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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面 $S A D, A D ⊥ S D, A B = 1, B C = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, A D = S D = \sqrt{3}, ∠ B C D = 60^{\circ}$ .

(1)、证明： $B C ⊥ B S$ .

(2)、求平面 $S B C$ 与平面 $S C D$ 夹角（锐角）的余弦值.

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2、围棋源于中国，是中国传统文化中的瑰宝，下围棋可陶冶情操.某中学坚持开展围棋活动，以提高学生的思维能力，其围棋社的成员中有 $60$ 名男生， $50$ 名女生.为了解围棋社成员是否利用 $AI$ 学棋的情况，现采用按性别比例分配的分层抽样方法抽取 $11$ 名成员调查分析.

(1)、求男生和女生各抽取多少人.

(2)、在抽取的 $11$ 人中，有 $2$ 名女生明确利用 $AI$ 学棋，现在从剩下的 $9$ 名成员中再依次随机抽取 $3$ 次，每次抽取 $1$ 人.
①在第一次抽到女生的条件下，求第二次抽到男生的概率；
②设抽到的女生人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与期望.

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3、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a^{2} + b^{2} - c^{2} = \frac{4 \sqrt{5}}{5} a b sin C$ .

(1)、求 $cos C$ 的值；

(2)、若 $c = 5, △ A B C$ 的面积为 $\sqrt{5}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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4、设 $b_{i} > 0 (i = 1, 2, \dots, n)$ ，则称 $\sqrt[n]{b_{1} b_{2} \dots b_{n}}$ 为 $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}$ 这 $n$ 个数的几何平均数.若从等比数列 $1, 2, 2^{2}, \dots, 2^{n}$ 中删除一个数 $2^{m} (1 \leq m \leq n - 1, m \in N^{*})$ ，剩下的 $n$ 个数的几何平均值为 $2^{35}$ ，则等比数列 $1, 2, 2^{2}, \dots, 2^{n}$ 的各项之和为.

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5、已知 $F$ 是抛物线 $C : x^{2} = - 2 p y (p > 0)$ 的焦点， $P (100, - 50)$ 是 $C$ 上一点，则 $|P F| =$ .

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6、已知向量 $\vec{a} = (4, 3), |\vec{b}| = 2$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ .

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7、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $\forall x, y \in R, f (x) f (y) = f (x y) + x^{2} y^{2} (x^{2} + y^{2})$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (\sqrt{2}) = - 3$ C、 $f (x + \frac{1}{x}) > f (2 sin x)$ D、函数 $g (x) = \frac{f (x)}{x^{2}}$ 的值域为 $[1, + \infty)$

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8、已知圆 $M : {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ 与圆 $N : {(x + m)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = m^{2}$ 相切，则 $m$ 的取值可以为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、3 D、4

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9、如图，在四面体 $P A B C$ 中， $D, E$ 分别为 $P C, A B$ 的中点，且 $A C ⊥ B C, P C ⊥ D E, A B = 2$ ，则该四面体体积的最大值为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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10、将函数 $y = 2 sin (6 x - \frac{π}{10})$ 图象上的每个点的横坐标伸长为原来的 $3$ 倍，纵坐标不变，得到函数 $y = f (x)$ 的图象，若函数 $y = f (k x) (k > 0)$ 在 $(- \frac{π}{4}, \frac{π}{3})$ 上单调，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{9}{10}]$ B、 $(0, \frac{4}{5}]$ C、 $[\frac{9}{10}, + \infty)$ D、 $[\frac{4}{5}, + \infty)$

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11、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = {log}_{6} 3$ ，且 $6^{a_{n + 1}} \cdot {(\frac{1}{6})}^{a_{n}} = 2$ ，则 $a_{20} =$ （）

A、 $1 + 19 {log}_{6} 3$ B、 $1 + 19 {log}_{6} 2$ C、 $1 + 18 {log}_{6} 3$ D、 $1 + 18 {log}_{6} 2$

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12、已知角 $α, β$ 满足 $(2 - tan α) (2 + tan β) = 5$ ，则 $tan (α - β) =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- 2$ D、 $- 3$

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13、某中学4位任课老师和班上10名学生站成一排，则4位任课老师站在一起的排法种数可以用排列数表示为（）

