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相关试卷

1、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 满足 $\vec{D P} = λ \vec{D C} + μ \vec{D D_{1}} (λ \in [0, 1], μ \in[0, 1])$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $λ = 1, μ = \frac{1}{2}$ 时， $V_{D_{1} - A_{1} B P} = V_{D_{1} - A_{1} C P}$ B、当 $λ = 1, μ = \frac{1}{3}$ 时，平面 $A_{1} B P$ 截正方体所得的截面的面积为 $\frac{9}{2}$ C、若 $λ = \frac{1}{2}$ 且 $\vec{B E} = \frac{1}{2} \vec{B B_{1}}$ ，则当 $P A + P E$ 取得最小值时， $μ = \frac{1}{4}$ D、若点P在以 $A_{1} B$ 的中点O为球心， $\sqrt{5}$ 为半径的球面上，则点P的轨迹的长度为 $2 π$

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2、已知曲线 $C : \frac{x^{2}}{4 - t} + \frac{y^{2}}{t - 2} = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $2 < t < 4$ 时，曲线 $C$ 是椭圆 B、当 $t > 4$ 或 $t < 2$ 时，曲线 $C$ 是双曲线 C、若曲线 $C$ 是焦点在 $x$ 轴上的椭圆，则 $2 < t < 3$ D、若曲线 $C$ 是双曲线，则焦距为 $2 \sqrt{2}$

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3、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{n} = 1 (m > 0, n > 0)$ 和椭圆 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 有相同的焦点，则 $\frac{4}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为（）

A、2 B、6 C、9 D、12

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4、如图所示，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M为 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点，若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{B M} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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5、甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则两人都脱靶的概率为（　　）

A、0.02 B、0.08 C、0.18 D、0.72

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6、双曲线 $\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的焦点坐标为（）

A、 $(\sqrt{3}, 0), (- \sqrt{3}, 0)$ B、 $(0, \sqrt{3}), (0, - \sqrt{3})$ C、 $(3, 0), (- 3, 0)$ D、 $(0, 3), (0, - 3)$

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7、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $F (1, 0)$ 为抛物线 $E$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，A，B，C为E上三点，且F为 $△ A B C$ 的垂心.

(1)、若点A的纵坐标为 $2 \sqrt{2}$ ，求直线 $B C$ 的斜率；

(2)、若 $|A F| = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、证明： $\vec{F A} \cdot \vec{F B}$ 为定值.

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8、如图，在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A E ⊥ C D$ ，垂足为E，且 $A B = A E = \frac{1}{3} C D = 1$ ，延长线段 $E D$ 至点P，使得 $E P = 2 \sqrt{2}$ .将 $△ A E P$ 沿 $A E$ 翻折至 $△ A E P^{'}$ 的位置，D到达 $D^{'}$ 的位置，使得 $P^{'} C = 2$ .

(1)、证明：平面 $P^{'} B C ⊥$ 平面 $P^{'} B E$ ；

(2)、求直线 $A D^{'}$ 与 $C P^{'}$ 所成角的大小；

(3)、求三棱锥 $A - P^{'} E C$ 与三棱锥 $B - P^{'} E C$ 所围成的公共部分的外接球的表面积.

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9、设函数 $f (x) = e^{x + a} + a - 1$ ， $a \in R$ .

(1)、若 $f (x)$ 存在大于0的零点，求a的取值范围；

(2)、设点 $(m, n)$ 在曲线 $y = f (x)$ 的任意一点的切线上，证明： $f (m) \geq n$ .

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10、已知 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 为公差相同的等差数列，且 $a_{n} + b_{n} = 4 n$ ， $a_{1} = b_{2}$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $S_{n}$ 为数列 $\{\frac{1}{a_{n} b_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和，证明： $2 S_{n} < 1$ .

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11、已知函数 $f (x) = \tan (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ ，点 $(- \frac{π}{12}, 0)$ 和 $(\frac{π}{6}, 0)$ 是曲线 $y = f (x)$ 相邻的两个对称中心.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、探究在区间 $(-π, π)$ 上有几条平行于 $y$ 轴且被曲线 $y = f (x)$ 无限逼近的直线.

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12、在 $△ A B C$ 中， $C = \frac{π}{3} ， A B = 2 \sqrt{3}$ ，以 $△ A B C$ 各边为直径分别向外作三个半圆， $P ， Q$ 为三个半圆上任意两点，则 $P Q$ 的最大值是．

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13、已知某随机变量X服从正态分布 $X ~ N (2, σ^{2})$ ，且 $P (2 \leq X < 6) = 0.4$ ，则 $P (X \geq 6) =$ ， $P (X > - 2 |X < 2) =$

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14、记 $F (2, 0)$ 为双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > 0)$ 的右焦点，则 $E$ 的渐近线方程为

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15、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，焦距为2，短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，点 $A$ 为 $E$ 在第一象限部分上的一点，过点 $A$ 且与 $E$ 相切的直线分别交 $y$ 轴、 $x$ 轴于 $B$ ， $C$ 两点，设 $O$ 为坐标原点，则下列说法正确的是（）

A、椭圆 $E$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ B、若点 $D (\frac{1}{4}, 0)$ ，则 $|A D|$ 的最小值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ C、 $△ O B C$ 的面积不小于 $2 \sqrt{3}$ D、 $∠ F_{1} A B = ∠ F_{2} A C$

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16、设实数 $a$ ， $b$ 满足 $3 {(a - b)}^{2} = 6 - 4 a b$ ，则 $a b$ 的可能取值有（）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $2$ D、 $- \frac{3}{4}$

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17、设正数 $a, b, c, d$ 满足 $b$ 为 $a$ 与 $c$ 的等差中项， $c$ 为 $b$ 与 $d$ 的等比中项，则下列说法正确的是（）

A、若 $b = 2 a$ ，则 $d = \frac{9}{2} a$ B、若 $d = \frac{5}{4} c$ ，则 $a = \frac{3}{5} c$ C、若 $a, b$ 为整数，则 $c$ 不为整数 D、若 $a, b$ 为整数，则 $d$ 可能不为整数

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18、已知函数 $f (x) = a x^{2} + a - (1 - x^{3} + x^{2} + x) e^{x}$ 在区间 $[0, + \infty)$ 上有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[1, e)$ B、 $[e, e^{2})$ C、 $[\frac{e^{2}}{5}, e^{2})$ D、 $[\frac{e^{2}}{5}, \frac{7 e^{3}}{5})$

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19、如图，在正六棱台 $A B C D E F - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1}$ 中， $A E = \sqrt{3}$ ， $A_{1} D_{1} = 4$ ，四边形 $A D D_{1} A_{1}$ 的面积为 $6 \sqrt{3}$ ，则该正六棱台的表面积为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{51} + 7 \sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{9 \sqrt{51}}{2}$ C、 $\frac{15 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{9 \sqrt{51} + 15 \sqrt{3}}{2}$

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20、在 $(3 + \frac{x}{y}) {(x - y)}^{6}$ 的展开式中， $x^{4} y^{2}$ 的系数为（）

A、 $15$ B、 $25$ C、 $30$ D、 $65$

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