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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 在 $C$ 上，且 $|P F_{1}|$ 的最大值为3，最小值为1，则（）

A、椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ B、 $△ P F_{2} F_{1}$ 的周长为4 C、若 $∠ F_{2} P F_{1} = 90^{\circ}$ ，则 $△ P F_{2} F_{1}$ 的面积为3 D、若 $|P F_{1}| |P F_{2}| = 4$ ，则 $∠ F_{2} P F_{1} = 60^{\circ}$

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2、已知抛物线 $C$ 的方程为 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ ， $F$ 为其焦点，点 $N$ 坐标为 $(0, - 4)$ ，过点 $F$ 作直线交抛物线 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点， $D$ 是 $x$ 轴上一点，且满足 $|D A| = |D B| = |D N|$ ，则直线 $A B$ 的斜率为（）

A、 $\pm \frac{\sqrt{15}}{2}$ B、 $\pm \frac{\sqrt{11}}{2}$ C、 $\pm \sqrt{2}$ D、 $\pm \sqrt{3}$

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3、下列说法正确的是（）

A、若 $A$ ， $B$ 为两个事件，则“ $A$ 与 $B$ 互斥”是“ $A$ 与 $B$ 相互对立”的必要不充分条件 B、若 $A$ ， $B$ 为两个事件，则 $P (A + B) = P (A) + P (B)$ C、若事件 $A$ ， $B$ ， $C$ 两两互斥，则 $P (A) + P (B) + P (C) = 1$ D、若事件 $A$ ， $B$ 满足 $P (A) + P (B) = 1$ ，则 $A$ 与 $B$ 相互对立

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4、样本数据：11，12，15，13，17，18，16，22，36，30的第70百分位数是（）

A、16 B、19 C、20 D、22

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5、双曲线和椭圆 $\frac{x^{2}}{5} + y^{2} = 1$ 共焦点，且一条渐近线方程是 $\sqrt{3} x - y = 0$ ，则此双曲线方程是（）

A、 $y^{2} - \frac{x^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{y^{2}}{3} - x^{2} = 1$ C、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$

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6、固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程 $y = \frac{c (e^{\frac{x}{c}} + e^{- \frac{x}{c}})}{2}$ ，其中 $c$ 为参数.当 $c = 1$ 时，就是双曲余弦函数 $cosh x = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，类似的我们可以定义双曲正弦函数 $sinh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ .它们与正，余弦函数有许多类似的性质.

(1)、已知 $sinh θ = 1$ ，求 $cosh θ$ ；

(2)、类比正弦函数，余弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数（或双曲余弦函数）的一个正确的结论（即求 $sinh 2 x$ 或 $cosh 2 x$ ）并证明；

(3)、已知 $f (x) = {(cosh 2 x + 5 + m)}^{2} + {(λ \cdot cosh x + m)}^{2}$ ，对任意的 $m \in R$ 和任意的 $x \in [- 1, 1]$ ，都有 $f (x) \geq \frac{1}{2}$ 恒成立，求 $λ$ 的取值范围.

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7、已知函数 $f (x) = 2 cos (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、已知 $f (x)$ 在 $x \in [\frac{π}{6}, m)$ 的值域为 $[- 2, \sqrt{3}]$ ，求 $m$ 的取值范围；

(3)、将 $f (x)$ 图象上所有点纵坐标缩短为到原来的 $\frac{1}{2}$ （横坐标不变），再将所得到图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度得到 $g (x)$ 的图象.已知关于 $x$ 的方程 $f (x) + g (x) = n$ 在 $[0, π)$ 内有两个不同的解 $α, β$ .
①求实数 $n$ 的取值范围；
②求 $cos (2 α - 2 β)$ 的值.（用 $n$ 表示）

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8、已知函数 $f (x) = cos (2 x - \frac{π}{6}) + \sqrt{3} {cos}^{2} x + sin x cos x$ .

