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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ ：1，1，2，1，3，5，1，4，7，10，…，其中第1项为1，接下来的2项为1，2，接下来的3项为1，3，5，再接下来的4项为1，4，7，10，依此类推，则（）

A、 $a_{20} = 21$ B、 $a_{\frac{n (n + 1)}{2}} = n^{2} - 2 n + 2$ C、存在正整数m，使得 $a_{m}$ ， $a_{m + 1}$ ， $a_{m + 2}$ 成等比数列 D、有且仅有4个不同的正整数m，使得 $a_{m} + a_{m + 1} + a_{m + 2} = 156$

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2、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $A (\frac{p}{4}, a) (a > 0)$ 在 $C$ 上， $| A F | = 3$ .若直线 $A F$ 与 $C$ 交于另一点 $B$ ，则 $| A B |$ 的值是

A、 $12$ B、 $10$ C、 $9$ D、 $4.5$

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3、在直角梯形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $C D = 2$ ， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点，则 $\overset{⇀}{A B} \cdot (\overset{⇀}{A C} + \overset{⇀}{A E}) =$

A、 $8$ B、 $12$ C、 $16$ D、 $20$

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4、如图，在圆柱 $O_{1} O_{2}$ 内有一个球O，该球与圆柱的上，下底面及母线均相切.若 $O_{1} O_{2} = 2$ ，则圆柱 $O_{1} O_{2}$ 的表面积为（）

A、 $4 π$ B、 $5 π$ C、 $6 π$ D、 $7 π$

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5、马林·梅森(MarinMersenne，1588-1648)是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物.梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上对 $2^{p} - 1$ 作了大量的计算､验证工作，人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如 $2^{p} - 1$ (其中 $p$ 是素数)的素数，称为梅森素数.在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是（）

A、 $\frac{5}{11}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{9}{22}$ D、 $\frac{1}{22}$

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6、设集合 $A = \{x |3 < x < 6\}$ ，集合 $B = \{x |x^{2} - 4 x - 5 \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |3 < x \leq 5\}$ B、 $\{x |3 < x < 5\}$ C、 $\{x |- 1 \leq x < 6\}$ D、 $\{x |- 1 < x \leq 5\}$

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7、甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.

(1)、求 $n (n \in N_{+})$ 次传球后球在甲手中的概率；

(2)、求 $n (n \in N_{+})$ 次传球后球在乙手中的概率；

(3)、已知：若随机变量 $X_{i}$ 服从两点分布，且 $P (X_{i} = 1) = 1 - P (X_{i} = 0) = q_{i}$ ， $i = 1, 2, \dots, n$ ，则 $E (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} q_{i}$ ，记前n次传球后（即从第1次传球到第 $n$ 次传球后）球在甲手中的次数为 $Y$ ，求 $E (Y)$ .

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8、如图， $△ A B C$ 和 $△ D B C$ 所在平面垂直，且 $A B = B C = B D$ ， $∠ C B A = ∠ D B C = 120 °$ ，求：

(1)、直线 $A D$ 与平面 $B D C$ 所成角的大小；

(2)、平面 $A B D$ 和平面 $B D C$ 夹角的余弦值.

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9、已知某商品进价为a元/件，根据以往经验，当售价是 $b (b \geq \frac{4}{3} a)$ 元/件时，可卖出c件，市场调查表明，当售价下降10%时，销量可增加40%.现决定一次性降价，为获得最大利润，售价应定为元/件.（用含a，b的式子表示）

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10、已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对 $\forall x, y \in (0, + \infty)$ ，都有 $f (x y) = f (x) + f (y)$ ，则对于 $\forall x, y \in (0, + \infty)$ ， $n \in N^{*}$ ，下式成立的有（）

A、 $f (x + y) = f (x) f (y)$ B、 $f (\frac{x}{y}) = f (x) - f (y)$ C、 $f (x^{n}) = n f (x)$ D、 $f (\sqrt[n]{x}) = \frac{1}{n} f (x)$

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11、设随机变量 $X \sim B (n, p)$ ，记 $p_{k} = C_{n}^{k} p^{k} {(1 - p)}^{n - k}$ ， $k = 0, 1, 2, \dots, n$ ，下列说法正确的是（）

A、当k由0增大到n时， $p_{k}$ 先增后减，在某一个（或两个）k值处达到最大.二项分布当 $p = 0.5$ 时是对称的，当 $p < 0.5$ 时向右偏倚，当 $p > 0.5$ 时向左偏倚 B、如果 $(n + 1) p$ 为正整数，当且仅当 $k = (n + 1) p$ 时， $p_{k}$ 取最大值 C、如果 $(n + 1) p$ 为非整数，当且仅当k取 $(n + 1) p$ 的整数部分时， $p_{k}$ 取最大值 D、 $E (X) = n p (1 - p)$

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12、 ${(1 - 2 x)}^{8}$ 展开式中第4项的二项式系数为（）

A、 $- 448$ B、1120 C、56 D、70

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13、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2} - 4 x + a ln x (a \in R)$ 有两个极值点.

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、记两个极值点分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明： $f (x_{1}) + f (x_{2}) + 10 > ln a$ .

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14、 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，已知 $a_{n} > 0, a_{n}^{2} + a_{n} = 2 S_{n} + 2$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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15、2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程
若第1个图中的三角形的周长为1，则第n个图形的周长为；若第1个图中的三角形的面积为1，则第n个图形的面积为.

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16、为弘扬志愿者精神，某校举行“乐于助人”服务活动，现安排甲，乙等4人到三个不同地方参加活动，每个地方至少1人，若甲和乙不能去同一个地方，则不同的安排方式有种．

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17、已知 $a > 0, b > 0, 且 a + b = 4,$ 则（）

A、 $a^{2} + b^{2} \geq 8$ B、 $2^{a} + 2^{b} \geq 8$ C、 $\log_{2} a + \log_{2} b \geq 2$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b} \geq \frac{9}{4}$

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18、已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线 $l$ 经过 $F_{2}$ ，且与C交于A，B两点，若 $\vec{A F_{2}} = \frac{1}{3} \vec{F_{2} B}$ ， $\vec{A F_{1}} \cdot \vec{A F_{2}} = 0$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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19、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ A B C$ 和 $△ P B C$ 均是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的等边三角形，若 $P B ⊥ A B$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的体积为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、4 C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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20、牛顿冷却定律，即温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律.如果物体的初始温度为 $T_{0}$ ，则经过一定时间t分钟后的温度T满足 $T - T_{c} = {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{h}} (T_{0} - T_{c})$ ，其中 $T_{c}$ 是环境温度，h为常数.现有一个105℃的物体，放在室温15℃的环境中，该物体温度降至75℃大约用时1分钟，那么再经过m分钟后，该物体的温度降至30℃，则m的值约为（）（参考数据： $\lg 2 \approx 0.3010$ ， $\lg 3 \approx 0.4771$ ）

A、2.9 B、3.4 C、3.9 D、4.4

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