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相关试卷

1、已知全集 $R$ ，集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 2 x > 0\}$ ，则下列关系正确的是( )

A、 $1 \in A$ B、 $\emptyset \subseteq A$ C、 $∁_{R} A = {x ∣ 0 < x < 2}$ D、 $A \cap \emptyset = A$

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2、平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $C$ 的半径为2，圆心在 $y$ 轴的非负半轴上，直线 $3 x + 4 y + 10 = 0$ 与圆 $C$ 相切.

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、设 $E (0, 1)$ ，过点 $E$ 作斜率为 $k$ 的直线 $l$ ，交圆 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，设 $M$ 、 $N$ 是圆 $C$ 与 $y$ 轴的两个交点（ $M$ 在 $N$ 的上方）.
①求四边形 $A M B N$ 面积的最大值；
②证明：直线 $A M$ 与 $B N$ 的交点在定直线上.

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3、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 过点 $P (\sqrt{2}, \sqrt{3})$ ，焦点 $F$ 到渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、已知直线 $l$ 与双曲线相切于 $E$ ，过 $E$ 与直线 $l$ 垂直的直线与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $M$ ， $N$ 两点，设 $M N$ 的中点为 $Q$ ，求点 $Q$ 的轨迹方程.

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4、已知四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = 2 \sqrt{2}$ ，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ A B C = 60 °$ ， $E$ 是 $A D$ 的中点，点 $F$ 在 $P B$ 上，且满足 $P F = \frac{1}{3} P B$ .

(1)、证明： $P D / /$ 平面 $E F C$ ；

(2)、求平面 $C E F$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值.

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5、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且过点 $P (1, \frac{3}{2})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、倾斜角为45°的直线 $l$ 过椭圆 $C$ 的右焦点 $F$ ，且与椭圆 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，求 $△ P M N$ 的面积.

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6、椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 为椭圆上一点（在 $x$ 轴上方）， $P F_{2}$ 垂直于 $x$ 轴，连接 $P F_{1}$ 并延长交椭圆于另一点 $Q$ ，设 $\vec{P F_{1}} = 2 \vec{F_{1} Q}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率 $e$ 为.

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7、已知在抛物线 $x^{2} = 4 y$ 上存在两个点 $A, B$ 关于直线 $y = k x + 4$ 对称，则实数 $k$ 的取值范围为.

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8、若 $A (1, - 2, 3)$ ， $B (2, 0, 1)$ ， $C (t, 1, 0)$ 三点共线，则 $t =$ .

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9、双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，圆 $C : x^{2} + y^{2} = a^{2}$ ，过 $F_{1}$ 作圆 $C$ 的切线与双曲线交于 $M$ ， $N$ 两点，且 $\tan ∠ F_{1} N F_{2} = \frac{4}{3}$ ，则双曲线的离心率可能为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$

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10、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} + 2 m x - 4 m y + 4 m^{2} + 2 m - 1 = 0$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 2 = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、圆 $C_{1}$ 的圆心恒在直线 $x + 2 y = 0$ 上 B、当 $m = - 2$ 时，圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 有4条公切线 C、当 $m = 0$ 时，圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的公共弦所在直线方程为 $2 x + 2 y + 1 = 0$ D、当 $m = 0$ 时，圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的公共弦长为 $\frac{\sqrt{14}}{4}$

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11、过点 $P (- 1, 2)$ 且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（）

A、 $x + y - 1 = 0$ B、 $x + y + 1 = 0$ C、 $x - y + 3 = 0$ D、 $2 x + y = 0$

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12、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为2， $M$ 为棱 $D D_{1}$ 的中点，过直线 $B M$ 的平面 $α$ 分别与侧棱 $A A_{1}$ ， $C C_{1}$ 相交于点 $E$ ， $F$ ，则截面 $B E M F$ 面积的最小值为（）

A、2 B、3 C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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13、若直线 $l : m x - y + 2 m - 4 = 0$ 与曲线 $C : x = \sqrt{4 - y^{2}}$ 有两个不同的交点，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{3}{4}, \frac{4}{3})$ B、 $(\frac{3}{4}, + \infty)$ C、 $[1, \frac{4}{3})$ D、 $(\frac{3}{4}, 1]$

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14、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且焦距为6，点 $P$ 在 $C$ 上，若 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}|$ 的最大值为25，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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15、设 $a \in R$ ，则“ $a = 1$ ”是“直线 $a x - (a + 1) y + \frac{1}{2} = 0$ 与直线 $x - 2 a y - 1 = 0$ 平行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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16、如图， $P$ 是抛物线 $y^{2} = 8 x$ 上一点， $F$ 是抛物线的焦点， $∠ O F P = 60 °$ ，则 $|P F| =$ （）

A、8 B、4 C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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17、已知点 $P (- \frac{1}{2}, 1)$ ，圆 $C : x^{2} + y^{2} = 4$ ，则经过点 $P$ 且被圆截得的弦长最短时直线的方程为（）

A、 $2 x - 4 y - 5 = 0$ B、 $2 x - 4 y + 5 = 0$ C、 $2 x + 4 y + 3 = 0$ D、 $2 x + 4 y - 3 = 0$

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18、直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $D$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点，若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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19、直线 $2 x + \sqrt{2} y - 1 = 0$ 的斜率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $- \sqrt{2}$

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20、已知椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ），离心率为 $e = \frac{1}{2}$ 且过点 $(0, \sqrt{3})$ .

(1)、求椭圆方程；

(2)、动点 $P$ 在椭圆上，过原点的直线交椭圆于A， $B$ 两点，证明：直线 $P A$ 、 $P B$ 的斜率乘积为定值；

(3)、过左焦点 $F_{1}$ 的直线交椭圆于 $M$ ， $N$ 两点，是否存在实数 $λ$ ，使 $|\vec{M N}| = λ \vec{F_{1} M} \cdot \bar{F_{1} N}$ 恒成立？若存在，求此时 $|\vec{M N}|$ 的最小值；若不存在，请说明理由.

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