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相关试卷

1、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ ， $Q$ 为双曲线左支上的两点，直线 $P Q$ 交 $y$ 轴于点 $G$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、若 $\vec{F_{1} G} = 3 \vec{P F_{1}}$ ，求直线 $P Q$ 的方程；

(3)、设线段 $P Q$ 的中点为 $D$ ，直线 $P Q$ 交 $x$ 轴于点 $M$ ，点 $N$ 为 $M$ 关于原点的对称点，以 $N$ 为圆心作与 $y$ 轴相切的圆，过 $D$ 作该圆的两条切线，切点分别为 $E$ ， $F$ ，求 $sin ∠ E D F$ 的取值范围.

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A B = B C = 2 A D = 2$ ， $A D / / B C$ ， $∠ D A B = 90 °$ .以 $A C$ 为直径的球面分别交 $P B$ ， $P C$ 于 $M$ ， $N$ 两点（ $M$ ， $N$ 异于所在棱端点）.

(1)、证明： $A M ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求异面直线 $M N$ 与 $C D$ 的夹角；

(3)、求三棱锥 $C - M N D$ 的体积.

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3、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，且 $a = 2 b cos \frac{A}{2}$ .

(1)、求证： $A = 2 B$ ；

(2)、若 $cos A = \frac{2}{3}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{7 \sqrt{5}}{6}$ ，求 $a$ .

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4、已知函数 $f (x) = (x - a) \ln x - x + a - 3 (a \in R)$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，求 $f (x)$ 的极小值；

(2)、讨论导函数 $f^{'} (x)$ 的单调性．

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5、已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 16 x$ ，按如下方法依次构造点列 $A_{n} (n = 1, 2, 3, \dots)$ ：设点 $A_{1} (1, - 4)$ ，过抛物线上点 $A_{n}$ 作斜率为4的直线 $l_{n}$ 与抛物线 $C$ 交于另一点 $B_{n}$ ， $A_{n + 1}$ 为 $B_{n}$ 关于 $x$ 轴的对称点.记 $A_{n}$ 的坐标为 $(x_{n}, y_{n})$ ，数列 $\{y_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{S_{k}} =$ .

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6、已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $g (2 - x) + f (x) = 1$ ， $g (x) - f (x - 1) = - 1$ ，若 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，则（）

A、 $f (2026 - x) + f (x - 2025) = 2$ B、 $f (\frac{5}{2}) + g (\frac{5}{2}) = 1$ C、 $g (x)$ 是奇函数 D、 $Σ_{k = 1}^{2026} f (k) = 2026$

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7、设 $a$ ， $b$ 为异面直线， $α$ 为平面，已知 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $a \subset α$ ， $b ∥ α$ ，动点 $M \in α$ .若 $M$ 到直线 $a$ ， $b$ 的距离相等，则 $M$ 的轨迹为（）

A、直线 B、圆 C、双曲线 D、抛物线

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8、抽样得一组数据如下表，利用最小二乘法得到回归直线方程 $\hat{y} = 10 x + \hat{a}$ ，据此模型预测当 $x = 10$ 时， $y$ 的估计值为（）
$x$
2
4
5
6
8
$y$
20
45
60
75
80

A、100 B、106 C、110 D、116

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9、由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）

A、48个 B、52个 C、60个 D、120个

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10、已知函数 $f (x) = \frac{1}{\log_{a} x} (a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），若 $f (2) + f (4) = 3$ ，则 $a =$ （）

A、3 B、2 C、4 D、 $\sqrt{2}$

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11、若集合 $A = \{0, 1, 3, 5\}, B = \{x ∣ y = ln (4 - x)\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{3, 5\}$ D、 $\{0, 1, 3\}$

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12、悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数 $c h (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ 的图象，类比三角函数的三种性质：①平方关系：① ${sin}^{2} x + {cos}^{2} x = 1$ ， ②和角公式： $cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y$ ， ③导数： $\{\begin{matrix} (\sin x)^{'} = \cos x, \\ (\cos x)^{'} = - \sin x, \end{matrix}$ 定义双曲正弦函数 $s h (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ．

(1)、直接写出 $s h (x), c h (x)$ 具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）：

(2)、若当 $x > 0$ 时， $s h (x) > a x$ 恒成立，求实数a的取值范围：

(3)、求 $f (x) = c h (x) - cos x - x^{2}$ 的最小值．

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13、寒假期间小明每天坚持在“跑步3000米”和“跳绳2000个”中选择一项进行锻炼，在不下雪的时候，他跑步的概率为 $60 %$ ，跳绳的概率为 $40 %$ ，在下雪天，他跑步的概率为 $20 %$ ，跳绳的概率为 $80 %$ ．若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为 $50 %$ ，若前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为 $40 %$ ．已知寒假第一天不下雪，跑步3000米大约消耗能量330卡路里，跳绳2000个大约消耗能量220卡路里．记寒假第 $n$ 天不下雪的概率为 $p_{n}$ ．

(1)、求 $p_{1}$ ， $p_{2}$ ， $p_{3}$ 的值，并证明 $\{p_{n} - \frac{6}{11}\}$ 是等比数列；

(2)、求小明寒假第 $n$ 天通过运动锻炼消耗能量的期望．

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14、已知函数 $f (x) = {sin}^{2} ω x + \sqrt{3} sin ω x cos ω x - \frac{1}{2} (ω > 0)$ ．

(1)、当 $ω = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上的值域；

(2)、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $b + c = \frac{3}{2} b c$ ，若 $f (x)$ 的最小正周期是 $2 π$ ， $f (\frac{A}{2}) = 0$ ， $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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15、 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点均在同一球面上， $∠ B A C = 120^{\circ}$ ， $△ B C D$ 是边长为 $2$ 的等边三角形，则 $△ A B C$ 面积的最大值为，四面体 $A B C D$ 体积最大时球的表面积为．

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16、用1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数 $\bar{a b c d e}$ ，其中满足 $a > b > c < d < e$ 的五位数有n个，则在 $1 + {(1 + x)}^{1} + {(1 + x)}^{2} + {(1 + x)}^{3} + \dots + {(1 + x)}^{n}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数是（用数字作答）

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 短轴长为4，焦距为 $3$ ， $F_{1} ， F_{2}$ 分别是椭圆的左、右焦点，若点 $P$ 为 $C$ 上的任意一点， $\frac{1}{|P F_{1}|} + \frac{2}{|P F_{2}|}$ 的最小值为.

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18、已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域为 $R$ ， $g^{'} (x)$ 为 $g (x)$ 的导函数，且 $f (x) + g^{'} (x) - 8 = 0$ ， $f (x - 2) - g^{'} (6 - x) - 8 = 0$ ，若 $g (x)$ 为偶函数，则下列一定成立的有（）

A、 $g^{'} (4) = 0$ B、 $f (1) + f (3) = 16$ C、 $f (2023) = 8$ D、 $\sum_{n = 1}^{20} f (n) = 160$

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19、已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点若． $z_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i$ （i为虚数单位），向量 $\vec{O A}$ 绕原点逆时针方向旋转90°，且模伸长为原来的2倍后与向量 $\vec{O B}$ 重合，则（）

A、 $z_{2}$ 的虚部为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、点B在第二象限 C、 $|z_{1} + z_{2}| = \sqrt{2}$ D、 $|\frac{z_{2}}{z_{1}}| = 2$

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20、设 $a = \frac{1}{4}$ ， $b = 2 ln (sin \frac{1}{8} + cos \frac{1}{8})$ ， $c = \frac{5}{4} ln \frac{5}{4}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < b < a$

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$x$	2	4	5	6	8
$y$	20	45	60	75	80