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相关试卷

1、已知幂函数 $y = x^{α}$ ，当 $α$ 取不同的正数时，在区间 $[0, 1]$ 上它们的图象是一族曲线（如图）.设点 $A (1, 0)$ ， $B (0, 1)$ ，连接 $A B$ ，线段 $A B$ 恰好被其中的两个幂函数 $y = x^{α}$ ， $y = x^{β}$ 的图象三等分，即有 $|B M| = |M N| = |N A|$ ，那么 $α β =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、3

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2、已知函数 $f (x) = \frac{1}{1 + 3^{x}}$ ，则 $f (\lg 3) + f (\lg \frac{1}{3})$ 的值等于（）

A、1 B、2 C、3 D、9

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3、若 $a = \log_{π} e$ ， $b = {(\sqrt{π})}^{\frac{2}{3}}$ ， $c = {(\frac{1}{e})}^{- \frac{1}{3}}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $b < a < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $a < b < c$

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4、已知 $x_{0}$ 是函数 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{x} - x + 3$ 的一个零点，则 $x_{0}$ 所在区间为（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(2, 3)$ C、 $(3, 4)$ D、 $(4, 5)$

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5、正数 $x$ ， $y$ 满足 $x + 2 y = 2$ ，则 $\frac{x + 8 y}{x y}$ 的最小值为（）．

A、4 B、7 C、8 D、9

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6、在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，已知阳马 $P - A B C D$ 中，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ；且 $P D = C D$ ，在 $P A, P B, P C$ 的中点中选择一个记为点 $E$ ，使得四面体 $E - B C D$ 为鳖臑．

(1)、确定点 $E$ 的位置，并证明四面体 $E - B C D$ 为鳖臑；

(2)、若底面 $A B C D$ 是边长为1的正方形，求平面 $P A B$ 与平面 $B D E$ 夹角的余弦值．

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7、已知圆 $C$ 的圆心在直线 $y = x$ 上，且过点 $A (3, 0)$ ， $B (2, - 1)$

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l : 4 x - 3 y + 9 = 0$ 与圆 $C$ 交于 $E$ 、 $F$ 两点，求线段 $E F$ 的长度.

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8、如图所示，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = A B = A C = 2$ ，直线 $P A, A B, A C$ 两两垂直，点 $D, E$ 分别为棱 $P B, P C$ 的中点．

(1)、证明： $B C / /$ 平面 $A D E$ ；

(2)、求平面 $A B C$ 与平面 $A D E$ 所成角的余弦值．

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9、直线 $l$ 的方程为 $(a + 1) x - y - 3 a - 1 = 0$ ， $a \in R$ .

(1)、若直线 $l$ 在两坐标轴上的截距相等，求 $l$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴的正半轴于点 $A$ 、 $B$ ，点 $O$ 是坐标原点．若 $△ A O B$ 的面积为 $16$ ，求 $a$ 的值.

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10、已知点 $P (x, y)$ 为直线 $l : 2 x + y + 4 = 0$ 上的动点，过 $P$ 点作圆 $C : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 的切线 $P A, P B$ ，切点为 $A, B$ ，则 $△ P A B$ 周长的最小值为．

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11、已知实数 $x$ 、 $y$ 满足方程 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $y = x$ 被圆截得的弦长为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $x^{2} + y^{2}$ 的最大值 $\sqrt{5} + 1$ C、 $\frac{y}{x}$ 的最大值为 $\frac{4}{3}$ D、 $y + x$ 的最大值为 $3 + \sqrt{2}$

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12、下列说法一定正确的是（）

A、过点 $(0, 1)$ 的直线方程为 $y = k x + 1$ B、直线 $x sin α - y cos α + 1 = 0$ 的倾斜角为 $α$ C、若 $a b > 0$ ， $b c < 0$ ，则直线 $a x + b y + c = 0$ 不经过第三象限 D、过 $(x_{1}, y_{1})$ 、 $(x_{2}, y_{2})$ 两点的直线方程为 $(y - y_{1}) (x_{2} - x_{1}) = (x - x_{1}) (y_{2} - y_{1})$

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13、已知平面 $α$ 与平面 $β$ 平行，若 $\vec{n} = (2, - 4, 8)$ 是平面 $β$ 的一个法向量，则平面 $α$ 的法向量可能为（）

A、 $(- 1, 2, - 4)$ B、 $(- 1, 2, 4)$ C、 $(2, 4, - 8)$ D、 $(- 2, 4, - 8)$

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14、已知向量 $\vec{a} = (1, 2, 1), \vec{b} = (2, 1, - 1)$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $120 °$

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15、若椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右焦点坐标是 $(1, 0)$ ，长轴长是 $4$ ，则椭圆的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{15} = 1$

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16、已知直线 $l$ 的倾斜角为 $120^{\circ}$ ，在 $y$ 轴上的截距是 $3$ ，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $y = \sqrt{3} x + 3$ B、 $y = - \sqrt{3} x - 3$ C、 $y = - \sqrt{3} x + 3$ D、 $y = \sqrt{3} x - 3$

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17、向量 $\vec{a} = (12 x - 1, 2, 4)$ ， $\vec{b} = (2, 1 - 2 y, 8)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则（）

A、 $x = y = 1$ B、 $x = \frac{1}{2}$ ， $y = - \frac{1}{2}$ C、 $x = \frac{1}{6}$ ， $y = - \frac{3}{2}$ D、 $x = - \frac{1}{6}$ ， $y = \frac{2}{3}$

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18、已知点 $A (1, 2)$ 、 $B (- 3, 6)$ ，则过 $A$ 、 $B$ 两点的直线斜率为（）

A、 $- 1$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $1$ D、 $2$

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, A D ⊥ C D, A D$ $∥$ $B C, P A = A D = C D = 2, B C = 3. E$ 为 $P D$ 的中点，点 $F$ 在 $P C$ 上，且 $\frac{P F}{P C} = \frac{1}{3}$ ，设点 $G$ 是线段 $P B$ 上（含端点）的一动点.

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、设 $C G$ 与平面 $A E F$ 所成角为 $θ$ ，求 $\sin θ$ 的范围；

(3)、若 $\frac{P G}{P B} = \frac{2}{3}$ ，判断直线 $A G$ 是否在平面 $A E F$ 内，说明理由.

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20、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右顶点分别是 $A, B$ ，点 $P (2, 3)$ 在双曲线 $C$ 上，且直线 $P A, P B$ 的斜率之积为3.

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、过 $T (\sqrt{2}, 0)$ 且斜率不为0的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $D, E$ 两点， $O$ 为坐标原点，证明 $\vec{O D} \cdot \vec{O E}$ 为定值，并求出该定值.

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