、求四面体 $A - B C D$ 体积的最大值．

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14、已知 $f (x) = \sqrt{x + 2}$ ，定义 $f_{(1)} (x) = f (x)$ ， $f_{(2)} (x) = f (f (x))$ ， $f_{(3)} (x) = f (f (f (x)))$ ， $\dots$ ，以此类推．记 $2^{n} \cdot \sqrt{2 - f_{(n)} (\sqrt{3})}$ 为 $(*)$ ，当 $n$ 趋向于 $+ \infty$ 时， $(*)$ 趋向于．

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15、在椭圆Γ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 内有一点 $P (1, 1)$ ．过P作直线 $l_{1} 、 l_{2}$ ，分别与Γ交于A，C与B，D．且 $|P A| |P D| = |P B| |P C|$ ．若直线CD的斜率恒为 $k (k \in (- 1, 0))$ ，则Γ的离心率为． (用k表示)

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16、甲乙丙丁等二十人排队，并从左至右依次编号1～20．甲乙丙丁所对应的编号为a，b，c，d．则满足c＞b＞a＞d的概率为．

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17、已知曲线 $C : A \sin (k x + m y) = m x - k y$ ，满足 $k, m > 0, A \in (- 2, 2)$ 且 $A \neq 0$ ．则下列说法正确的是（）

A、当 $k > 2 m > 0$ 时， $y$ 是关于 $x$ 的函数 B、当 $2 m > k > 0$ 时， $x$ 是关于 $y$ 的函数 C、曲线C的对称中心为 $(\frac{d k π}{m^{2} + k^{2}}, \frac{d m π}{m^{2} + k^{2}}) (d \in Z)$ D、曲线C与直线 $y = \frac{m}{k} x \pm \frac{A}{k}$ 相切

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18、某考试有20道三项选择题．某同学通过某种手段提前知道了这20道选择题的答案中没有连续相同的选项．试卷下发后，更是发现自己一题也不会做．于是他按照“没有连续相同的选项”猜答案．设其答对第n题的概率是 $P_{n}$ ．则下列说法正确的是（）

A、P（猜对第n+1题|猜对第n题） $= \frac{1}{2}$ B、P（猜对第n+1题|猜错第n题） $= \frac{1}{6}$ C、 $P_{n} = \frac{1}{3}$ D、全部猜对的概率为 ${(\frac{1}{3})}^{20}$

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19、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- t, t) ， f (0) = 0$ ，且在定义域内连续．则下列说法正确的是（）

A、设 $f (f (x))$ 的定义域为D，则D $= (- t, t)$ B、设 $f (f (x))$ 的定义域为D，则D $\subseteq (- t, t)$ C、若 $f (x)$ 单调，则 $f (f (x))$ 单调 D、一定存在定义域为 $(- t, t)$ 的偶函数 $g (x)$ 与奇函数 $h (x)$ ，使 $f (x) = g (x) + h (x)$

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20、已知在四面体 $P - A B C$ 中， $△ A B C$ 为等边三角形，且 $\vec{B P} \cdot \vec{B C} = \vec{B P} \cdot (\vec{B A} - \vec{B P})$ ，则 $\vec{B C} + \vec{B P}$ 与平面 $A B C$ 所成角正切值的最大值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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