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相关试卷

1、已知 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{c} + \vec{b}$ ， $\vec{a} - \vec{c}$ B、 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{a} - \vec{c}$ C、 $2 \vec{a} + \vec{b}$ ， $2 \vec{c} + \vec{b}$ ， $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ ， $\vec{c}$

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2、第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会于2022年2月4日开幕.冬奥会吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是“一墩难求”，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元.每生产x万盒，需投入成本h（x）万元，当产量小于或等于50万盒时 $h (x) = 180 x + 100$ ；当产量大于50万盒时 $h (x) = x^{2} + 60 x + 3500$ ，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完.（利润=销售总价-成本总价，销售总价=销售单价×销售量，成本总价=固定成本+生产中投入成本）

(1)、求“冰墩墩”玩具手办销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式；

(2)、当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获得利润最大，最大利润为多少万元.

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3、计算下列各值：

(1)、 ${(2 \frac{1}{4})}^{\frac{1}{2}} - {(- 2)}^{0} - {(\frac{27}{8})}^{- \frac{2}{3}} + {(\frac{3}{2})}^{- 2}$ ；

(2)、 $(\log_{4} 3 + \log_{8} 3) \times (\log_{3} 2 + \log_{9} 2) - \log_{2} \sqrt[4]{32}$ .

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4、已知函数 $f (x) = 2023^{x} - 2023^{- x} + x^{2023}$ ，对任意的 $k \in [- 3, 3]$ ， $f (k x - 2) + f (x) < 0$ 恒成立，则 $x$ 的取值范围为．

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5、已知命题：“ $\forall x \in R, a x^{2} - a x - 2 < 0$ ”为真命题，则 $a$ 的取值范围是．

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6、若函数 $f (x) = 2^{x} - \frac{1}{x} + a$ 在区间 $(1, 2)$ 上存在零点，则常数a的取值范围为．

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7、已知x，y均为正实数，且 $x + 2 y = 4$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $x y \geq 2$ B、 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} \geq 2$ C、 $2^{x} + 4^{y} \geq 8$ D、 $x^{2} + 4 y^{2} \leq 8$

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8、下列函数中，与函数 $y = x + 2$ 不是同一个函数的是（）

A、 $y = {(\sqrt{x + 2})}^{2}$ B、 $y = \sqrt[3]{x^{3}} + 2$ C、 $y = \frac{x^{2}}{x} + 2$ D、 $y = \sqrt{x^{2}} + 2$

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9、荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把 ${(1 + 1 %)}^{365}$ 看作是每天的“进步”率都是 $1 %$ ，一年后是 ${1.01}^{365} \approx 37.7834$ ；而把 ${(1 - 1 %)}^{365}$ 看作是每天“退步”率都是 $1 %$ ，一年后是 ${0.99}^{365} \approx 0.0255.$ 若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过 $($ 参考数据： $lg 101 \approx 2.0043$ ， $lg 99 \approx 1.9956)$ （）天．

A、200天 B、210天 C、220天 D、230天

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10、若函数 $f (x) = \{\begin{matrix} \frac{5}{2} - |x - 1|, |x| \geq 1 \\ \lg \frac{1 - x}{1 + x}, |x| < 1 \end{matrix}$ ，则 $f [f (- 2)]$ 的值为（）

A、1 B、 $- 1$ C、 $\lg 3$ D、 $- \lg 3$

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11、集合 $M = \{x | x < - 2$ 或 $x \geq 3\}$ ， $N = \{x | x - a \leq 0\}$ ，若 $N \cap ∁_{R} M = \emptyset$ （R为实数集），则a的取值范围是（　　）

A、 $\{a | a \leq 3\}$ B、 $\{a | a \leq - 2\}$ C、 $\{a | a < - 2\}$ D、 $\{a | - 2 \leq a \leq 2\}$

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12、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两条渐近线分别为 $l_{1} ： y = 2 x$ 和 $l_{2} ： y = - 2 x$ ，右焦点坐标为 $(\sqrt{5}, 0)$ ， $O$ 为坐标原点．

(1)、求双曲线C的标准方程；

(2)、设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是MN的中点，直线MN、OQ的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，证明： $k_{1} k_{2}$ 为定值；

