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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (1, 0)$ ， $\vec{b} = (- 1, 1)$ ，若 $(λ \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 2$ D、2

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2、已知集合 $U = \{1, 2, 3, 4\}$ ， $M = \{1, 2\}$ ， $N = \{2, 3\}$ ，则 $∁_{U} (M \cup N) =$ （）

A、 $\{2\}$ B、 $\{4\}$ C、 $\{1, 2, 3\}$ D、 $\{1, 3, 4\}$

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3、已知函数 $f (x) = m x ln x - x^{2} + n (m, n \in R)$ ， $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ .

(1)、当 $m = 2$ ， $n = 0$ 时，求 $g (x)$ 在区间 $[1, e]$ 上的最值；

(2)、当 $n = 1$ 时，若 $f (x)$ 有三个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3} （ x_{1} < x_{2} < x_{3} ）$ ，
①求 $m$ 的取值范围；
②判断 $x_{1} + x_{3} - x_{2}$ 与 $\frac{m^{4} - m^{2} + 1}{m^{2}}$ 的大小关系，并给出证明.

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4、从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取80后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人.

(1)、从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为 $ξ$ ，求随机变量 $ξ$ 的分布列和数学期望；

(2)、若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市80后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为 $η$ ，求随机变量 $η$ 的分布列和数学期望，方差.

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2} + 3 n .$

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{4}{a_{n} a_{n + 1}} + 1$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} .$

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6、甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表.
机床
品级
合计
一级品
二级品
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400

(1)、甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?

(2)、依据小概率值 $α = 0.010$ 的独立性检验，分析甲机床的产品质量是否与乙机床的产品质量有差异.
附：χ²= $\frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)}$ .
α
0.050
0.010
0.001
x_α
3.841
6.635
10.828

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7、已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{\ln x}{x} + \frac{a}{x} - 1$ ，若在 $(1, f (1))$ 处的切线斜率为 $- 1$ ，则 $a =$ ；若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围为

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8、若从2025的所有正约数中任取一个数，则这个数是一个完全平方数的概率为．

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9、设正整数 $m = a_{0} \cdot 2^{0} + a_{1} \cdot 2^{1} + \dots + a_{n - 1} \cdot 2^{n - 1} + a_{n} \cdot 2^{n}$ ，其中 $a_{i} \in \{0, 1\} (i = 0, 1, \dots, n)$ ，记 $S (m)$ 为上述表示中 $a_{i}$ 为1的个数．例如： $5 = 1 \cdot 2^{0} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{2}$ ，所以 $S (5) = 2$ ．已知集合 $A = \{1, 2, 3, \dots, 2^{n} - 1\}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $S (20) = 2$ B、对任意的 $m \in A$ ，有 $S (m) + S (2^{n} - m) = n$ C、若 $m \in A$ ，则使 $S (m) = k (k \in N^{*}, 1 \leq k \leq n)$ 成立的 $m$ 的取值个数为 $C_{n}^{k}$ D、 $\sum_{m = 1}^{2^{n} - 1} S (m) = n \cdot 2^{n - 1}$

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10、已知离数型随机变量X的分布列如下表所示：
X
0
1
2
P
$0.36$
$1 - 2 q$
$q^{2}$
下列说法正确的是（）

A、 $q = 1.8$ B、 $q = 0.2$ C、 $E (X) = 0.68$ D、 $D (X) = 0.2976$

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11、下列说法正确的是（）

A、利用 $χ^{2}$ 进行独立性检验时， $χ^{2}$ 的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量独立 B、在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好 C、样本相关系数r的大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当r越小，成对样本数据的线性相关程度越弱 D、用决定系数 $R^{2}$ 来比较两个模型的拟合效果． $R^{2}$ 越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好

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12、下列四组数据中，方差最小的为（）

A、31，22，39 B、30，46，25 C、40，18，30 D、37，42，33

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13、设函数 $f (x) = \frac{e^{x} + 3 cos x}{1 - x}$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $\frac{16}{3}$ C、 $\frac{8}{5}$ D、 $\frac{16}{5}$

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14、下列命题错误的是（）

A、有一组数据为 $3$ 、 $3$ 、 $8$ 、 $4$ 、 $2$ 、 $7$ 、 $10$ 、 $18$ ，则它们的第 $50$ 百分位数为 $5.5$ B、线性回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 一定经过样本点的中心 $(\bar{x}, \bar{y})$ C、设 $ξ ~ N (1, σ^{2})$ ，且 $P (ξ < 0) = 0.2$ ，则 $P (1 < ξ < 2) = 0.2$ D、随机变量 $ξ ~ B (n, p)$ ，若 $E (ξ) = 30$ ， $D (ξ) = 20$ ，则 $n = 90$

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15、下列说法正确的是（）

A、中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类，现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有24种 B、从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有5条，则从A村经过B村去C村不同的路线的条数为8 C、一个两层书架，分别放置语文类读物4本，数学类读物5本，每本读物各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有20种 D、从1，2，3，4，5五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为60

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16、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，已知 $S_{4} = 0$ ， $a_{5} = 5$ ，则（）

A、 $S_{n} = 2 n^{2} - 8 n$ B、 $S_{n} = \frac{1}{2} n^{2} - 2 n$ C、 $a_{n} = 3 n - 10$ D、 $a_{n} = 2 n - 5$

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17、下列图中，线性相关性系数最大的是（）

A、 B、 C、 D、

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18、计算 $C_{7}^{5} + 2 A_{5}^{2}$ 的值是（）

A、41 B、61 C、62 D、82

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19、如图1，在矩形ABCD中， $A B = 1$ ， $B C = 2$ ， M是边BC上的一点，将 $△ A B M$ 沿着AM折起，使点B到达点P的位置.

(1)、如图2，若M是BC的中点，点N是线段PD的中点，求证： $C N ∥$ 平面PAM；

(2)、如图3，若点P在平面AMCD内的射影H落在线段AD上.
①求证： $C D ⊥$ 平面PAD；
②求点M的位置，使三棱锥 $P - H C D$ 的外接球的体积最大，并求出最大值.

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20、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .且满足 $cos C + 2 cos B cos (\frac{π}{3} + A) = 0$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、已知 $△ A B C$ 的外接圆的圆心为 $O$ ，半径 $R = \sqrt{3}$ .
（i）作角 $B$ 的平分线交 $A C$ 于 $D$ ， $B D = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积；
（ii）若 $\vec{O B} = m \vec{O A} + n \vec{O C} (m, n \in R)$ ，求 $m + n$ 的取值范围.

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机床	品级		合计
机床	一级品	二级品	合计
甲机床	150	50	200
乙机床	120	80	200
合计	270	130	400

α	0.050	0.010	0.001
x_α	3.841	6.635	10.828

X	0	1	2
P	$0.36$	$1 - 2 q$	$q^{2}$