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相关试卷

1、如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 4 \sqrt{3}$ ， $C D = 2 \sqrt{5}$ ， M是线段 $B C$ 上靠近点C的三等分点，现以直线 $B D$ ，直线 $D M$ 为轴，将 $△ A B D ， △ C D M$ 折起，得到如图所示的几何体 $D - A B M C$ ，使得四边形 $A B M C$ 为直角梯形， $A B ∥ M C$ ， $∠ A B M = \frac{π}{2}$ ，平面 $A B M C ⊥$ 平面 $B D M$ ．

(1)、求 $C M$ 的长度和几何体 $D - A B M C$ 的体积；

(2)、求平面 $A C D$ 和平面 $M C D$ 夹角的余弦值．

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2、在平面直角坐标系中，三个定点分别为 $A (1, 0), B (0, 1), C (2, 3)$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、在 $△ D E F$ 中，点A，B，C分别为线段 $D E ， E F ， F D$ 的中点，求 $E F$ 边上的高所在直线方程；

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3、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\sqrt{5} a = 4 b$ ， $A = 2 B$ ．

(1)、求 $\sin A$ ；

(2)、若 $c = 11$ ，求 $A B$ 边上的高．

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4、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，定点 $M (1, 0), N (0, 1)$ ，直线 $l : y = k x (k < 0)$ ， l上两动点A，B，其中A在第二象限，B在第四象限，直线 $A N$ 与直线 $B M$ 交于点C， $k_{B M} > k_{A N} > 0$ ．若 $k = - 1$ 时，此时 $S_{△ A B C} > M$ 恒成立，M的最大值为；若 $S_{△ A B C} = 3$ ，则 $\frac{k_{A N}}{k_{B M}}$ 最大值是．

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5、已知直线l过点 $(- 3,2)$ ，在两坐标轴的截距之和为4，则直线l的一般式方程为．

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6、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C A = C B = 4$ ， $C A ⊥ C B$ ， $C C_{1} = 4 \sqrt{2}$ ， M，N分别为 $A_{1} C_{1}, A_{1} A$ 的中点，点Q在线段 $C_{1} B_{1}$ 上，满足 $\vec{C Q} = \frac{1}{3} \vec{C B} + \frac{4}{3} \vec{C M} - \frac{2}{3} \vec{C N}$ ，则（）

A、B，N，M，Q四点共面 B、Q为 $C_{1} B_{1}$ 的中点 C、点N到直线BQ的最小距离为 $\frac{4 \sqrt{165}}{11}$ D、平面 $B_{1} B Q$ 与平面 $M N B Q$ 夹角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{15}}{15}$

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7、平面内有四条平行线，相邻两条间距为1，每条直线上各取一点围成矩形，则该矩形面积的值可能为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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8、下列结论正确的是（）

A、直线 $l$ 的斜率为 $2$ ，则直线l的一个方向向量为 $\vec{u} = (- 1, 2)$ B、设点 $A (a, 0, 0)$ ， $B (0, b, 0)$ ， $C (0, 0, c)$ $(a b c \neq 0)$ ，则平面 $A B C$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c})$ C、若向量 $\vec{a} = (1, - 2, 2)$ ，向量 $\vec{b} = (x - 2, x - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} - x)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角，则 $x$ 的取值范围是 $(- \infty, 0)$ D、空间中不重合的四点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ，若 $|A B| = |C D|$ ， $|A D| = |B C|$ ，则 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点共面

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9、已知平面坐标系 $x O y$ 中，定点 $A (0, 6)$ ，点B在x轴上运动，点C是坐标平面内一点，满足 $△ A B C$ 为正三角形，则线段 $O C$ 长度的最小值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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10、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ，侧棱 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = P A = 2 \sqrt{3}$ ，则三棱锥 $P - B C D$ 的外接球的表面积为（）

A、 $25 π$ B、 $36 π$ C、 $48 π$ D、 $64 π$

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11、如图，直二面角 $α - l - β$ 的棱上有两个点 $A$ ， $B$ ，线段 $B D$ 与 $A C$ 分别在这个二面角的两个面内，且 $B D$ 垂直于 $l$ ．若 $A B = 4$ ， $A C = 6$ ， $B D = 8$ ， $C D = 2 \sqrt{23}$ ，则 $\cos ∠ C A B$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{6}$

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12、已知向量 $\vec{a} = (1, 2, 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, - 2, - 2)$ ，且 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $\vec{a} + k \vec{b}$ 互相垂直，则k的值是（）

A、 $\frac{8}{7}$ B、 $\frac{9}{8}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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13、无论实数m为何值，直线 $m x - y + 1 - m = 0$ 过定点A，则A的坐标为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 0)$ C、 $(1, 1)$ D、 $(1, 2)$

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14、直线 $3 x + \sqrt{3} = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{5π}{6}$ B、 $\frac{2π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{3}$

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15、已知点 $P (2, \sqrt{3})$ 是离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）上的一点．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的直线l交椭圆C于A，B两点，求 $△ P A B$ 面积的最大值，并求此时直线l的方程．

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16、一个盒子里装有大小和质地完全相同的4个红球、6个白球；

(1)、从中任取2个球，求2个球中至少有1个红球的概率；

(2)、从中任取4个球，求白球个数不比红球多的概率；

(3)、从中任取5个球，其中红球 $m$ 个，白球 $n$ 个（ $m$ ， $n \in N$ ），若取一个红球记2分，取一个白球记1分，求使总分不少于7分的概率．

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17、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 8 x + \frac{4}{3}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $x \in [- 2, 4]$ ，求 $f (x)$ 的最大值与最小值．

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18、若不等式 $\ln a + b - a e^{b - 1} \geq 0$ 恒成立，则 $\frac{b}{a}$ 的取值范围为．

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19、已知直线 $l_{1} : a x - y + 1 = 0$ ， $l_{2} : 3 x - (a - 2) y + 2 a - 1 = 0$ 若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，则a的值为．

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的正方形， $P A = 2$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E$ 为 $P B$ 的中点，则（）

A、 $\vec{D E} = \frac{1}{2} \vec{A B} - \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{A P}$ B、异面直线 $D E$ 与 $P C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $D E = \sqrt{5}$ D、点 $E$ 到平面 $P C D$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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