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相关试卷

1、已知 $P$ 为直线 $l : 3 x - 4 y + 9 = 0$ 上一点，过 $P$ 作圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 的切线，则最短切线长为．

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2、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ，其右焦点坐标为 $(2, 0)$ ，则双曲线 $C$ 的标准方程为.

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3、已知过点 $Q (1, 2)$ 的抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线与 $x$ 轴的交点为 $D$ ，过焦点 $F$ 作两条相互垂直的直线分别交 $C$ 于A，B和M，N四点，则下列说法正确的是（）

A、若直线AB的斜率为1，则 $| A B | = 8$ B、若点 $E (3, 2)$ 平分弦AB，则直线AB的方程为 $x - y + 1 = 0$ C、 $| A B | + 2 | M N |$ 的最小值为 $12 + 8 \sqrt{2}$ D、若 $D B ⊥ A B$ ，则 $| A F | - | B F | = 4$

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4、如图，在底面为直角梯形的直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B ⊥ A D, B C / / A D$ ， $A B = B C = A A_{1} = 1, A D = 2$ ，动点 $P$ 满足 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A A_{1}} (0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1$ ， $0 \leq z \leq 2$ ），则下列结论正确的是（）

A、当 $x = y = 1, z = 2$ 时，点 $P$ 到直线AC的距离为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ B、当 $x = 1, y = 0, z = 0$ 时，直线AP与平面 $A_{1} C D$ 所成角的正弦值是 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、若 $x = 1$ ，则点 $P$ 在平面 $C B B_{1} C_{1}$ 内 D、若 $x = 2 y$ ，则点 $P$ 在平面 $A C C_{1} A_{1}$ 内

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5、已知直线 $l : m x - y + 2 + m = 0 (m \in R)$ 和圆 $O : x^{2} + y^{2} = 9$ ，则下列说法正确的有（）

A、直线 $l$ 过定点 $(- 1, 2)$ B、直线 $l$ 一定与圆 $O$ 相交 C、直线 $l$ 被圆 $O$ 截得的最短弦长为4 D、圆 $O$ 与圆 $M : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 有3条公切线

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6、已知 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点，过原点的直线交椭圆于P，Q两点.若 $|P Q| = |F_{1} F_{2}|, |F_{1} P| = 2 |F_{1} Q|$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$

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7、如图，在四面体ABCD中， $∠ C A D = ∠ B A D = 60^{°}, \cos ∠ C A B = \frac{2}{3}$ ，且 $A B = A C = A D$ ，点 $E$ 满足 $\vec{A E} = 2 \vec{E B}$ ，则直线CE与AD所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$

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8、在椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上有一点 $P$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $△ F_{1} P F_{2}$ 的周长为8 B、存在点 $P$ 使得 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{3 π}{4}$ C、满足 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ 的 $P$ 点有且只有4个 D、如果线段 $P F_{1}$ 的中点在 $y$ 轴上，此时 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为 $\sqrt{3}$

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9、如图，在等腰梯形ABCD中， $A B / / C D, A D = B C, A B = 4, C D = 2, A B$ 与CD之间的距离为3，O为AB的中点，则等腰梯形ABCD的外接圆的标准方程为（）

A、 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 5$ B、 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = \sqrt{5}$ C、 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$ D、 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = \sqrt{5}$

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10、如图，在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M$ 为棱BC上靠近 $B$ 的三等分点， $N$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}, \vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则用 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示 $\vec{M N}$ 为（）

A、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{5}{6} \vec{b} - \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{5}{6} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \vec{c}$

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11、“ $a = 2$ ”是“直线 $a x + y - 2 = 0$ 与直线 $(a - 1) x - 2 y - 3 = 0$ 互相垂直”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、若抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上有一点 $P$ ，其横坐标为2，则该点到焦点 $F$ 的距离为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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13、已知向量 $\vec{a} = (- 2, 1, 2)$ ，向量 $\vec{b} = (1, 3, 2)$ ，则 $3 \vec{a} - \vec{b} =$ （）

A、 $(- 6, 1, 2)$ B、 $(- 7, 0, 2)$ C、 $(- 7, 0, - 4)$ D、 $(- 7, 0, 4)$

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14、已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \frac{1}{ln x - 1} + \frac{1}{ln x + a}$ .

(1)、若 $a = - 1$ ，判断 $f (x)$ 在 $(e, + \infty)$ 上的单调性，并用定义证明；

(2)、若 $a = 1$ ，求 $y = f (x) (x \geq e^{2})$ 的值域；

(3)、若存在 $1 < x_{1} < e < x_{2}$ ，使 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，求 $a$ 的取值范围.

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15、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，函数 $g (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，其中 $e \approx 2.71828 \dots$ .

(1)、请探究 $g (2 x)$ 与 $f (x), g (x)$ 之间的等量关系（写出一个即可），并给出证明过程；

(2)、求函数 $h (x) = 3 g (2 x) + 4 g (x) - 7$ 的零点；

(3)、解关于 $x$ 的不等式： $f (2 x) + g (2 x) - a f (x) < 1 (a \in R)$ .

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16、如图，为一个水轮的轴截面示意图，水轮的半径为1米，水轮圆心 $O$ 距离水面 $m$ 米.以圆心 $O$ 为坐标原点，平行于水面为 $x$ 轴，垂直于水面为 $y$ 轴建系.已知水轮每分钟逆时针转动5圈，如果当水轮上点 $P$ 从水中浮现时（图中点 $P_{0}$ ）开始计算时间.

(1)、当 $m = \frac{1}{4}$ ，点 $P$ 在转动过程中第一次使得 $|P P_{0}| = \sqrt{3}$ 时，记水轮与 $x$ 轴交于点 $A, ∠ A O P = α$ ，求此时 $\cos (α - \frac{π}{6})$ 的值；

(2)、当 $m = \frac{1}{2}$ 时，求点 $P$ 距离水面的高度 $y$ 米，表示为时间 $t$ 秒的函数，并求点 $P$ 第一次到达最高点所需要的时间.

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17、已知集合 $M = \{x | {log}_{3} (x^{2} - 1) \leq 1\}$ ， $N = \{x | 2 m + 1 \leq x \leq m\}$ .

(1)、求 $M$ ；

(2)、若 $M \cap N = N$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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18、计算：

(1)、 $\sqrt{{(1 - \sqrt{3})}^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{- \frac{1}{2}} + {(e - 1)}^{0} + {(0.125)}^{- \frac{2}{3}}$ ；

(2)、 $4 {log}_{2} 3 - {log}_{2} \frac{81}{4} - {log}_{8} 27 \cdot {log}_{3} 4 + 3^{1 - {log}_{3} 5}$ .

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 x^{2} + x + 3, x < 1 \\ 2 x + \frac{2}{x}, x \geq 1 \end{array}$ ，设 $a \in R$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq |x + a|$ 在 $R$ 上恒成立，则 $a$ 的取值范围是.

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20、若 $a < 0$ ， $a + b = 1$ ，则 $- \frac{b}{2 a} - \frac{1}{b}$ 的最小值为.

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