A、 $A_{4}^{4} A_{11}^{11}$ B、 $A_{11}^{11}$ C、 $A_{4}^{4} A_{10}^{10}$ D、 $A_{5}^{5} A_{10}^{10}$

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14、若函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 为偶函数，则 $f (x)$ 的解析式可以为（）

A、 $f (x) = cos x$ B、 $f (x) = x^{3} + x^{2}$ C、 $f (x) = x^{4} + \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = x^{3} + 2 x - 3$

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15、设集合 $A = \{x ∣ x^{3} > 4\}, B = {x \in Z ∣ - 4 < x < 7}$ ，则 $A \cap B$ 中元素的个数为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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16、双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的虚轴长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、2 C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{13}$

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17、设数列 $\{a_{n}\}$ 是 $1, 2, \dots, n (n \in N^{*})$ 的一个排列．由 $\{a_{n}\}$ 中连续 $r$ 项组成的集合称作“ $\{a_{n}\}$ 的长为 $r$ 的子列集”，其中 $1 \leq r \leq n$ ．任取不大于 $n$ 的正整数 $s, t$ ，当 $s t \geq n$ 时，若数列 $\{a_{n}\}$ 的任意长为 $s$ 的子列集 $B = \{b_{1}, b_{2}, \dots, b_{s}\}$ 和数列 $1, 2, \dots, n$ 的任意长为 $t$ 的子列集 $C = \{c_{1}, c_{2}, \dots, c_{t}\}$ ，都有 $B \cap C \neq \emptyset$ ，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“好数列”．

(1)、判断下列数列是否为“好数列”：
①1，3，5，2，4；②1，4，6，2，5，3．

(2)、证明：由 $1, 2, \dots, n$ 的排列构成的所有“好数列”中，存在首项不超过 $[\frac{n + 1}{2}]$ 的“好数列”（ $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数）；

(3)、若数列 $\{a_{n}\}$ 为“好数列”，求 $n$ 的最大值．

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18、已知函数 $f (x) = (x^{3} + 2 x^{2}) e^{a x + b} (a, b \in R)$ 在点 $(- 1, f (- 1))$ 处的切线方程为 $y = 1$ ．

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、若 $f (x) \leq - x^{2} - 2 x$ ，求 $x$ 的取值范围．

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19、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为 $A (- 2, 0)$ ，焦距为 $2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、设 $O$ 为原点，过点 $A$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 的另一个交点为 $T$ ，线段 $A T$ 的垂直平分线与 $x$ 轴交于点 $M$ ，与 $y$ 轴交于点 $N$ ．过点 $P (1, 0)$ 且与 $l$ 平行的直线与 $y$ 轴交于点 $Q$ ．若 $△ O M N$ 与 $△ N P Q$ 的面积之比为 $4 : 3$ ，求 $k$ 的值．

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20、为调查某校学生户外活动时长和视力的关系，某研究小组在该校随机选取了100名学生，记录他们的日均户外活动时长（单位：小时）及近视情况，统计得到：日均户外活动时长在区间 $[0, 1)$ 内有70人，近视率为 $80 %$ ；日均户外活动时长在区间 $[1, 2)$ 内有20人，近视率为 $40 %$ ；日均户外活动时长在区间 $[2, 3]$ 内有10人，近视率为 $20 %$ ．
注：近视率是指某区间内近视人数与该区间内人数的比值．

(1)、估计该校日均户外活动时长不低于1小时的学生的近视率；

(2)、用频率估计概率．从该校日均户外活动时长低于1小时的学生和不低于1小时的学生中各随机选取2名，求这4名学生中恰有2名近视的概率；

(3)、为响应国家降低青少年近视率的号召，该校提出“护眼有妙招，科学动起来”的口号，计划在以下2项措施中选择1项实施．
措施一：每日给全校学生增设0.5小时晨跑活动；
措施二：每日给日均户外活动时长低于1小时的学生增设1小时户外活动．假设所有学生都能按要求参加相应活动，记采取措施一后该校全体学生的日均户外活动时长的平均值为 $\bar{x}$ ，采取措施二后该校全体学生的日均户外活动时长的平均值为 $\bar{y}$ ．用样本估计总体，试比较 $\bar{x}$ 与 $\bar{y}$ 的大小．（结论不要求证明）

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