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相关试卷

1、对于函数 $f (x), g (x), h (x),$ 如果存在实数 $a, b,$ 使得 $h (x) = a f (x) + b g (x),$ 那么称 $h (x)$ 为 $f (x), g (x),$ 的线性生成函数， $(a, b)$ 称为生成系数对.

(1)、已 $f (x) = x^{2} - x, g (x) = x^{2} + x + 1, h (x) = x^{2} - x + 1$ ，试判断 $h (x)$ 是否为 $f (x), g (x)$ 的线性生成函数，若是，求出生成系数对，若不是，说明理由；

(2)、已知 $f (x) = x, g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ 的线性生成函数为 $h (x)$ ，生成系数对为 $(a, 1)$ ，试讨论 $h (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(3)、已知 $f (x) = 4^{x} + x, g (x) = 2^{x} + 3 x,$ 的线性生成函数为 $h (x)$ ，生成系数对为 $(3, - 1)$ ，若对于任意 $x_{1} \in [0, 1]$ ，总存在 $x_{2} \in [1, 2]$ ，使得 $2^{x_{2} + m} \cdot h (x_{1}) + 2^{x_{1}} \cdot h (x_{2} + m) = 10 \cdot 2^{x_{1}} \cdot 2^{x_{2} + m}$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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2、法国数学家佛郎索瓦・韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，它的两根 $α$ 、 $β$ 有如下关系： $α + β = - \frac{b}{a}, α β = \frac{c}{a}$ ． ”
韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数 $α$ 和 $β$ 满足如下关系： $α + β = - \frac{b}{α}, α β =$ $\frac{c}{a}$ ，那么这两个数 $α$ 和 $β$ 是方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程
例如： $m + n = - 3, m n = 2$ ，那么 $m$ 和 $n$ 是方程 $x^{2} + 3 x + 2 = 0$ 的两根．请应用上述材料解决以下问题：

(1)、已知 $m$ 、 $n$ 是两个不相等的实数，且满足 $m^{2} - 2 m = 4$ ， $n^{2} - 2 n = 4$ ，求 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的值；

(2)、已知实数 $a$ 、 $b$ 满足 $a b + (a + b) = 13$ ， $a^{2} b + a b^{2} = 42$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值；

(3)、已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是二次函数 $f (x) = 4 k x^{2} - 4 k x + k + 1$ 的两个零点，且 $k \in Z$ ，求使 $\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}}$ 的值为整数的所有 $k$ 的值．

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3、已知集合 $A = {x ∣ a - 2 \leq x \leq a + 2}$ ， $B = \{x ∣ - 1 \leq x \leq \frac{7}{2}\}$

(1)、写出 $B \cap N^{*}$ 的所有子集；

(2)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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4、我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离．但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当纸张的厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为 $w mm$ ，厚度为 $x mm$ 的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为 $(\frac{1}{2} w) mm$ ，厚度变为 $(4 x) mm$ ．在理想情况下，对折次数 $n$ 有下列关系： $n \leq \frac{2}{3} \log_{2} \frac{w}{x}$ （注： $\lg 2 \approx 0.3$ ， $\lg 3 \approx 0.5$ ， $\lg 7 \approx 0.9$ ），根据以上信息，一张长边长为 $210 mm$ ，厚度为 $0.05 mm$ 的纸最多能对折次.

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5、函数 $f (x) = x + \frac{4}{x}$ 在 $[3, 4]$ 上的最小值是．

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6、取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，……，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．某数学小组类比拓扑学中的康托尔三等分集，定义了区间 $[0, 1]$ 上的函数 $f (x)$ ，规定其具有以下性质：①任意 $0 \leq$ $x_{1} < x_{2} \leq 1, f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ ；② $f (x) = 2 f (\frac{x}{4})$ ；③ $f (x) + f (1 - x) = 1$ ，则关于该函数下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 对称 C、当 $x = \frac{1}{16}$ 时， $f (x) = \frac{1}{4}$ D、当 $x \in [\frac{1}{16}, \frac{15}{16}]$ 时， $f (f (x)) = \frac{1}{2}$

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7、十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 均为实数，且满足 $a < b$ ，那么下列选项中一定成立的是（）

A、 $a c < b c$ B、 $a c^{2} < b c^{2}$ C、 $a^{2} < b^{2}$ D、 $a - c < b - c$

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8、已知集合 $A = \{x \in Z ∣ x^{2} - 3 \leq 0\}, B = {1, 2}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $[- 1, 2]$ B、 ${- 2, - 1, 0, 1, 2}$ C、 $[0, 1]$ D、 ${- 1, 0, 1, 2}$

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9、如图，矩形 $A B C D$ 所在的平面垂直于平面 $A E B$ ， $O$ 为 $A B$ 的中点， $∠ A E B ＝ 90 °$ ， $∠ E A B = 30 °$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $A D = 3$ .
（1）求异面直线 $O C$ 与 $D E$ 所成角的余弦值；
（2）求二面角 $A - D E - C$ 的正弦值.

