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相关试卷

1、若 $a > 0$ ，则在 $(1 + a x) {(1 + \frac{x}{a})}^{5}$ 的展开式中（）

A、x的系数有最小值 B、 $x^{2}$ 的系数有最小值 C、 $x^{4}$ 的系数有最小值 D、 $x^{5}$ 的系数有最小值

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2、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ ，过点 $A (2, 0)$ 的直线与圆 $O$ 交于 $B$ 、 $C$ 两点，且 $\vec{A B} = \vec{B C}$ ，则 $|B C|$ 等于（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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3、直线 $l : \sqrt{3} x - y = 0$ 被圆 $C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 所截得的弦长为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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4、下列说法正确的是（）

A、 $\frac{y - y_{1}}{x - x_{1}} = k$ 表示过点 $P (x_{1}, y_{1})$ 且斜率为 $k$ 的直线方程 B、过 $y$ 轴上一点 $(0, b)$ 的直线方程可以表示为 $y = k x + b$ C、若直线在 $x$ 轴， $y$ 轴的截距分别为 $a$ 、 $b$ ，则该直线方程为 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ D、方程 $(x_{2} - x_{1}) (y - y_{1}) = (y_{2} - y_{1}) (x - x_{1})$ 表示过两点 $P (x_{1}, y_{1})$ 、 $Q (x_{2}, y_{2})$ 的一条直线

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5、已知向量 $\vec{a} = (2, 3, 4)$ ， $\vec{b} = (- 5, 2, z)$ ．若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $z =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、4 D、 $- 4$

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6、数列6，66，666，6666，66666，…的一个通项公式 $a_{n} =$ （）

A、 $6 \times 11^{n}$ B、 $6 \times 11^{n - 1}$ C、 $10^{n} - 4$ D、 $\frac{2}{3} (10^{n} - 1)$

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7、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，且C经过点 $(\frac{3}{2}, \sqrt{3})$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设斜率为 $\frac{b}{a}$ 的直线l与椭圆C交于不同的两点 $M, N$ ，与x轴交于点 $P$ ，证明： ${|M P|}^{2} + {|P N|}^{2}$ 为定值．

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8、某学校为了了解学生平时的运动时长情况，现从全校 $500$ 名学生中随机抽取 $20$ 名学生，统计出他们的运动时长（单位：分钟），将这些运动时长按 $(20, 25]$ 、 $(25, 30]$ 、 $\dots$ 、 $(40, 45]$ 分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求出 $a$ 的值，并估计全校学生中运动时长超过 $30$ 分钟的人数；

(2)、在上述选取的 $20$ 名学生中任意选取 $2$ 名学生，设 $Y$ 为运动时长超过 $30$ 分钟的人数，求 $Y$ 的分布列与期望 $E (Y)$ ；

(3)、现将运动时长高于 $35$ 分钟的学生称为“热爱运动者”，现从样本中任意选取 $4$ 名学生，求恰有 $2$ 名学生是“热爱运动者”的概率．

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9、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面ABC， $A B ⊥ A C, A B = 2 A C = 2 A A_{1}$ ， E，F分别为棱AB，BC的中点．

(1)、证明： $B_{1} E ⊥$ 平面 $A_{1} E F$ ．

(2)、求平面 $A_{1} E F$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 夹角的余弦值．

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10、已知函数 $f (x) = x^{3} + \frac{48}{x}$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间和极值．

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11、若函数 $f (x) = 2 \sqrt{2} s i n ω x (ω > 0)$ 的图象与函数 $g (x) = \frac{f^{'} (x)}{ω}$ 的图象的任意连续三个交点的连线构成一个等腰直角三角形，则 $ω =$ ．

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12、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，对于任意的 $x_{1} > x_{2}$ ，都有 $f (x_{1}) - f (x_{2}) > 4 (x_{1} - x_{2})$ ，且 $f (2) = 16$ ，则不等式 $4 x - 8 < f (x) < 4 x$ 的解集为．

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13、已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 1$ ，且 $(\vec{a} - 3 \vec{b}) \cdot \vec{b} = - 2$ ，则 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 的夹角的余弦值为．

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14、已知某圆台的轴截面ABCD是等腰梯形， $A D / / B C, B C = 2 A D = 12, A B = 5$ ，则该圆台的体积为（）

A、 $60 π$ B、 $84 π$ C、 $168 π$ D、 $252 π$

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15、已知点 $A (2, y_{0}) (y_{0} > 0)$ 在抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上，F是抛物线C的焦点．若 $| A F | = 4$ ，则 $y_{0} =$ （）

A、4 B、2 C、8 D、 $2 \sqrt{2}$

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16、已知集合 $A = {x ∣ x - 2 < 0}, B = {x ∣ 0 \leq 4 - x \leq 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(2, 4]$ B、 $[- 1, 2)$ C、 $[1, 4]$ D、 $[1, 2)$

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17、已知a＞0，且a²^x＝ $\sqrt{2}$ ＋1，求下列代数式的值：

(1)、 $\frac{a^{x} + a^{- x}}{a^{x} - a^{- x}}$

(2)、 $\frac{a^{3 x} + a^{- 3 x}}{a^{x} + a^{- x}}$ .(注：立方和公式a³＋b³＝(a＋b)(a²－ab＋b²))

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18、已知x＋y＝10，xy＝9，且x<y ，求 $\frac{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}}$ 的值．

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19、设α ， β为方程2x²＋3x＋1＝0的两个根，则 $(\frac{1}{4})$ ^α^＋^β＝.

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20、下列结论中不正确的是( )

A、当a<0时(a²) $^{\frac{3}{2}}$ ＝a³ B、 $\sqrt[n]{a^{n}}$ ＝|a| C、函数y＝(x－2) $^{\frac{1}{2}}$ －(3x－7)⁰的定义域是[2，＋∞) D、若100^a＝5，10^b＝2，则2a＋b＝1

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