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相关试卷

1、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M$ 是 $B C$ 的中点， $A_{1} B = A_{1} C$ .

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $A M A_{1}$ ；

(2)、若 $A B ⊥ A C, A B = \sqrt{2}, A A_{1} = 2$ ，求二面角 $B - A_{1} C_{1} - C$ 的余弦值.

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2、已知函数 $f (x) = (x + a) ln x (a > 0)$ .若当 $x > e$ 时，存在过坐标原点 $O$ 的直线 $l$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切，则实数 $a$ 的取值范围为.

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3、设 $M$ 是抛物线 $y^{2} = 6 x$ 上一点， $F$ 是抛物线的焦点， $O$ 为坐标原点， $∠ O F M = 120^{\circ}$ ，则 $|F M| =$ .

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4、已知 ${(3 - 2 x)}^{n}$ 的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则 $n$ 的值为.

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5、已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 a x^{2} + 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极小值，则 $a = 1$ B、若 $a < 0, x_{1} > x_{2} > 1$ ，则 $f (x_{1}) < f (x_{2})$ C、若 $a = 2$ ，则曲线 $y = f (x)$ 关于点 $(1, - 3)$ 中心对称 D、若 $a > 1$ ，则 $f (x)$ 有3个零点

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6、已知函数 $f (x) = \sqrt{2} sin (2 x - \frac{π}{4})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、若 $f (x)$ 在区间 $(0, m)$ 恰有两个零点，则 $m$ 的取值范围为 $(\frac{5 π}{8}, \frac{9 π}{8}]$ C、若 $f (x) \geq - 1$ ，且 $0 \leq x \leq 2 π$ ，则 $0 \leq x \leq \frac{3 π}{4}$ D、若 $f (x)$ 在区间 $(0, m)$ 恰有两个最值点，则 $m$ 的取值范围为 $(\frac{7 π}{8}, \frac{11 π}{8}]$

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7、早在1733年，法国数学家棣莫弗在研究二项概率的近似计算时，提出了正态密度函数的形式，其解析式为 $f (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{{(x - μ)}^{2}}{2 σ^{2}}}, x \in R$ ，其中 $μ \in R, σ > 0$ 为参数.若随机变量 $X$ 的概率分布密度函数为 $f (x)$ ，则称随机变量 $X$ 服从正态分布，则下列说法正确的是（）
（参考数据：若随机变量 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827, P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545, P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973)$

A、曲线 $y = f (x)$ 关于直线 $x = μ$ 对称 B、曲线 $y = f (x)$ 在 $x = μ$ 处达到峰值 $\frac{1}{\sqrt{2 π}}$ C、当 $σ$ 较小时，正态曲线“矮胖”，当 $σ$ 较大时，正态曲线“瘦高” D、若 $σ^{2} = 4, μ = 60$ ，则 $P (62 \leq X \leq 64) \approx 0.1359$

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8、如果对于正整数集 $A = \{x = a + i, a \in N ∣ i = 1, 2, 3, \dots, 48\}$ ，将集合 $A$ 拆分成16个三元子集（子集有三个元素），且拆分的16个集合两两交集为空集，则称集合 $A$ 是“三元可拆集”.若存在一种拆分法，使得集合 $A$ 是“三元可拆集”，且每个三元子集中都有一个数等于其他两数之和，则 $a$ 的最大值为（）

A、12 B、9 C、7 D、6

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9、曲线 $|y| = cos x + 1 (0 \leq x \leq π)$ 和曲线 $x^{2} + {(|y| - 1)}^{2} = 1 (x \leq 0)$ 组合围成“心形图”（如下图所示），记“心形图”为曲线 $C$ ，曲线 $C$ 所围成的“心形”区域的面积等于（）

A、 $π + 6$ B、 $π + 8$ C、 $3 π$ D、 $4 π$

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10、如图，在圆锥 $P O$ 中， $A B$ 是底面圆的直径， $C$ 在底面圆周上， $A B = 4, ∠ B A C = 30 °, M$ 是 $B C$ 的中点， $P M$ 与圆锥底面所成角的大小为 $60^{\circ}$ ，则圆锥 $P O$ 的体积为（）

A、 $12 \sqrt{3} π$ B、 $12 π$ C、 $4 \sqrt{3} π$ D、 $4 π$

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11、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $A = \frac{π}{3}, a = 2, b + c = \sqrt{3} a$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $8 \sqrt{3} - 12$ B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $4 \sqrt{3} - 6$

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12、已知直线 $y = \frac{1}{2} x$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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13、若向量 $\vec{a} = (2, - 1)$ ， $\vec{b} = (m, 3)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $|\vec{b}| =$ （）

A、 $3 \sqrt{5}$ B、45 C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{45}{4}$

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14、若复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) (z - 1) = 2 - i$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $2 - i$ D、 $2 + i$

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15、为了响应政府号召，增加农民收入，某村委会指导当地村民在果园里进行生态鸡的养殖，在2023年8月初，为了解所养殖的生态鸡的质量（单位；kg）情况，养殖负责人随机抓取了一部分鸡进行称重，得到如下频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值代替），以样本估计总体．

(1)、求养殖的生态鸡的质量的平均值．

(2)、该地现养殖有5000只鸡，为了减轻养殖的压力，养殖负责人计划卖掉一部分鸡，另一部分计划春节再卖掉．若现在卖掉，价格为20元/kg，到春节卖掉，预估价格为22元/kg．现有以下两种方案：
方案一：体重不低于2.5kg的现在卖掉，其余的养殖到春节再卖掉，剩余的鸡平均每只需要10元养殖费用，到春节时，平均质量可以达到2.5kg；
方案二：体重不低于2kg的现在卖掉，其余的养殖到春节再卖掉，剩余的鸡平均每只需要10元养殖费用，到春节时，平均质量可以达到3kg．
从经济收益的角度来看，选择哪种方案更合适？

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16、在菱形ABCD中， $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A D}$ ， $\vec{B F} = \frac{2}{3} \vec{B C}$ ，记 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{E F}$ ；

(2)、若 $\vec{B D} \cdot \vec{E F} = \vec{A B} \cdot \vec{D A}$ ，求 $\cos A$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，若 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的模为2，求菱形 $A B C D$ 面积：

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17、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，向量 $\vec{m} = (a, \sqrt{3} b)$ ， $\vec{n} = (\cos A, \sin B)$ ，且 $\vec{m} // \vec{n}$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = \sqrt{7}$ ， $b = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18、（1）已知向量 $\vec{a} = (2, x)$ ， $\vec{b} = (x, 8)$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$ ，求 $x$ 的值；
（2） $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 的夹角为 $120^{\circ}$ ， $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 3$ ，求 $|5 \vec{a} - \vec{b}|$ 的值.

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19、实数 $m$ 分别取什么数值时，复数 $z = (m^{2} + 5 m + 6) + (m^{2} - 2 m - 15) i$ 是：

(1)、纯虚数；

(2)、与复数 $12 + 16 i$ 互为共轭.

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20、如图为两种商品2019年前三季度销售量的折线统计图，结合统计图，下列说法中正确的有.
①1~6月，商品 $B$ 的月销售量都超过商品 $A$
②7月份商品 $A$ 与商品 $B$ 的销售量相等
③对于商品 $B$ ， 7~8月的月销售量增长率与8~9月的月销售量增长率相同
④2019年前三季度商品 $A$ 的销量逐月增长

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