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10、已知圆 $E$ 经过点 $A (0, 0), B (1, 1)$ ，且圆 $E$ 与 $y$ 轴相切．

(1)、求圆 $E$ 的方程；

(2)、设 $P$ 是圆 $E$ 上的动点，点 $C$ 的坐标为 $(3, 2)$ ，求线段CP的中点 $M$ 的轨迹方程．

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11、直线 $x + y - 1 = 0$ 被圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y = 0$ 截得的弦长为．

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12、某校1000名学生在高一测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），则（）

A、 $a = 0.008$ B、约有200人的成绩不低于110分 C、约有60人的成绩低于70分 D、本次考试的平均分约为93.6分

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13、已知全集 $U = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ， $M = \{0, 1, 2\}$ ， $N = \{2, 3\}$ ，则 $(∁_{U} M) \cap N =$ （）

A、 $\{2, 3, 4\}$ B、 $\{3\}$ C、 $\{2\}$ D、 $\{0, 1, 2, 3, 4\}$

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14、已知 $f (x) = \{\begin{matrix} (2 a - 1) x - 1, x < 1 \\ - x - 4 a, x \geq 1 \end{matrix}$ 是定义在 $R$ 上的单调函数，则a的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$ B、 $[\frac{1}{6}, \frac{1}{3}]$ C、 $(\frac{1}{2}, 1]$ D、 $[\frac{1}{6}, \frac{1}{2})$

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15、已知幂函数 $f (x) = (p^{2} - 3 p + 3) x^{p^{2} - \frac{3}{2} p - \frac{1}{2}}$ 满足 $f (2) < f (4)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $h (x) = n - f (x + 3)$ ，是否存在实数 $a$ ， $b$ （ $a < b$ ），使函数 $h (x)$ 在 $[a, b]$ 上的值域为 $[a, b]$ ？若存在，求出实数 $n$ 的取值范围，若不存在，请说明理由．

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16、某公司为了节约资源，研发了一个从生活垃圾中提炼煤油的项目.该项目的月处理成本 $y$ （元）与月处理量 $x$ （吨）之间的函数关系可以近似地表示为： $y = \{\begin{array}{l} \frac{1}{3} x^{3} - 80 x^{2} + 5050 x, 120 \leq x < 150 \\ \frac{1}{2} x^{2} - 200 x + 80000, 150 \leq x < 500 \end{array}$ ，每处理一吨生活垃圾，可得到的煤油的价值为 200 元，若该项目不能获利，政府将给予补贴.

(1)、当 $x \in [200, 300]$ 时，判断该项目能否获利.如果获利，求出最大利润；如果不能获利，则政府每月最多需要补贴多少元，才能使该项目不亏损?

(2)、该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低?

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17、已知 $f (x)$ 是定义在 $[- 1, 1]$ 上的偶函数，且 $x \in [- 1, 0]$ 时， $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ ．

(1)、求 $f (0)$ ， $f (- 1)$ ；

(2)、求函数 $f (x)$ 的表达式；

(3)、判断并证明函数在区间 $[0, 1]$ 上的单调性.

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18、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (1) = 3$ ，对任意两个不等的实数 $a$ ， $b$ 都有 $\frac{f (a) - f (b)}{a - b} > 1$ ，则不等式 $f (x^{2} - x - 1) < x^{2} - x + 1$ 的解集为．

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19、已知集合 $A= \{(x, y) | x^{2} + y^{2} \leq 3, x \in Z, y \in Z\}$ ，则集合A真子集个数为（填数字）

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20、下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（）．

A、 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ 与 $g (x) = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$ B、 $f (x) = |x|$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ C、 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{|x|}{x}, x \neq 0 \\ 1, x = 0 \end{array}$ 与 $g (x) = \{\begin{array}{l} 1, x \geq 0 \\ - 1, x < 0 \end{array}$ D、 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{2 x - 1}$ 与 $g (t) = {(\frac{1}{3})}^{2 t - 1}$

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