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相关试卷

1、给定椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （ a > b > 0 ）$ ，我们称椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = \frac{a^{2}}{b^{2}}$ 为椭圆 $E$ 的“伴随椭圆”.已知 $A$ ， $B$ 分别是椭圆 $E$ 的左、右顶点， $C$ 为椭圆 $E$ 的上顶点，等腰 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ ，且顶角的余弦值为 $- \frac{1}{3}$

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、 $P$ 是椭圆 $E$ 上一点（非顶点），直线 $A P$ 与椭圆 $E$ 的“伴随椭圆”交于 $G$ ， $H$ 两点，直线 $B P$ 与椭圆 $E$ 的“伴随椭圆”交于 $M$ ， $N$ 两点，证明： $|G H| + |M N|$ 为定值．

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2、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形，且 $A A_{1} = 4$ ， $A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $P$ 为棱 $B B_{1}$ 的中点.

(1)、求 $P$ 到 $A C_{1}$ 的距离；

(2)、求 $A C_{1}$ 与平面 $A_{1} C_{1} P$ 所成角的正弦值.

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3、函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若关于x的方程 $f (x) - m = 0$ 在 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．

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4、已知命题 $p : \exists x > 3$ ， $x \leq m$ 成立，若 $\neg p$ 为真命题，则实数 $m$ 的取值范围是.

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5、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的左，右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， A，B分别为它的左右顶点，点P为椭圆上的动点（P不在x轴上），下列选项正确的是（）

A、存在点P使得 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{2}$ B、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为 $8 + 2 \sqrt{7}$ C、直线PA与直线PB的斜率乘积为 $\frac{9}{16}$ D、 $\frac{1}{|P F_{1}|} + \frac{1}{|P F_{2}|}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$

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6、已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，设 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ， $A B$ 的中点为 $M (x_{0}, y_{0})$ ，则下列说法中正确的有（）

A、若直线 $l$ 过焦点 $F$ ，则 $|A B| = 2 x_{0} + 4$ B、若直线 $l$ 过焦点 $F$ ，则 $|A F| \cdot |B F|$ 的最小值为 $4$ C、若直线 $A B$ 的斜率存在，则其斜率与 $x_{0}$ 无关，与 $y_{0}$ 有关 D、若 $O$ 为坐标原点，直线 $l$ 的方程为 $y = k (x - 4)$ ，则 $O A ⊥ O B$

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7、若直线 $(a - 2) x + 4 y + a = 0$ 与直线 $(a - 2) x + (a^{2} + 2 a + 4) y - 2 = 0$ 平行，则 $a$ 的值可以是（）

A、 $0$ B、 $2$ C、 $- 2$ D、 $4$

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8、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C$ ， $A A_{1} = A C = 2 \sqrt{2}$ ，点 $E$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点，点 $F$ 是棱 $B C$ 上的一点，且 $B F = 3 F C$ ，则直线 $A E$ 与 $C_{1} F$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{16}{99}$ B、 $\frac{32}{99}$ C、 $\frac{8 \sqrt{33}}{99}$ D、 $\frac{16 \sqrt{33}}{99}$

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9、点F为椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点，直线l： $y = k x$ 与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点， $△ O A F$ 为正三角形，则椭圆的离心率为（）

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、 $2 - \sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

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10、设双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过坐标原点的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点， $|F_{1} B| = 2 |F_{1} A|, \vec{F_{2} A} \cdot \vec{F_{2} B} = 4 a^{2}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{7}$

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11、直线 $x = \sin 2024 π$ 的倾斜角为（）

A、 $2024 π$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{4}$

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12、已知 $(1 + i) z = 2 + i$ （i为虚数单位），那么复数z的虚部是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{i}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{i}{2}$

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13、对抛物线 $y = \frac{1}{2 p} x^{2} (p > 0)$ ，定义：点 $F (0, \frac{p}{2})$ 叫做该抛物线的焦点，直线 $y = - \frac{p}{2}$ 叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等.运用上述材料解决以下问题：

如图，已知抛物线 $C$ ： $y = a x^{2} - 8 a x$ 的图象与 $x$ 轴交于 $O$ 、 $A$ 两点，且过点 $B (2, - 3)$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的解析式和点A坐标；

(2)、若将抛物线C的图象向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到抛物线D的图象.
①设 $M$ 为抛物线 $D$ 上任意一点， $M N ⊥ x$ 轴于点N，求 $|M N| + |M A|$ 的最小值；
②直线l过抛物线D的焦点且与抛物线D交于 $P, Q$ 两点，证明：以 $P Q$ 为直径的圆与抛物线D的准线相切.

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14、某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为 $\frac{4}{5}, \frac{3}{5}, \frac{2}{5}, \frac{1}{5}$ ，且各轮问题能否回答正确互不影响．

(1)、求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；

(2)、求该选手至多进入第三轮考核的概率．

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15、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 底面 $A B C D, C D$ ∥ $A B$ ， $A D = D C = C B = 1, A B = 2, D P = \sqrt{3}$ .

(1)、证明： $A B$ ∥平面 $P D C$ ；

(2)、证明： $B D ⊥ P A$ ；

(3)、求 $P D$ 与平面 $P A B$ 所成的角的正切值.

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16、某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组： $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， ……， $[90, 100]$ ，统计结果如图所示：

(1)、试估计这100名学生得分的众数、中位数；（中位数保留小数点后2位）

(2)、试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；

(3)、现在按分层抽样的方法在 $[80, 90)$ 和 $[90, 100]$ 两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求至少有一人在 $[90, 100]$ 的概率.

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17、已知抛物线 $C : y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F, M (4, 0)$ ，过点 $M$ 作直线 $x + (a - \sqrt{3}) y - \sqrt{3} a - 2 = 0$ 的垂线，垂足为 $Q$ ，点 $P$ 是拋物线 $C$ 上的动点，则（1）拋物线 $C$ 的准线方程为，（2） $|P F| + |P Q|$ 的最小值为.

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18、如果双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ 上一点 $P$ 到它的右焦点的距离是8，那么点 $P$ 到它的左焦点的距离是.

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19、总体由编号为 $01, 02, 03, \dots, 49, 50$ 的50各个体组成，利用随机数表（以下摘取了随机数表中第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为．
66 67 40 67 14 64 05 71 95 86 11 05 65 09 68 76 83 20 37 90
57 16 00 11 66 14 90 84 45 11 75 73 88 05 90 52 27 41 14 86

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20、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 是棱 $B C$ 的中点， $N$ 是棱 $D D_{1}$ 上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（）

A、三棱锥 $A_{1} - A M N$ 的体积为定值 B、若 $N$ 是棱 $D D_{1}$ 的中点，则过 $A, M, N$ 的平面截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得的截面图形的周长为 $\frac{7 \sqrt{5}}{2}$ C、若 $C N$ 与平面 $A B_{1} C$ 所成的角为 $θ$ ，则 $sin θ \in [\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}]$ D、若 $N$ 是棱 $D D_{1}$ 的中点，则四面体 $D_{1} - A M N$ 的外接球的表面积为 $7 π$

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