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相关试卷

1、如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径（即杯口直径）6cm，高8cm（不含杯脚），已知水的高度是4cm，现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变；如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠（）

A、63颗 B、126颗 C、378颗 D、504颗

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2、在 $△ A B C$ 中， $\vec{A N} = \frac{1}{3} \vec{N C}$ ， $P$ 是 $B N$ 上一点，若 $\vec{A P} = m \vec{A B} + \frac{2}{9} \vec{A C}$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、1 D、3

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3、已知圆台的上底面积，下底面积分别为 $π 、 4 π$ ，体积为 $7 π$ ，则该圆台的外接球表面积为（）

A、 $16 π$ B、 $20 π$ C、 $24 π$ D、 $28 π$

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4、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{π}{3}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、1 C、2 D、3

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5、设复数 $z = 2 + i$ ，则 $z + \bar{z} =$ （）

A、4 B、 $- 4$ C、2i D、 $- 2 i$

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6、已知函数 $f (x) = a x - ln x - 2$ ．

(1)、当 $a \leq 0$ 时，讨论 $f (x)$ 的零点个数；

(2)、当 $a = 1$ 时，证明： $f (x)$ 在区间 $(3, 4)$ 内存在唯一的零点；

(3)、若对于任意的 $x \in (1, + \infty)$ ，都有 $x ln x + x > k (x - 1)$ ，求整数 $k$ 的最大值．

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7、设 $\{a_{n}\}$ 是等差数列， $\{b_{n}\}$ 是等比数列，公比大于 $0$ ，已知 $a_{1} = b_{1} = 3$ ， $b_{2} = a_{3}$ ， $b_{3} = 4 a_{2} + 3$ .
（Ⅰ）求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = \{\begin{array}{l} 1, & n 为奇数, \\ b_{\frac{n}{2}} & n 为偶数, \end{array}$ 求 $a_{1} c_{1} + a_{2} c_{2} + \dots + a_{2 n} c_{2 n} (n \in N^{*})$ .

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8、如图 $(1)$ ，梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ，过 $A, B$ 分别作 $A E ⊥ C D$ ， $B F ⊥ C D$ ，垂足分别 $E ， F . A B = A E = 2$ ， $C D = 5$ ，已知 $D E = 1$ ，将梯形 $A B C D$ 沿 $A E, B F$ 同侧折起，得空间几何体 $A D E -$ $B C F$ ，如图 $(2)$ ．
$($ 1 $)$ 若 $A F ⊥ B D$ ，证明： $D E ⊥$ 平面 $A B F E$ ；
$($ 2 $)$ 若 $D E / / C F$ ， $C D = \sqrt{3}$ ，线段 $A B$ 上存在一点 $P$ ，满足 $C P$ 与平面 $A C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{20}$ ，求 $A P$ 的长．

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9、已知点 $P ､ Q$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 和圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 上的两个动点，且点 $A (2, 1)$ ，则 $|P A| + |P Q|$ 的最大值为.

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10、在边长为 $3$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，动点 $M$ 在棱 $A D$ 上，动点 $N$ 在棱 $C C_{1}$ 上，满足 $M N ⊥ B D_{1}$ ．以下对 $M N$ 运动过程的描述，正确的是（）

A、存在 $M N$ ，满足 $M N ⊥ D_{1} A_{1}$ B、存在 $M N$ ，使 $M N$ 与 $A_{1} B_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、点 $C$ 到平面 $M N D_{1}$ 的距离为定值 D、四面体 $M N D_{1} A_{1}$ 的体积为定值 $\frac{9}{2}$

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11、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < π)$ 的图象满足以下特征：图象经过点 $(0, \sqrt{3})$ ，并且在 $y$ 轴右侧的第一个零点为 $\frac{π}{9}$ ，第一个最低点为 $(\frac{5 π}{18}, - 2)$ ，则下列有关函数 $f (x)$ 及其性质的描述正确的是（）

