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1、已知 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $△ A B C$ 的面积记为 $S$ ，若 $a = 2, (2 b - c) \cos A = a \cos C$ ，则（）

A、 $A = \frac{π}{3}$ B、 $△ A B C$ 的外接圆周长为 $\frac{8 \sqrt{3}}{3} π$ C、 $S$ 的最大值为 $\sqrt{3}$ D、若 $M$ 为线段 $A B$ 的中点，且 $C M = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $S = \sqrt{3}$

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2、下列命题为假命题的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、若 $a > b > 0$ 且 $c > 0$ ，则 $\frac{a}{b} > \frac{a + c}{b + c}$ C、不等式 $k x^{2} + k x - 1 < 0$ 对一切实数 $x$ 恒成立，则 $- 4 < k < 0$ D、“ $x < 5$ ”是“ $\frac{3}{x - 1} \geq 1$ ”的一个必要不充分条件

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3、已知函数 $f (x) = e^{x - 4} - e^{4 - x} + x$ ，则满足 $f (2 m - 2) + f (m + 1) > 8$ 的 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(3, + \infty)$ B、 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ C、 $(- \infty, \frac{1}{3})$ D、 $(- \infty, 7)$

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4、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 若直线 $3 x + 4 y = 0$ 与 $C$ 没有公共点，则 $C$ 的离心率的范围为（）

A、 $(1, \frac{5}{4})$ B、 $(0, \frac{5}{4})$ C、 $(1, \frac{5}{4}]$ D、 $[\frac{5}{4}, + \infty)$

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5、下列说法错误的是（）

A、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $X ~ N (3, σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 4) = 0.7$ ，则 $P (3 < X < 4) = 0.2$ ； B、若事件 $M, N$ 相互独立， $P (M) = \frac{1}{2}, P (N) = \frac{1}{3}$ ，则 $P (M \cup N) = \frac{5}{6}$ ； C、对具有线性相关关系的变量 $x, y$ ，利用最小二乘法得到的经验回归方程为 $\hat{y} = 0.4 x - m$ ，若样本点的中心为 $(m, 1.8)$ ，则实数 $m$ 的值是 $- 3$ ； D、若决定系数 $R^{2}$ 越大，则两个变量的相关性越强.

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6、圆心为 $(2, \sqrt{3})$ 且与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的准线相切的圆的方程是（）

A、 ${(x + 2)}^{2} + {(y + \sqrt{3})}^{2} = 16$ B、 ${(x + 2)}^{2} + {(y + \sqrt{3})}^{2} = 9$ C、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - \sqrt{3})}^{2} = 16$ D、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - \sqrt{3})}^{2} = 9$

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7、等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} + a_{4} = 3, a_{2} + a_{5} = 6$ ，则 $S_{6} =$ （）

A、21 B、28 C、36 D、48

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8、已知函数 $f (x) = a x e^{x} - ln x - x - 1$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若不等式 $f (x) \geq 0$ 恒成立，证明： $a \geq 1$ ．

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9、设函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + x + 1, a \in R$ ．
（1）若 $x = 1$ 时，函数 $f (x)$ 取得极值，求函数 $f (x)$ 的图像在 $x = - 1$ 处的切线方程；
（2）若函数 $f (x)$ 在区间 $(\frac{1}{2}, 1)$ 内不单调，求实数 $a$ 的取值范围．

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10、已知函数 $g (x) = |ln x| - 2 a$ 的两个零点分别为 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $\frac{x_{1} x_{2}^{2}}{a}$ 的最小值为．

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11、已知函数 $f (x) = \frac{ln x}{x}$ ，则 $f^{'} (e) =$ .

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12、已知函数 $f (x) = - 3 x^{4} + 6 x^{2} - 1$ ， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，且 $f^{'} (a) = f^{'} (b) = f^{'} (c)$ ，其中 $a < b < c$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的所有极值点之和为0 B、 $f (x)$ 的极大值点之积为2 C、 $a b + a c + b c = - 1$ D、 $a b c$ 的取值范围是 $(- 32 \sqrt{3}, 32 \sqrt{3})$

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13、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 16$ ，公差 $d = - 4$ ，在 $\{a_{n}\}$ 中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列 $\{b_{n}\}$ ， $S_{n}$ 是数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.以下说法正确的是（）

A、 $b_{n} = 17 - n$ B、 $b_{29}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的第8项 C、当 $n = 17$ 时， $S_{n}$ 最大 D、 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是公差为 $- 1$ 的等差数列

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14、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 - x^{2}, - 2 \leq x \leq 0 \\ 1 + \ln x, 0 < x \leq e \end{array}$ ，函数 $g (x) = f (x) - m - 1$ 恰有两个不同的零点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则 $x_{1}^{2} + x_{2}$ 的最大值和最小值的差是（）

A、 $2 + e^{- 3}$ B、 $4 + e^{- 3}$ C、 $2 - e^{- 3}$ D、 $4 - e^{- 3}$

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15、已知函数 $f (x) = \sqrt{x}$ ，则 $lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 + Δ x) - f (1)}{2 Δ x} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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16、已知 $△ A B C$ 是锐角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 $\frac{a \sin A + c \sin C - b \sin B}{a \sin B \sin C}$ $= 2 \sqrt{3}$ ，在 $△ A B C$ 所在平面内以AC为边向外作 $△ A C D$ 如图所示， $A D = 3$ ， $\vec{D A} \cdot \vec{D C} = - 3$ ， $S_{△ A C D} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求B；

(2)、求 $△ A C D$ 的内切圆半径r；

(3)、求 $△ A B C$ 的面积的取值范围.

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17、在梯形 $A B C D$ 中， $\vec{D C} = 2 \vec{A B}$ ， $\vec{E C} = 2 \vec{D E}$ ， $\vec{B F} = \vec{F C}$ ， AC与EF交于点G，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ .

(1)、用基底 $\{\vec{a}, \vec{b}\}$ 表示 $\vec{E F}$ ；

(2)、若 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ ， $∠ B A D = \frac{2 π}{3}$ ，求 $\vec{A C} \cdot \vec{B F}$ ；

(3)、设点G到AB，CD的距离分别为 $h_{1}$ ， $h_{2}$ ，求 $\frac{h_{1}}{h_{2}}$ 的值.

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18、已知函数 $f (x) = a^{2 x}$ ， $g (x) = \log_{a} (a^{2 x} + 3)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），函数 $y = f (x) + g (x)$ 的图象经过点 $(0, 3)$ .

(1)、求关于x的不等式 $f (x) \geq 3 a^{- 2 x} + 2$ 的解集；

(2)、若函数 $y = g (x) - x - k$ 有两个零点，求实数k的取值范围.

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19、如图1，正四棱台 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} - A B C D$ 的上底面面积为1，下底面面积为4，侧棱长为2.将正四棱台的四条侧棱延长交于点P，得到正四棱锥P-ABCD如图2所示.

(1)、求正四棱台 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} - A B C D$ 的体积；

(2)、若正四棱锥 $P - A B C D$ 的五个顶点都在球O的球面上，求球O的表面积.

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20、已知 $\frac{2 i + a}{i} = a + (b - 1) i$ ，其中a， $b \in R$ .

(1)、求a，b；

(2)、设 $z = x + y i (x, y \in R)$ ，若 $|z - (a + b i)| = |z|$ ，证明： $4 x - 2 y - 5 = 0$ .

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