(1)、若 $A$ 是三角形中一内角，且 $f (\frac{2}{3} A) = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $A$ 的值；

(2)、若函数 $g (x) = 2^{f (x) - \frac{\sqrt{3}}{2}} - m$ 在 $[\frac{π}{12}, \frac{11 π}{12}]$ ，有唯一零点，求 $m$ 的范围.

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9、已知 $α \in (0, π), β \in (0, \frac{π}{2}), sin (β - α) = \frac{4}{5}, cos (α + β) = \frac{5}{13}$ .

(1)、分别求 $cos (β - α)$ 和 $sin (α + β)$ 的值；

(2)、求 $\cos β$ 的值.

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10、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $M$ 为 $A B$ 中点，点 $N$ ， $P$ 在线段 $B D$ 上，满足 $\vec{D P} = \vec{P N} = \vec{N B}$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示向量 $\vec{M P}$ ；

(2)、若 $|\vec{A B}| = \sqrt{3}, |\vec{A D}| = 1, ∠ D A B = \frac{π}{6}$ ，求 $|\vec{M N}|$ .

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11、已知函数 $f (x) = cos (ω x - \frac{π}{6})$ ，其中 $ω > 0$ ，在 $(2, 5]$ 上有6个零点，则 $ω$ 的范围为.

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12、设 $\vec{a}, \vec{b}$ 是平面内不共线的一组基底， $\vec{A C} = 3 \vec{a} + k \vec{b}, \vec{B C} = 2 \vec{a} + 4 \vec{b}, \vec{C D} = 4 \vec{a} - 2 \vec{b}$ ，若 $A, B, D$ 三点共线，则实数 $k =$ .

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13、一个扇形的周长为 $24 + 8 π$ ，面积为 $48 π$ ，则此扇形的圆心角为.（用弧度制表示）

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14、已知 $0 < x < y < 1, 0 < θ < \frac{π}{4}$ ，则下列选项正确的有（）

A、 ${(\frac{sin x}{x})}^{2} < \frac{sin x}{x}$ B、 $x sin y < y sin x$ C、 ${(sin θ)}^{{log}_{x} sin θ} > {(cos θ)}^{{log}_{x} tan θ}$ D、若 $sin y = y cos x$ ，则 $\frac{y}{2} < x$

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15、已知函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{3}) - 2 {sin}^{2} (\frac{π}{6} - x)$ ，则（）

A、曲线 $y = f (x)$ 的一个对称中心为 $(\frac{π}{24}, 0)$ B、函数 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{6}, \frac{π}{4})$ 单调递增 C、函数 $f (x + \frac{7 π}{24})$ 为偶函数 D、函数 $f (x)$ 在 $[0, 2 π]$ 内有4个零点

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16、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，下列说法不正确的有（）

A、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$ B、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ C、 $|\vec{a} + \vec{c}| \leq |\vec{a} + \vec{b}| + |\vec{b} - \vec{c}|$ D、若 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

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17、已知 $0 < α < \frac{π}{2}, 0 < β < \frac{π}{2}$ 且 $3 sin β = sin (2 α + β)$ ，则 $tan β$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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18、已知等边三角形 $△ A B C$ 的边长为2，点 $P$ 为 $△ A B C$ 内切圆上一动点，若 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则 $3 x + 3 y$ 的最小值为（）

A、2 B、1 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- 1$

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19、在 $[0, 2 π)$ 内函数 $f (x) = \sqrt{sin x - {sin}^{2} x} + lg (2 cos 2 x - 1)$ 的定义域是（）

A、 $[0, \frac{5 π}{6})$ B、 $(\frac{π}{3}, π]$ C、 $[0, \frac{π}{6}) \cup (\frac{5 π}{6}, π]$ D、 $[0, \frac{π}{3}) \cup (\frac{2 π}{3}, π]$

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20、函数 $f (x) = 2 sin (2 x - \frac{π}{3}) - x + \frac{π}{6}$ 的零点个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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