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相关试卷

1、如图，在四棱柱 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中，底面 $A B C D$ 与侧面 $A D D^{'} A^{'}$ 均为菱形， $A B ⊥$ 平面 $A D D^{'} A^{'}, A D = 2, E$ 为 $C C^{'}$ 的中点， $D D^{'}$ 与平面 $A B E$ 交于点 $F$ ．

(1)、求证： $F$ 为 $D D^{'}$ 的中点；

(2)、再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，判断在线段 $A^{'} C$ 上是否存在点 $G$ ，使得直线 $A G$ 与平面 $A B E$ 所成角的正弦值为 $\frac{3}{4}$ ？若存在，求 $\frac{A^{'} G}{A^{'} C}$ 的值；若不存在，说明理由．
条件①： $A D = A D^{'}$ ；
条件②： $D D^{'} ⊥ B F$ ．
注：如果选择条件①，条件②分别解答，按第一个解答计分．

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2、在 $△ A B C$ 中， $\sqrt{3} c sin B + b sin 2 C = 0$ ．

(1)、求 $∠ C$ ；

(2)、若 $a = 1$ ， $b = \sqrt{3}$ ，求 $A B$ 边上的高．

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = k \sqrt{a_{n} + 1} - 1 (k > 0)$ ，给出下列四个结论：
①存在唯一的正实数 $k$ ，使得 $\{a_{n}\}$ 是常数列；
②当 $k = 1$ 时， $\{{log}_{2} (a_{n} + 1)\}$ 是等比数列；
③若 $\{a_{n}\}$ 是递增数列，则 $k \in (0, \sqrt{2})$ ；
④若对任意的正整数 $n$ ，都有 $a_{n} < 3$ ，则 $k \in (0, 2]$ ．
其中所有正确结论的序号为．

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4、已知 ${(x - 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \dots + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{1} =$ ； $a_{1} + a_{3} + a_{5} =$ ．（用数字作答）

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5、已知直线 $x = - \frac{π}{3}$ 为函数 $f (x) = cos (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 图象的一条对称轴，则满足条件的一个 $ω$ 的取值为；若 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{3}, 0)$ 上有零点，则 $ω$ 的最小值为．

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6、函数 $f (x) = \frac{ln (1 - x)}{\sqrt{x}}$ 的定义域为．

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7、已知 $M = \{(x, y) |y = t {log}_{2} x - t + 1, 1 \leq x \leq 2, 0 \leq t \leq 1\}$ 是平面直角坐标系 $x O y$ 中的点集．设 $d$ 是 $M$ 中两点间距离的最大值， $k$ 是 $M$ 中的点与原点 $O$ 连线的斜率， $S$ 是 $M$ 表示的图形的面积，给出下列四个结论：① $(\sqrt{2}, \frac{1}{2}) \in M$ ；② $d = \sqrt{2}$ ；③ $k \in [0, \frac{1}{2}]$ ；④ $S < \frac{1}{2}$ ．其中所有正确结论的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8、“红移”和“蓝移”是物理学和天文学中的概念．如果接收器接收到的光波的频率小于波源发出的光波的频率，则光的谱线向红光方向移动，称为“红移”；如果接收器接收到的光波的频率大于波源发出的光波的频率，则光的谱线向蓝光方向移动，称为“蓝移”．记接收器接收到的光波的频率为正数 $f^{'}$ ，波源发出的光波的频率为正数 $f$ ， $f^{'}$ 和f满足光的普遍多普勒效应公式 $f^{'} = f \frac{\sqrt{1 - β^{2}}}{1 - β cos θ}$ （ $β \in (0, 1)$ 为波源运动速率与光速的比值， $θ \in [0,π]$ 为波源到接收器的方向与波源运动方向的夹角）．某同学依据该公式利用 $A I$ 工具制作了“光的普遍多普勒效应计算器”，在给定范围内输入 $β$ 和 $θ$ 的值，点击“计算”按钮后，运行结果显示“红移”、“蓝移”或“无频移”．下列说法正确的是（）

A、输入 $θ = 0$ 和任意β，运行结果显示“红移” B、输入 $θ = \frac{π}{2}$ 和任意β，运行结果显示“蓝移” C、输入 $β = \frac{4}{5}$ 和任意 $θ > \frac{π}{6}$ ，运行结果显示“红移” D、输入 $β = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ 和任意 $θ < \frac{π}{4}$ ，运行结果显示“蓝移”

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9、如图，在棱台 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中，底面 $A B C D$ 和 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 为正方形， $A B = 3, A^{'} B^{'} = 1$ ，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面 $A B C D$ 的夹角均为 $45 °$ ，则该棱台的表面积为（）

A、18 B、 $10 + 8 \sqrt{2}$ C、 $10 + 8 \sqrt{3}$ D、34

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10、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ．过 $F$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，过 $A, B$ 作 $l$ 的垂线，垂足分别为 $A^{'}, B^{'}$ ．若四边形 $A A^{'} B^{'} B$ 的周长等于 $\frac{5}{2} |A B|$ ，则直线 $A B$ 的斜率为（）