A、 $φ = \frac{2 π}{3}$ B、 $x = \frac{π}{18}$ 为函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴 C、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{18}$ 个单位长度后，将得到一个偶函数的图象 D、函数 $f (x)$ 的单调递减区间为 $[\frac{5 π}{18} + \frac{2 k π}{3}, \frac{11 π}{18} + \frac{2 k π}{3}] (k \in Z)$

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12、下列命题正确的是（）

A、若样本数据 $x_{1}, x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{6}$ 的方差为2，则数据 $2 x_{1} - 1 ， 2 x_{2} - 1 ， \dots ， 2 x_{6} - 1$ 的方差为4 B、若 $P (A) = 0.6$ ， $P (B ∣ A) = 0.5, P (B ∣ \bar{A}) = 0.2$ ，则 $P (B) = 0.38$ C、在一组样本数据 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ， $(x_{n}, y_{n})$ ， ( $n \geq 2$ ， $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}$ 不全相等)的散点图中，若所有样本点 $(x_{i}, y_{i}), (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n)$ 都在直线 $y = - \frac{1}{2} x + 1$ 上，则这组样本数据的线性相关系数为 $- \frac{1}{2}$ D、以模型 $y = c e^{k x}$ 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设 $z = ln y$ ，求得经验回归方程为 $\hat{z} = 4 x + 0.3$ ，则 $c, k$ 的值分别是 $e^{0.3}$ 和4

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13、设 $f (x) = \{\begin{cases} |{log}_{2} x| (0 < x \leq 2) \\ sin (\frac{π x}{4}) (2 < x < 10) \end{cases}$ ，若存在实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 满足 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = f (x_{4})$ ，则 $\frac{(x_{3} - 2) (x_{4} - 2)}{x_{1} x_{2}}$ 的范围是（）

A、 $(0, 12)$ B、 $(4, 16)$ C、 $(9, 21)$ D、 $(15, 25)$

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14、某空间站由 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去 $A$ 舱，则不同的安排方法的种数为（）

A、35 B、36 C、42 D、50

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15、已知集合 $U = R$ ， $A = \{x | y = \lg (x - 2)\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $(- \infty, 2]$ B、 $(- \infty, 2)$ C、 $(0, 2]$ D、 $(- \infty, 3]$

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16、已知函数 $f (x) = x - 1 - a ln x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 单调性；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的值；

(3)、当 $a \geq \frac{1}{2}$ 时，证明：当 $x > 1$ 时， $\frac{1}{a} f (x) < e^{x - 1} - 1$ 恒成立．

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17、已知 ${(x + \frac{a}{x})}^{n} (a \neq 0)$ 的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项､第5项､第6项的系数成等差数列.

(1)、求 $a$ 和 $n$ 的值；

(2)、若 $a > 1$ ，且 $x = 2$ ，求 ${(x + \frac{a}{x})}^{2 n}$ 被5除的余数；

(3)、若 $a < 1$ ，求 ${(x + \frac{a}{x})}^{n}$ 的展开式中系数最大的项.

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18、对于三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ 给出定义：设 $f^{'} (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的导数， $f^{″} (x)$ 是函数 $f^{'} (x)$ 的导数，若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x_{0}$ ，则称点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 为函数 $y = f (x)$ 的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。给定函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x - \frac{5}{12}$ ；，请你根据上面探究结果，计算 $f (\frac{1}{2013}) + f (\frac{2}{2013}) + f (\frac{3}{2013})$ $+ \dots + f (\frac{2012}{2013}) =$ ．

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19、 ${(x^{2} + x + 1)}^{5}$ 展开式中， $x^{3}$ 的系数为.

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20、已知函数 $f (x) = x \ln x$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(0, e)$ 上单调递减，在 $(e, + \infty)$ 上单调递增 B、 $f (\frac{1}{4}) < f (\frac{13}{25})$ C、若 $a < x f (x)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是 $(- \infty, - \frac{1}{2 e})$ D、当 $\frac{1}{e} \leq x \leq e^{2}$ 时，若方程 $f (x) = \frac{b}{x} (b \in R)$ 有且只有一个根，则 $- \frac{1}{e^{2}} < b \leq 2 e^{4}$

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