(3)、直线y=4x-6与双曲线的右支交于点 $A_{1}, B_{1}$ （ $A_{1}$ 在 $B_{1}$ 的上方），过点 $A_{1}, B_{1}$ 分别作 $l_{2}, l_{1}$ 的平行线，交于点 $P_{1}$ ，过点 $P_{1}$ 且斜率为4的直线与双曲线交于点 $A_{2}, B_{2}$ （ $A_{2}$ 在 $B_{2}$ 的上方），再过点 $A_{2}, B_{2}$ 分别作 $l_{2}, l_{1}$ 的平行线，交于点 $P_{2}$ ， ⋯，这样一直操作下去，可以得到一列点 $P_{1}, P_{2}, \dots, P_{n}, n \geq 3, n \in N*$ ．证明： $P_{1}, P_{2}, \dots, P_{n}$ 共线．

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13、如图， $E$ 是以 $A B$ 为直径的圆上一点， $∠ A O E = 2 ∠ E O B$ ，等腰梯形 $A B C D$ 所在的平面垂直于 $⊙ O$ 所在的平面，且 $A B = 2 C D = 4$ .

(1)、求 $C D$ 与 $A E$ 所成的角：

(2)、若异面直线 $D E$ 和 $A B$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ ，求二面角 $D - E C - B$ 的平面角的正切值.

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14、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = 2 a_{n - 1} + 2^{n} - 1 (n \geq 2)$ ， $a_{4} = 81$ ．

(1)、求 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ ；

(2)、是否存在一个实数 $λ$ ，使此数列 $\{\frac{a_{n} + λ}{2^{n}}\}$ 为等差数列？若存在求出 $λ$ 的值及 $a_{n}$ ；若不存在，说明理由．

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15、已知抛物线 $C : y^{2} = 3 x$ 的焦点为 $F$ ，斜率为 $\frac{3}{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的交点为 $A, B$ ，与 $x$ 轴的交点为 $P$ .

(1)、若 $|A F| + |B F| = 3$ ，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若 $\vec{A P} = 3 \vec{P B}$ ，求 $|A B|$ .

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16、如图，在边长为 $\sqrt{3}$ 的正 $△ A B C$ 内部的两圆， $⊙ O$ 与 $⊙ O^{'}$ 外切，且 $⊙ O$ 与 $A B, A C$ 两边相切， $⊙ O^{'}$ 与 $A B, B C$ 两边相切，则两圆的半径之和的最小值为.

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17、如图，AB为圆柱下底面圆O的直径，C是下底面圆周上一点，已知 $∠ A O C = \frac{π}{3}$ ， $O A = 1$ ，圆柱的高为 $π .$ 若点D在圆柱表面上运动，且满足 $\vec{B C} \cdot \vec{C D} = 0$ ，则点D的轨迹所围成图形的面积为.

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18、若直线 $l$ 被两条直线 $l_{1} : x - y = 0$ 与 $l_{2} : x - y + 2 \sqrt{2} = 0$ 所截得的线段的长为 $2 \sqrt{2}$ ，则 $l$ 的倾斜角可以是.

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19、如图，棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为 $D D_{1}$ 的中点，动点 $N$ 在平面 $A B C D$ 内的轨迹为曲线 $Γ$ .下列结论正确的是（）

A、当 $M N ⊥ B_{1} N$ 时， $Γ$ 是一个点 B、当 $M N$ $∥$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ 时， $Γ$ 是一条线段 C、当直线 $M N$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $60^{\circ}$ 时， $Γ$ 是圆 D、当直线 $M N$ 与平面 $A D D_{1} A_{1}$ 所成的角为 $60^{\circ}$ 时， $Γ$ 是双曲线

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20、已知四边形 $A B C D$ 是等腰梯形（如图1）， $A B = 3$ ， $D C = 1$ ， $∠ B A D = 45 °$ ， $D E ⊥ A B$ .将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起，使得 $A E ⊥ E B$ （如图2），连结 $A C$ ， $A B$ ，设 $M$ 是 $A B$ 的中点，下列结论中不正确的是（）

A、 $B C ⊥ A D$ B、点 $E$ 到平面 $A M C$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $E M$ $∥$ 平面 $A C D$ D、四面体 $A B C E$ 的外接球的体积为 $\frac{5}{6} \sqrt{5} π$

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