A、 $\pm \frac{1}{2}$ B、 $\pm 2$ C、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\pm \sqrt{3}$

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11、已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + b x + c = 0 (b, c \in R)$ 的两实根为 $x_{1}, x_{2}$ ，则“ $|x_{1}| = |x_{2}|$ ”是“关于 $x$ 的不等式 $x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 $\emptyset$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、已知直线 $y = k x + 1$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 交于 $A, B$ 两点．当 $k$ 变化时，则 $|A B|$ （）

A、有最小值 $2 \sqrt{3}$ B、有最大值 $2 \sqrt{3}$ C、有最小值 $\sqrt{3}$ D、有最大值 $\sqrt{3}$

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 0, a_{n + 1} + 2 S_{n} = n$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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14、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = 2$ ，且 ${\vec{a}}^{2} = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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15、在复平面内，复数 $z = i (1 - i)$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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16、已知集合 $A = \{x |- 1 < x < 2\}, B = \{x |(x - 1) (x - 3) > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |- 1 < x < 1\}$ B、 $\{x |1 < x < 2\}$ C、 $\{x |- 1 < x < 2\}$ D、 $\{x |- 1 < x < 3\}$

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17、在平面直角坐标系中，将每个点绕原点 $O$ 沿逆时针方向旋转 $α$ 角的变换称为旋转角为 $α$ 的旋转变换，设点 $P (x, y)$ 经过旋转角 $α$ 的旋转变换后变成点 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ ，则 $\{\begin{array}{l} x^{'} = x cos α - y sin α \\ y^{'} = x sin α + y cos α \end{array}$

(1)、在 $\frac{π}{4}$ 的旋转变换下，若点 $P (1, 1)$ 变成 $P^{'}$ 点，直线 $l : y = 2 x - 1$ 变成直线 $l^{'}$ ，求： $P^{'}$ 的坐标和直线 $l^{'}$ 的斜率；

(2)、已知曲线 $C^{'} : {x^{'}}^{2} + {y^{'}}^{2} + 2 x^{'} y^{'} + \sqrt{2} x^{'} - \sqrt{2} y^{'} = 0$ 是由平面直角坐标系下焦点在 $y$ 轴上的抛物线 $C$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转 $\frac{π}{4}$ 所得的斜抛物线的方程．
①求斜抛物线 $C^{'}$ 的焦准距；
②已知 ${A^{'}}_{1} (0, \sqrt{2})$ 在斜抛物线 $C^{'}$ 上，按如下规则依次构造点列 $\{{A^{'}}_{n}\} (n \geq 2)$ ：过点 ${A^{'}}_{n - 1}$ 作斜率为 $\frac{1 + \frac{1}{2^{n}}}{1 - \frac{1}{2^{n}}}$ 的直线交 $C^{'}$ 于点 ${B^{'}}_{n - 1}$ ，再过点 ${B^{'}}_{n - 1}$ 作斜率为 $\frac{1 + \frac{1}{2^{n - 1}}}{1 - \frac{1}{2^{n - 1}}}$ 的直线交 $C^{'}$ 于点 $A_{n}^{'}$ ，记 $△ {A^{'}}_{n} {A^{'}}_{n + 1} {A^{'}}_{n + 2}$ 的面积为 $S_{n}^{'}$ ．求证： $\sum_{i = 1}^{n} S_{n}^{'} < \frac{3}{448}$ ．

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18、已知函数 $f (x) = a x^{2} + (a - 2) x - ln x - (b + 1) sin b π x (a, b \in R)$ ．

(1)、当 $a = 2, b = - 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $b = 0$ 时，存在 $x_{1}, x_{2} \in (1, + \infty)$ ，使得 $f (x_{1}) = f^{'} (x_{2}) = 0$ ，求证： $1 < \frac{x_{1}}{x_{2}} < 3$ ；

(3)、当 $0 < a < 1, a = 2 b$ 时，判断 $y = f (x)$ 的零点个数，并作出证明．

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19、如图，已知 $A D // B C // F E$ ，平面 $A B F ⊥$ 平面 $A D E F$ ， $A B ⊥ A F$ ， $A F ⊥ A D$ ， $A D = 2 B C = 2 E F = 2 A F = 2$ ，点 $P$ 为梯形 $A D E F$ 内（包括边界）一个动点，且 $B P //$ 平面 $C D E$ ．

(1)、求点 $P$ 的轨迹长度；

(2)、当线段 $B P$ 最短时，直线 $B P$ 与平面 $B C E F$ 所成角 $θ$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ，求三棱锥 $P - C D E$ 的体积．

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20、在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $a + 2 c cos A = 2 b + c cos B$ ．

(1)、求 $\frac{a}{b}$ ；

(2)、若 $c = 2$ ， $\vec{A D} = 2 \vec{D B}$ ， $C D = \frac{\sqrt{10}}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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